142_角平分线(2)三角形的内心

1、1.4 角平分线（2） 三角形的内心尺规作图尺规作图角平分线的作法 做一做做一做l已知:A AOB B,如图.l求作:射线OC,使AAOC=BC=BOC C.l作法:l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .l1.在OAT和oB上截取OD,OE,使OD=OE.l2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AAOB B内内交于点C.l3.作射线OC.ABOCl则射线OC就是AAOB B的平分线.DE驶向胜利的彼岸角平分线的性质定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等. .回顾 思考逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角

2、的两边距离相等且到角的两边距离相等的点的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .驶向胜利的彼岸亲历知识的发生和发展w剪一个三角形纸片通过折叠剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线找出每个角的平分线. .结论:三角形三个角的平三角形三个角的平分线相交于一点分线相交于一点. .老师期望:你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?w观察这三条角平分线,你发现了什么? 做一做做一做驶向胜利的彼岸亲历知识的发生和发展利用尺规作出三角形利用尺规作出三角形三条角平分线. .结论:三角形三条角平分线相交于一点.老师期望:你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗? 做一做做

3、一做w再观察这三条角平分线.你又发现了什么?与同伴交流. .驶向胜利的彼岸思考分析命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图,设ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.BM是ABC的角平分线,点P在BM上,ABC的三条角平分线相交于一点P.咋证三条直线交于一点咋证三条直线交于一点w基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.ABCPMNDEFPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.PD=PF.点

4、P在BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).驶向胜利的彼岸定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在ABC中,BM,CN,AH分别是ABC的三条角平分线,且PDAB,PEBC,PFAC(已知),BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).老师提示老师提示: :这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的这个交点叫做三角形的内心内心. .几何的几何的三种语言三种语言 做一做做一做ABCPMNDEF挑战

5、自我挑战自我 随堂练习随堂练习驶向胜利的彼岸l如图如图,在在ABCABC中中, ,已知已知AC=BC,C=900,AD是是ABCABC的角平分线的角平分线,DEAB,垂足为垂足为E.老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.l(1)如果如果CD=4cm,AC的长的长;l(2)求证求证:AB=AC+CD.EDABC梦想成真 试一试试一试1.如图,已知ABC,作ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?ABC老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点

6、叫做三角形的旁心.这样点有三个.回味无穷w 定理定理 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等. . w 逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且且到角的两边距离相等的点到角的两边距离相等的点, ,在在这个角的平分线上这个角的平分线上. .w 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).w 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.小结 拓展OCB1A2PDE知识的升华独立独立作业作业P习题1. 1 、 2 、 3题.祝你成功！习题1.9 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w1.已知:如图,C=900, B=300,AD是RtABC的角平分线.w求证:BD=2CD. w老师期望:w你能写出规范的证明过程.ABCD习题1.9 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w2.已知:如图,ABC的外角CBD和BCE的角平分线相交于点F.w求证:点F在DAE的平分线上. 老师期望:养成用数学解释生活的习惯. ABCFDE习题1.9 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w3.已知:如图,P是AOB平分线上的一点,PCOA,PDOB,垂足分别C,D.w求证:w(1)OC=OD;w(2)OP是CD的垂直平分线.