考点07立体几何-2020高考(理)模考考前复习指导与抢分集训(解析版)

1、专题一核心考点速查练考点07立体几何核心考点呈现心柱锥台的结构特征2、三视图、斜二测画出直观图3、球柱锥台的表面积和体积公式4、线面位置关系5、线面平行、面面平行判定和性质6、线面垂直、面面垂直判定和性质7、用已获结论证明空间图形的位置关系直线方向向量与平面的法向量8、异面直线成角、线面角、二面角及点到直线的距离的计算1. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），/ABC = 45°, AB=AD=1, DCXBC,则这个平面图形的面积为 （）1 , 22A- 4+ 4B- 2+ 2121cc. 4+2d. 2+V2【答案】B【解析】如图将直观图 ABCD还原后为

2、直角梯形 A BCD 其中AB=2AB = 2, BC=1+32,2. 一个斜三棱柱（侧棱与底面不垂直），底面是边长为5的正三角形，侧棱长为 4,侧棱与底面三角形两边所成的角都是60。，则这个斜三棱柱的侧面积是（A. 40C. 30（1+悯【答案】DB. 20(1+73)D. 3073【解析】如图所示，若/ AiAC=Z AiAB=60°,则可证明？BBiCiC为矩形，因此，S侧=2S?AAiBiB+S矩形 BBiCiC= 2M>5XSin60+ 4X5=20(1 +口).故选 B.olB3.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点 （长方体是虚拟图形, 用），则四

3、面体ABCD的三视图是（用代表图形 ）（）起辅助作A.B.C.D.【解析】正视图应该是相邻两边长为 3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线，因此正视图是；侧视图应该是相邻两边长为 5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是；俯视图应该是相邻两边长为 3和5的矩形,其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是，故选B.4设a、b、c是空间的三条直线,a、3是空间的两个平面，则下列命题中不成立的是（）A.当c，a 时，若 c，3,则 a/ 3B.当 b?a时，若 b-L 3,则 a_L 3C.当 b?a,且c是a在a内的射影时，若 bc,则

4、abD.当 b?a,且 c?a时，若 c/ b,贝U c/ a【解析】对于选项 A , a可能在平面3内，故A不成立；而B、C、D均成立.5.图所示，等腰直角三角形 ABC中，AB=2, D, E, F分别在边AB,BC, CA上，且DE/AC, EF/AB,现沿 DE折叠，使平面 BDEL平面ADEF,若此时棱锥 B ADEF的体积最大，则 BD的长为（）A. 2B.433一一3C. 1D.2【答案】B【解析】设BD的长为x时，棱锥B-ADEF的体积最大.等腰直角三角形 ABC 中，AB=2, DE/AC, EF / AB,.BD为棱锥 B-ADEF的高，此时底面 ADEF为矩形，AD =

5、2-x, DE =x.11故梭锥 B-ADEF 的体积 V=3XBDaDXDE = 3(2x)V'= x2+4，当0<x<t时，V >0此时函数为增函数；当 ：<x<2时，V' <0此时函数为减函 333数，故当x = 4时函数取得最大值，即当 BD=g时，棱锥B-ADEF的体积最大. 336 .在三棱锥 C ABD中（如图），4ABD与 CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4,二面角ABD C的大小为60°,给出下列结论：。ACLBD; ADLCO;4 AOC 为正三角形； cos/ADC=（;四面体ABCD外

6、接球的表面积为 32 7t.其中所有正确结论的序号是 （）A.B.C.D.【解析】由题意知，BC=CD = AD = AB,且BCXCD, BAXAD.因为O是斜边BD的中点,1所以OCBD, OAXBD,且OC=OA=2BD,所以/ AOC是二面角ABD C的平面角,所以/ AOC=60°,所以 AOC是正三角形，即正确.而OCAOA=O,所以BDL平面AOC, 所以BDLAC,即正确.若ADLCO,则由COLBD可得CO,平面 ABD,所以COLOA,42+42 (2 . 2)22 4 4这与/ AOC=60°矛盾，所以不正确.因为 AB = CD = AD = 4,

7、AC =272,所以cos/ ADC3?，所以不正确.因为OB=OC = OA=OD,所以。是四面体 ABCD4外接球的球心，所以外接球的表面积为 4兀X （22）2= 32兀，即正确.综上所述，所有正确结 论的序号是.7 .在长方体 ABCD A1B1C1D1中，对角线BiD与平面AiBCi相交于点 E,则点E为AiBCi的（）B.内心C.外心 D.重心【答案】A【解析】设 BiDi伙iCi = M,则平面 BBiDiDA平面 AiBCi=BM,所以点 E在中线 BM上,同理设 BiCABCi=N,则平面 AiBiCDA平面AiBCi=AiN,所以点 E在中线 AiN上，因此点 £

8、为4 AiBCi的重心.8 .在三棱锥 S ABC中， ABC是边长为6的正三角形，SA= SB= SC= 15,平面 DEFH分别与AB, BC, SC, SA交于D, E, F, H.D, E分别是AB, BC的中点，如果直线 SB/平面DEFH ,那么四边形 DEFH的面积为（）45B.45、, 32D.C. 45【解析】取AC的中点G,连接SG, BG.易知 SG±AC, BGXAC,故 AC,平面 SGB,所以 ACXSB.因为 SB/平面 DEFH , SB?平面 SAB,平面 SABA平面 DEFH = HD ,贝U SB/ HD .同理 SB/ FE.又因为D, E分

9、别为AB, BC的中点，则H, F也为AS, SC的中点，所以四边形 DEFH为 平行四边形.又因为 ACXSB, SB/ HD , DE / AC, 所以DEL HD,所以四边形 DEFH为矩形， 9.如图，正方体 ABCDAiBiCiDi中，E、F分别为棱 DDi、AB 上的点.已知下列命题：AiC,平面 BiEF;在平面 AiBiCiDi内总存在与平面 BiEF平行 的直线；平面 BiEF与平面ABCD所成二面角的大小与点 E的位 置有关，与点F的位置无关.其中真命题有 个.【答案】 i【解析】对于，; AiC,平面ABiDi,而平面BiEF与平面ABiDi不一定重合，是假命题；对于，:

10、两平面有公共点Bi, .两平面相交，则一个平面内平行于两个平面交线的直线一定平行于另一个平面，是真命题；对于，代入几个特殊点进行验证，如F与A重合，E与D重合时二面角的大小为45°, F与B重合，E与D重合时二面角的大小为90。，.是假命题.i0.如图，在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，点E, F分 别在 AAi, CCi 上，且 AE = 4AAi, CF = ；CCi,点 A, C 到BD的距离之比为 3 ： 2,则三棱锥 E- BCD和F-ABD的体积比VE BCDVF ABD,3【答案】：2_ . , 一、一、 . .一, SBCD 2 ，一 ，、【解析】由题意可知点

11、 A, C到BD的距离之比为3 : 2,所以S =2,又直四棱枉 ABCD $ABD 3.31 . AE一AiBiCiDi 中，AE = 4AA1, CF = 3CCi,所以 3=9VE bcd4VFABD1c3sA BCD AE 2 9 31=35=2.-SaABD CF 311.在棱长为1的正方体 ABCDAiBiCiDi中，M, N分别是 ACi, A1B1的中点.点 P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于 .DA【答案】:2+5【解析】取BBi, CCi的中点E, F,连接AE, EF , FD ,则BNL平面AEFD ,设M在平面 ABi中的射影为

12、O,过MO与平面AEFD平行的平面为 “，.能使MP与BN垂直的点P所 构成的轨迹为矩形，其周长与矩形 AEFD的周长相等.正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为1,.矩形AEFD的周长为2+5.12.在如图所示的棱长为 2的正方体ABCD AiBiCiDi中，作与平面 ACDi平行的截面，则 截得的三角形中，面积最大的值是 ;截得的平面图形中，面积最大的值是D【答案】:273 3p【解析】截得的三角形中，面积最大的是三角形AiCiB,面积为 (><2<2)2 = 273.截得的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为6X3X(2)2=33.13.已知正方体的棱长为 1

13、,平面 过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所 成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是()C.近D.3.34【解析】正方体的棱长为1,平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，可得空间几何体及平面如下图所示该正方体在平面内的正投影如下图所示，该投影是正六边形则由正六边形的性质可知B1 M'2 tan 300、6则 BB1 2B1M.6所以SCB1BCM BB1、.6,3r.则ABCCi Di Ai即为该正方体在平面内的正投影面积因为正方体的棱长为1,则acb. 72则 SABCC1D1Al 6SCB1B 63故选:B14.如图，已知四面体 ABCD为正

14、四面体，AB 2, E, F分别是AD, BC中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边 形截面，则该多边形截面面积最大值为（D. 2【解析】补成正方体，如图Q EF ,截面为平行四边形 MNKL ,可得NK KL 2 , 又 MN/AD,KL/BC,且 AD BC, KN KL可得Sb边形 MNKL NKNK KLKL (-.2)1,当且仅当NK KL时取等号，选 A.15.四棱锥P-ABCD中,AB=(4, 2,3), AD= (-4,1,0), AP=( 6,2, 8),则这个四棱锥的高h=()A. 1C. 13【答案】B【解析】设平面B

15、. 2D. 26ABCD的一个法向量为 n = (x, y, z).【答案】An±AB,4x- 2y+3z=0,?一一4x+ y=0,n ± AD4令 y=4,则 n= 1, 4, ,332-6+8-tU n AP3 26则 cos n , AP> =;= 一 士二13 I26 .|n|AP|3 >2 26因为j- |AP|=|cosn, Ap> |,所以 h=266x226= 2.16.已知底面是边长为 2的正方形的四棱锥 P-ABCD中，四棱锥的侧棱长都为 4, E是PB的中点，则异面直线 AD与CE所成角的余弦值为(.6A-4B.1C. 2D.)3J

16、22【解析】解法一：选 A.如图，取PC的中点F,连接EF,则EF =1,且/ ECB为异面直线 AD与CE所成的角.在 PEF中，由 余弦定理，得cos/ EPF = 21 =7.在 pec中，由余弦定理，2 /2 28得 CE2= PE2+ PC2-2PEXPCXcosZ EPC = 22+42 - 2>2X4>= 6,8所以 cos/ ECB =EC2+BC2EB2 6+4 4 J62XECXBC2X/6X2 4,故选A.解法二：设 O为正方形ABCD的对角线 AC与BD的交点，根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1, 1, 0), D(_1 11, 1,0), C

17、(1,1,0), E-, 2所以 AD = (2,0,0), CE =32'1142', 所以|cosM N . AD CEAD , CE > | ='if -|AD|CE|317.已知球O为三棱锥S-ABC的外接球,SA SC ABAC球O的表面积是（14A.3【答案】A16B.3C. 7D. 8【解析】取SC中点M,连接AM、MB,.-.AM ±SC, MBXSC, .SC,平面 AMB,球心0在平面AMB上，作001，平面SAC,可得Oi为等边三角形SAC的中心,所以 AOi = 2 AM 2 AS sin 2 尤叵, 333323取AB中点N,连

18、接 ON, . .ON,AB, OOiAN四点共圆，ao 为这四点共圆的直径,也是三棱锥S- ABC外接球的半径，连接Oi N ,在ABM 中：am as sin- 72 ,322MB2 BC2 MC2 222_26_7_ 2AM AB 2 MB 42./ MAB = 90°,在直角三角形OiNA中,由勾股定理，得OiN = JAO12AN 2_ 2_ 2.6232,426二三棱锥S-ABC外接球的半径长为 AO=OiN = Y42 ,6S 4 R2故选：A.143i8.已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2,ABC 90，点B在AC上的射影为D,则三棱锥PA

19、BD体积的最大值为36R 3-3B . C .D.3.38【解析】下图，由题意,PA PB PC 2, ABC 90 ,ABC上的射影，所以球心取AC的中点为G ,则G为三角形 ABC的外心，且为P在平面在PG的延长线上，设PG h ,则OG 2 h ,所以 OB2 OG2 PB2 PG2,即 4 2 h2 4 h2 ,所以 h 1.故 AG CG s/3 ,过B作BD AC于D,设AD x（0 x 2右），则CD 2屈x,273 x x ,1设 BD m(0 m 褥)，则 AABD zBCD ,故 m 2M x x m所以m22 J3 x x ,则m，-_1所以zXABD的面积S - xm

20、2令 fx26 xx3,则 f'x x2(6>/3 4x),3因为x2 0 ,所以当0 x -J3时，f' x 0,即f x此时单调递增；当23 二-J3 x 2J3时，f x 0,此时f x单倜递减。2所以当x 3J3时，f x取到最大值为 至3 ,即abd的面积最大值为 216当ABD的面积最大时，三棱锥 P ABD体积取得最大值为 -9J3 33. 3 88故选D.19.在三棱锥A BCD中，BCBDAC AD 10, AB 6, CD 16,点 P在平,则sin的最小值为（）面ACD内，且BP 廊,设异面直线BP与CD所成角为【答案】A【解析】CD中点K ,连接A

21、K , BK ,Q BC BD AC AD 10, CD 16,AK BK 6 ,Q AB 6,ABK为正三角形，取AK中点O,连接BO ,则BO AK ,且BO 3我，易知CD 平面ABK ,CD BO, BO 平面 ACD ,Q bp J30, p在图中圆。上，当P与G, H重合时，sin 1最大，当P与M, N重合时，sin 竺竺0最小.3010故选：A.20.在平面四边形 ABCD 中，ABXBD, Z BCD =30 °, AB2 4BD2 6,若将 ABD 沿 BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A-BDC外接球的表面积是（）A. 4兀B. 5兀C. 6无D. 8兀【答

22、案】C【解析】AD,BD中点E,F,设 BCD的外心为M ,连MB,MF ,EF ,一10则 MF BD, BMF DMB BCD 300, BM 2BF BD2分别过E,M作MF,EF的平行线，交于。点,即 OE /MF ,OM /EF ,QBD AB, E为ABD的外心，平面ABD 平面BCD , AB 平面BCD ,EF /AB, EF 平面 BCD, OM 平面 BCD ,同理OE 平面ABD, E,M分别为 ABD, BCD外心,O为三棱锥的外接球的球心，OB为其半径，OB2 BM 2 OM 2 BD2 EF2 BD2 1AB2 3,42_2_S 求 4 OB 6 .故选:C21 .

23、唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）.当这种酒杯内壁表面积 （假设内壁表面光滑， 表面积为S平方厘米，半球的半径为 R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（）IT 【解析】设圆柱的高度与半球的半径分别为S 2h，R，则 S 2 R2 2 Rh，则 Rh 一 R , 223223S 2所以酒杯的容积V R3R2h-R3R2R3323R3R3S又h 0,所以S2_ 2 一 一R 0,所以故选：D22.已知求。的表面积为64兀，A,B,C在球面上，且线段AB的长为4x/2，记AB的中点为D ,若OD与平面A

24、BC的所成角为60 ,则三棱锥O ABC外接球的体积为（）、256 73B 512而C 256遍D 512 遍272727.27【答案】D【解析】设ABC所在截面圆的圆心为 O1,AB 中点为 D ,连接 OD , ODi , OA OB,所以OD AB,同理O1D AB ,所以 ODOi即为OD与平面ABC所成的角，故 ODOi 60° ； 因为 OA OB 4 , AB 4V2，所以 OAB是等腰直角三角形，. . OD 2也，在 Rt ODOi 中，由 cos6。 OD,得 O1D 22,由勾股定理得：OO166,因为Oi到A, B, C三点的距离相等，所以三棱锥O ABC外接

25、球的球心E在射线OOi上,设四面体OABC外接球半径为 R,在Rt O1BE中,OiB Job2 OOi2 而，be r, oe |r 何,222由勾股定理可得：OiB2 OiE2 BE2,即10 (R .6)22R2,解得R4x63512、.627，一，一434故所求球体积VR3-33故选D.23.如图，三棱柱ABC ABiCi中,B1AAC1AA 600,AAi AC 4, AB 2,P,Q分别为棱AA, AC的中点.(1)在平面ABC内过点A作AM /平面PQBi交BC于点M ,并写出作图步骤，但不要求证明.(2)若侧面ACCiA 侧面ABBiA,求直线AG与平面PQBi所成角的正弦值.

26、(1)如图，在平面 ABB1A1内，过点A作AN/BiP交BBi于点N ,连结BQ ,在 BBiQ中，作NH /BiQ交BQ于点H ,连结AH并延长交BC于点M ,则AM为所求作直线5S%(2)连结 PC1,AC1, . AA AC A1cl 4, C1A1A 60°, /. AC1Al为正三角形 P 为 AA 的中点，PC1 AA ,又.侧面 ACC1A1 侧面 ABBA ,且面 ACC1A 面 ABBA AA ,PC1 平面 ACC1A ,PC1 平面 ABB1A1 ,在平面ABB1A内过点p作PR AA交BB1于点R , uir uuu uuu分别以PRpAPG的方向为x轴，y

27、轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P xyz,则 P °,°,° ,A 0,2,0 ,A °, 2,0 ,C °, 4,2 73 , C 0,0,2 73 .Q为AC的中点，点Q的坐标为0, 3,73 ,uuiiAC1一 uuu0, 2,2,3 ,PQ0, 3, .3_uuu AB AB 2, B1AA 60，.一 B1 73,1,0 ，.一 PB1V3,i,0 ,r设平面PQBi的法向量为m x, y, z ,uuu r_,PQ m 0 口 3y 、.3z 0由uuu r 得,PB1 m 0、3x y 0一r令x 1 ,得yJ3,

28、z3,所以平面PQBi的一个法向量为 m1,、3, 3设直线A1C1与平面PQB1所成角为a,贝U sinuuur r cos AC 1, muuur r AC1 m uuu-r AC11ml3913即直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值为391324.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AA1 = AD=1, E为CD的中点.(1)求证：B1EXAD1.(2)在AA1上是否存在一点 P,使得DP/平面B1AE.若存在，求AP的长；若不存在，说明 理由.解：(1)证明：以A为原点，AB, AD, AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间 直角坐标系(如图).a . 一设

29、 AB = a,则 A(0,0,0), D(0,1,0), D1(0,1,1), E2, 1, 0 , B1(a,0,1),，,一一 a故AD1=(0,1,1), B1E= - 1, -1 ,一 ，、 N a , 八AB1=(a,0,1), AE= 2, 1,0. a因为 B1E AD1 = 2刈+1 M + (1) M = 0,所以 B1EXAD1.(2)假设在棱 AAi上存在一点 P(0,0, z。),使得 DP/平面 BiAE,此时 D P = (0, 1, zo).又设平面BiAE的法向量n= (x, y, z).一、，,一,因为n,平面BiAE,所以n±ABi, n

30、7;AE,ax+ z= 0,ax 2- + y=°.取x= 1 ,得平面BiAE的一个法向量a 一n= 1, 2, - a .要使DP/平面BiAE,只要n±DP,入a -有2 azo=0,1解得zo = 2.又DP平面B1AE,1所以存在点P,满足DP/平面B1AE,此时AP = 1.25.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC,底面 ABCD,底面ABCD是直角梯形，AB±AD,AB/ CD, AB=2AD=2CD=2, E 是 PB 的中点.(1)求证：平面 EACL平面 PBC.(2)若平面PAC与平面eac夹角的余弦值为 普,求直线pa与平面eac夹角的正弦

31、值.解：(1)因为PC，底面abcd,所以PCXAC,因为底面abcd是直角梯形，且 AB = 2AD= 2CD = 2,所以 AC='2, BC = x/'2.所以 ab2=ac2 + bc2,所以acxbc,因为pcabc = c,所以AC,平面pbc,因为AC 平面eac,所以平面 eac，平面 pbc.(2)建立如图所示的空间直角坐标系.设 PC= a,则 A(0,0,0), C(1,1,0),1 3 aE 次 -, a , P(1,1, a), B(0,2,0). 一一 13a所以 AC= (1,1,0), AE= 5，5, 2 ,AP=(1,1, a), BC=(1

32、, 1,0).设平面EAC的法向量为 v= (x, v, z),y AC = 0,v AE = 0,x+ y= 0,x+ 3y+ az= 0,2令 x= 1,则尸 1, - 1, , a因为 BCXAC, BCXPC, ACnPC=C,所以 BC,平面 PAC,所以平面PAC的一个法向量为 u=BC=(1, 1,0),设平面PAC与平面EAC的夹角为 &贝 U cosO=设直线PA与平面EAC的夹角为a,则sin a= |，AP|川API_|1 1+ 1 X 1+2M|_ 2一；3刈6 3 .26 .如图，在棱长为2的正方体ABCD ABCR 中，E , F , M , N分别是棱AB

33、 ,AD ,AB1， AD的中点，点P , Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP BQ (02).(1)当 1时，证明：直线 BC1/平面EFPQ ;(2)是否存在 ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出值；若不存在，说明理由.【答案】以D为原点，射线 DA, DC, DD1分别为x, y, z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz .由已知得B2,2,0 ,Ci 0,2,2 , E 2,1,0 ,F 1,0,0 , P 0,0,N 1,0,2 , M 2,1,2uuu,则BCuur2,0,2 , FP 1,0,uuruuuumFE1,1,0 , NM1,1

34、,0 , NP1,0,2uur(1)当 1 时，FPuuu1,0,1 ，因为 BC1uuuuir2,0,2 ，所以 BC1 2FP ,即 BC1/FP ,又FP 平面EFPQ ,且BC1平面EFPQ ,故直线BC /平面EFPQ .r一(2)设平面EFPQ的一个法向量为 n x,y,z ,则uur rFE n 0 /口 x y 0r彳由uur r ，得,于是可取n ,1 .FP n 0 x z 0.uuur rr ., NM m设平面MNPQ的一个法向量为 m x',y',z',由 uur rNP m°,得x' y' 0x' 2 z&#

35、39;r于是可取m 2,2,1若存在使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，mn "J ,/。，即 221。，解得 1 日显然满足02.故存在1 逅，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角27 .如图1所示，在等腰梯形ABCD中，BE AD,BC 3, AD 15, BE 3J3 .把 ABE沿BE折起，使得 AC 6J2,得到四棱锥 A BCDE.如图2所示.(1)求证：面ACE 面ABD ;(2)求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值AD ,可知 AE 6, DE 9 .【答案】(1)证明：在等腰梯形 ABCD中BC 3, AD 15, BE因为 BC 3,

36、BE 3.3, BEAD ,可得 CE 6.又因为AE 6, AC672 ,即 AC2 CE2 AE2,则 AEEC .又 BE AE,BEEC E ,可得 AE 面 BCDE ,故 AEBD .又因为tan DBEDEBE3,3DBEtan BECBCBE_3_3.3BEC30°,所以CE BD ,又AE EC E ,所以BD 面ACE ,又BD 面ABD ,所以面 ABD 面ACE ;(2)设EC BD O,过点。作OF/AE交AC于点F ,以点。为原点，以OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O BCF.在BCE中，BEO 300 , BOEO

37、,一 9 一一EO ,CO2班,。,。2-39,C 0,二，0 ,E 0,二，0 , FO/AE,FO1-AE, AE 6, 20,0,3 ,A0,I，6 DE /BC,DE9,uuuEDuur3BC , DuurBE3.3 9 cv,2,0uuu ,AEuir0,0,6 ,CAuur0, 6,6 ,CD设平面irABE的法向量为n1x, yi, zi1r uur64n1 AE 01由ur uur ，得3J3n1 BE 0xi292y1取xi J3,可得平面ABE的法向量为urniJ3, 1,0 ，93八八,0,02uu设平面ACD的一个法向量为n2x2,y2,z2，uu uurn2 CA由u

38、u uuu n2 CD6y1，得 9,3- x16z10取x1 1,可得平面 ABE的一个法向量为n2 1, 3J3, 3近设平面ABE与平面ACD所成锐二面角为ur则cos4.32.1652,5555所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为 封画5528.如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱 SA 底面ABCD, AB垂直于AD和BC, M为棱SB上的点，SA AB BC 2, AD 1 .D(1)若M为棱SB的中点，求证： AM /平面SCD;(2)当SM 2MB时，求平面 AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；(3)在第(2)问条件下，设点 N是线段CD

39、上的动点，MN与平面SAB所成的角为 求当sin取最大值时点 N的位置.【答案】(1)证明：取线段SC的中点E,连接ME, ED.在VSBC中，ME为中位线，MEPBC, 21 - . ADP-BC , 2ME PAD ,，四边形AMED为平行四边形.ME PDE DE 平面 SCD, AM 平面 SCD,. AM P平面 SCD.(2)解：以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS为x轴、y轴、z轴，如图所示的空间直角坐标系，则A 0,0,0 , B 0,2,0C 2,2,01,0,0 , S 0,0,2 ,由条件得M为线段SB近B点的三等分点.uuuv 2 uuv 是 AM AB 31

40、uuv -AS 3八4 20,-,3八4 20,一，一3 3设平面AMC的一个法向量为x,y,z ,则uuiv AM uuu ACv nv n将坐标代入得n 1,1, 2另外易知平面SAB的一个法向量为1,0,0所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为vi vn m(3)设 N x,2x 2,0 ,其中x 2.,4 2由于M 0,-,-,所以3 3uuvMNx,2x 仙 3所以sin可知当此时,uuv vMN muuvMN4020895x240一 x3104104 140 126 22一,一,015 1515一,即2626 ，时分母有取小值,15N在线段CD上且ND此时sin有最大值,11.51529.如图，在四边形 ABCD中，AB/CD, /BCD = W，四边形ACFE为矩形，且CF，平面 ABCD, AD=CD=BC = CF.(1)求证：EF，平面BCF;(2)点M在线段EF上运动，当点 M在什么位置时，平面 MAB与平面FCB所成锐二面角最 大，并求此时二面角的余弦值.解：(1)证明：在梯形 ABCD中，设AD = CD=BC=1,. AB/CD, Z BCD = 2r?, . AB = 2, . AC2= AB2+BC22AB BC cos= 3. 33. .AB2= AC2+BC2,BCXAC .平面 ABCD, AC 平面 ABC