椭圆定义的应用及其标准方程的求法

1、椭圆定义的应用及其标准方程的求法说课稿（一）说教材本节课是文科选修1-1第二章第一节，理科选修2-1第二章第二节，圆锥曲线方程的 第一节课的复习课，主要学习椭圆的定义的应用和标准方程的求法。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节课是在学完直线和圆的方程 的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。因此本节内容起到一个承上启下的重要作用。本课时是概念性教学的复习课，而椭圆的概念是教材的一个重点，且是圆锥曲线 这一章重点中的重点。这是因为：1、它的概念对学生来讲， 相对于圆来说，是全新的，但它是对曲线概念的补充和深化；

2、 求椭圆的方程的过程是对求轨迹方程的步骤和方法的巩固和加深。2、它是后继课程的一个出发点（转折点）。前一节的圆，是学生非常熟悉的，而从椭 圆开始，到双曲线、抛物线，对学生来说，都是不很熟悉的，对椭圆概念的掌握好坏，不光 会影响对它本身的性质的掌握， 而且直接影响对双曲线、 抛物线的学习效果。因为对双曲线、 抛物线的学习过程，都可以仿照学习椭圆的过程进行。3、后继课程中的双曲线、抛物线概念，都可以椭圆概念来类比，椭圆方程的标准形式 与后继课程中的双曲线的方程的标准形式有混淆的地方，对它的特点不清，会影响对双曲线的掌握。（二）学生现状分析、本课的背景随着普高的不断深入，大多数的初中毕业生进入高中学

3、习，各地一、二、三流学校早 已形成高、中、差分层筛选学生的模式；而一流学校毕竟是少数， 较多普高学校的生源情况较差，在初中阶段就带了帐的学生学习高中数学的能力我们都非常清楚是怎样一个情况。而我们面对的就是差生或中等生，在此就以这样的学生作为背景来设计这堂课，使之成为一节很有必要的研究性课。这类学生基础差、底子薄，数学运算能力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能 力，思维能力都比较弱， 所以在设计课的时候往往要多作铺垫，扫清他们学习上的障碍，保 护他们学习的积极性，增强学习的主动性。本课是学生学习了直线和圆的方程及其性质、曲线与方程的关系，椭圆的定义和标准 方程，学生对解析几何有一定的了解的基

4、础上，已具有一定的观察、分析问题、解决问题的 能力之后，开始学习圆锥曲线方程的第一课时的复习课。学生在学习上一章的过程中就已经感到掌握比较困难，对解析几何的问题生疏。而根据新高中数学教学大纲要求加强创新能力 的培养，使学生在学科领域或在现实生活情境中，通过发现问题、调查研究、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能。故本课时在设计上也依据这一指导思想，力求做得更好。（三）说目标根据数学教学大纲和学生的实际情况制定教学目标和教学重、难点。1 .教学目标根据教学大纲的要求，教材的具体内容和学生的认知心理，确定教学目标如下：知识目标：理解椭圆的定义及有关概念及其应用；明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭

5、圆的焦点在X轴与丫轴上的不同；掌握椭圆的标准方程的概念，能够 根据给定的条件求椭圆的标准方程。能力目标：培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合和待定系数法等数 学思想方法的渗透，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重 动手能力、探索能力的培养。情感目标：鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；体验数与形对立统一的辩证唯物主义思 想。2 .教学重点、难点重点：椭圆的定义和标准方程的的形式、特点；焦点坐标的对应关系。难点：（1）椭圆定义的应用的各种不同形式，椭圆方程的各种不同求法（四）说教学方法为了使学生更主动地参加到课堂教学中，

6、培养他们的能力，以及为了实现本课的教学目标，本课采用自主探究法。即创设问题启发讨论一一探索结果”及 直接观察一一归纳抽象一一总结规律”的一种研究性教学方法。通过引导学生观察和对比分析、启发学生思 考和概括问题等教学互动活动，突出体现以学生为主体的探索性学习和因材施教的原则。 提高学生的学习兴趣，加大一节课的信息容量，提高教学效果和教学质量。（五）学法指导改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。我采用了以问题的提出、问题的解决为主线， 始终在学生知识的最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，

7、学生 跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展。通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥。激发学生的学习兴趣和创新能力，帮助学生养成独立思考积极探索的习惯。（六）说教学程序教学 环节教学程序及设计设计意图复习铺垫1 .椭圆的定义（1）平囿内与两定点 Fi, F2的距离的和等叶常数（大于|FiF21）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的,之间的距离叫做焦距.注：当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是 .当2av|FiF2|时，P点的轨迹不存在2 .椭圆的标准方程（1）焦点在X轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：x2 y2

8、.4口 21 ,其中（>>0 ,且 a ）ab（2）焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 22-2- - 1 ,其中a, b满足:.a2 b22 2. 2.一3 常数 a c b , a b 0,a最人，c b, c b, c ba,b,c的关系4图像通过回忆定义，标准方 程的提问，明示这节课 所要学的内容，并为后 面椭圆的定义的应用和 椭圆方程的求法作好准 备。一椭圆定义的应用1求轨迹方程例 1, 已知点 (x,y ) 满足方程JX1)2y2J(x 1)2 y24,求点(x,y)的轨迹方程例2.已知圆 C： (x 3)2 + y2=100C上任意一点，线段 PA的垂直平分线

9、求点Q的轨迹方程.及点A(-3,0), P是圆 l与PC相交于点Q,练、解方程，.x2 2x 2. x2 2x 2 4从 基础入手，让学生掌 握好基础知识。即掌 握四种类型的椭圆定 义的应用。加深对定 义的理解解:由原方程可得y2 1(x 1)2 y2 (x 1)2 y2解得x2已知椭圆的焦点是F1、F2, P是椭圆上一个动点，如果延长F1P 至ij Q,使得 |PQ|PF2,那么动点Q的轨迹是(a.圆D.抛物线B.椭圆C.双曲线一支解：因为|PQ| |PFJ,所以|QF1|PQ| |PF1| |PFJ |PF1|由椭圆第一定义得|PR| |PE| 2a,故|QFJ 2a,即Q点轨迹是以R为圆

10、心，以2a为半径的圆，选 Ao2、求焦点三角形的边长221、若椭圆 北+上=1上一点P到焦点F的距离为6,则点P到另一焦点F2的距离是()A、2B、4C、6D、83、求薄点三角形的面积22 一，一一 x y例已知点P是椭圆-2i(a b 0)上的一点，Fi、F2a b是两个焦点，且/ FiPF2=a,求FiP的面积 S。解： PF1F2中，由余弦定理，得IF1F2I2 |PFi|2 |PF|2 2|PFi|PF21cos(|PFi| |PF|)2 2|PF2b2所以 |PFi|PF2| 1 cos-1 1, 一b2 sin, 2,故 Spff2 -|PF1|PF2|sin b2tan-1 22

11、1 cos22 2练、已知椭圆 + =1的两个焦点为 F、F2,P为椭圆上一43点，满足/ F1PF2=,则 F1PF2的面积为 .64、求参数的取值范围一» 人L皿X22""人a例3 (2004年图考全国卷III)设椭圆 V1的两个焦m 1点是F1 (-c, 0)、F2 (c, 0) (c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PF1与直线PF2垂直，求m的取值范围。解：由题意知m>0 , a m m 1, b 1 , c Vm ,且|PF|2 IPF2I2 IF1F2I2 4c2|PF,| |PF2| 2a一 2一 得：|PF,|PF2| 2a2 2c2

12、 2b222练、若方程X + V =1表示焦点在X轴上的椭圆，则a的a a 6取值范围为()A、a>3B、a<-2C、a>3 或 a<-2D、a>3 或-6<a<-2二椭圆方程的求法1、定义法司PF2|(1 cos )22例 1 已知两圆 Ci ： (x 4) y 169 , C2 ：. 一 22(x 4) y 9,动圆在圆 Ci内部且和圆 Ci相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.。通过四个例题的教学， 让学生明白，在求椭圆 标准方程时，可以从哪 些方面去思考。练习，充分让学生动手、 动脑。及时反馈，强化 知识点的学习。通过变式训练来强化概

13、念，掌握方法，开拓学 生的思维，训练学生思 维的严谨性。深化知识 点的掌握，突出重点、 难点。分析：动圆满足的条件为：与圆 Ci相内切；与圆C2 相外切.依据两圆相切的充要条件建立关系式.解：设动圆圆心M ( x, y),半径为r ,如图所示，由题意动圆M内切于圆 Ci,|MC1| i3 r ,圆 M 外切于圆 C2 ,|MC2| 3 r ,22故所求轨迹方程为：i.6448评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基 本方法之一.此题先根据平面几何知识，列出外切的条件， 内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的 定义.从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义 是解题的关

14、键.练 i、4ABC 的两个顶点坐标 A (-4,0), B (4,0),AABC的周长为i8,则顶点C的轨迹方程O2、已知圆 Oi： (x+3)2+y2=i,圆。2： (x-3) 2+y2=8i,动圆圆 O 与圆Oi外切，与圆O2内切，则动圆圆心的轨迹方程。3、过点A (2,0)且与圆x2+4x+y 2-32=0相内切的圆的圆心的轨迹方程。 2、待定系数法例2已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点Pi( J6,1), P2( J3, J2),求该椭圆的方程.分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可 以设椭圆方程的一般形式：22mx ny = 1( m 0, n 0),进行

15、求解，避免讨论。,、 . 一 . 一、 一 ,22解：设所求的椭圆万程为mx ny =1(m Q n 0).椭圆经过两点 P1(J6,1), P2(五,灰),16m n 1,m 9,解得9,故所求的椭圆标3m 2n 1.1n 一. 322准方程为1 . 93评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出a,b的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程.注：还后其它方法吗练1、已知椭圆的长轴是短轴长的3倍，且过点A (3,0),并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。2、已知点P在以坐标轴为 对称轴的椭圆上，点 P到两焦点,一 4"5 , 2后 ,

16、的距离分别为和，过点P作长轴的垂线恰好过33椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程。3、求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点(-*13,-2),(-2 6,1 )的椭圆标准方程。3、直接法22例3 设动直线l垂直于X轴，且交椭圆 L 2_ 1于A、42B两点，P是l上线段AB外一点，且满足 PA ? PB 1,求点P的轨迹方程.分析：如何利用点P的坐标与椭圆上A , B两点坐标的 关系，是求点P的轨迹的关键， 因直线l垂直于X轴，所以P、 A、B三点的横坐标相同，由A、B在椭圆上，所以A、B两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式 pA? pb 1 即可求解.解：设 P ( X , y), A

17、(Xa, Ya), B ( Xb , Yb),由题意：X=Xa=Xb, Ya+Yb=。 PA y Ya ,|PB| y Yb , 二 P在椭圆外，Y Ya 与 Y Yb 同号，|PA?PB = ( y - Ya ) ( y - Yb )=2y (Ya Yb)Y YaYb 1222XAX YaYbYa2(1 -a-)2(1 )44222y2 2(1 ) 1 ,即1( 2 x 2)为 463所求.评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换.»，一，1，-c练在卸积为1的 PMN中，tan M一 , tan N2,2建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过

18、P点的椭圆方程.则解：以MN的中点为原点， MN所在直线为x轴建立直角坐标2,x cy ix c 2，cy 1 .2512a2a2 b2P(x, y1,b222一 , 、一 4x y.所求椭圆方程为1 1534、相关点法22例知圆x y 1 ,从这个圆上任意一点 P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹.分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量（相关点）求轨迹方程或轨迹.解：设点M的坐标为（x, y）,点P的坐标为（x0 , y0）,则xo222因为P（xo,y。）在圆x y 1上，所以22x。y。1.公一 、-22将x。 2x , y0 y代入方程x。y01得4x2 y

19、2 1 .所以点M的轨迹是一个椭圆4x2 y2 1 .说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为（x, y）,设已知轨迹上的点的坐标为 （x。，y。），然后根据题目要求，使x, y与x。，y。建立等式关系，从而由这些等式关系求出 x。和y。代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x , y的方程，化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握.反 馈练 习221、若椭圆 + =1上一点P到焦点F1的距离为6,则点 16 25P到另一焦点F2的距离是（）A、2B、4C、6D、82、若Fi, F2是两定点，|F后|=6,动点 M满足|MFi|

20、+|MF2|=8, 则点M的轨迹是（）A、椭圆B、直线C、圆D、线段223、若方程 + -y=1表示焦点在x轴上的椭圆，则 a的 a a 6取值范围为（）A、a>3B、a<-2C、a>3 或 a<-2D、a>3 或-6<a<-224、已知 ABC的顶点B, C在椭圆 +y 2=1上，顶点A是3椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则4 ABC的周长是（）A、2mB、6C、4V3D、12225、已知椭圆 一+ =1的左右焦点分别为 Fi、F2,点P在 169椭圆上，若P、R、F2个直角二角形的二个顶点，则点P到x轴的距离为（）A、B、3C、 D、5

21、74226、设Fi、F2是椭圆C: + =1的焦点，在曲线 C上满 84足PFi ? PF2 =0的点P的个数为（）A、0B、2C、3D、4X2_y27、已知椭圆 + =1的两个焦点为 F1、F2,点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PFi|是|P国的倍。利用练习，及时反馈， 强化知识点的学习。228、已知Fi、F2是椭圆Jx_ + _y_ =1的两个焦点，过 Fi的直线 259交椭圆于 A、B 两点，若 |F2A|+|F2B|=12，则 |AB|=229、已知椭圆+ =1上的点到直线l:x+y-9=0 的距离的 169最小值为.2210、已知椭圆 + =1的两个焦点为F1、F2,P为椭圆上一43点，满足/ F1PF2= ,则 F1PF2的面积为 .6归纳小结1.两类问题(1)椭圆定义的