2015年高考数列创新题赏析

1、2015年高考数列创新题赏析 中南大学第一附属中学 （410083） 刘文生 （qq：1341467906） 2015年全国高考数学试题中数列创新题精彩纷呈，数列问题的创新成为高考命题的一道亮丽的风景。 数列内容基本而且重要，它是普通高中数学模块5中的一个学习内容。通过学习，学生应了解数列的概念和几种简单的表示方法，并认识到数列是一种特殊函数；学生应理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式，并体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系；学生要能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。 数列内容是每年高考必考的一

2、个重要内容。基本题主要考察等差数列、等比数列的概念、通项公式与前n项和的公式及它们的一些简单性质。但高考试题中更多的数列问题是创新题。新颖的数列模型、新颖的设问方式、新颖的问题情境层出不穷。数列问题的创新让人赞不绝口。 例1（2015，湖南（文）设数列的前n项和为，已知，且=-+3，。 （1）证明：； （2）求.审题要点：已知条件简洁，就是一个关于数列的项与前n项和的一个递推关系，可以利用，（）或转化变形。 求证目标是数列的奇数项形成的子数列和偶数项形成的子数列都是等比数列，并在此基础上对n分奇偶，利用分组求和方法求得及。解题过程（略）评析： 本题考查了数列的递推公式、前n项和与通项的关系、等

3、比数列、分组求和等相关知识，是数列知识内部综合题，难度适中。 试题简洁，学生容易入手，优秀学生也容易走出来，整个求解过程无需费多少周折，能较好地考察学生的运算和推理能力。 本题以等比数列：1,3,9···和等比数列2,6,9···为背景，它们的项交错排列形成数列，这样的数列及其性质往往是学生少见的，是新颖别致的，对考生是公平的，有利于学生展现数学思考能力。试题具有良好的选拔功能。类似问题有：2015年浙江（文）17：已知数列和满足，.（1）求，；（2）设数列的前n项和为，求。2015年天津（理)18:已知数列满足（q为实数，且），,且

4、，为等差数列（1） 求q的值和的通项公式；（2）设，求数列前n项和。2015年山东（理）18：设数列的前项和为.已知.（）求的通项公式；（）若数列满足，求的前项和.2015年全国新课标卷第17题：为数列的前项和.已知，（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和。例2 （2015，广东（理）数列满足：。(1) 求的值；(2) 求数列的前n项和；(3) 令，（）。证明：数列的前n项和和满足。审题要点：已知条件是一个比较熟悉的恒成立等式，取n=1,2,3，可求得，；也可以由导出（），两式相减，即可求得一般项，又，所以，。第（3）问定义数列的通项，形式新颖，需仔细观察，··

5、3;，之间的关系，并且领悟到的前n项和对一切，恒成立的不等式的证明，可用数学归纳法或综合推理的方法。解题过程（略）评析： 本题考查了数列的递推公式、通项公式、等比数列前n项和、新定义数列的前n项和的求解以及不等式的证明，前2问难度适中，第（3）问难度大。 试题以等比数列：为背景，把它的一个性质作为已知条件让学生运算并推理出通项公式及前n项，这种过程是基础性的。第（3）问是一种创新设置，新定义的（）形式独特，这个新数列应该是考生从未见识过的，有超凡脱俗之感。新情境新问题，将有效地考查学生的数学思维能力。例3（2015，北京（理）已知数列满足，且，记集合M=;(1) 若，写出集合M的所有元素；(2

6、) 若集合M中存在一个元素是3的倍数，证明：M中的所有元素都是3的倍数；(3) 求集合M的元素个数的最大值。审题要点: 对取定的，根据递推关系，将得到一个对应的数列。如时，得数列：6,12,24,12,24，···；又如，得数列：1,2,4,8,16,32,28,20,4,8,16,32,28,20，···。这些数列都有这样的特征：后面的项是前面的某些项的重复。数列的特征决定了集合M=都是有限集，但到底有几个元素，我们要进一步探究数列的项的特征，如是2的倍数， 是4的倍数，再如，若是3的倍数，则所有的都是3的倍数，等等。解题过程（略）

7、评析： 本题考察了数列的递推关系、集合的性质、推理与证明。由于有36个不同的取值，对每一个，都将对应一个不同的数列，因此考生面对的是一群数列。这个群对高考考生仅有20分钟左右的时间作答，非常大，可例举，不宜穷举。考生应重点探究数列的特征，这就考察了学生的数学思维能力。 我们常见的数列问题，往往以等差数列或等比数列为背景，问题常常在适当运算与合理转换中得到解决。本题不同寻常。背景是36个不同的数列，探讨的问题是这群数列的某些特征，这些问题明显地避开了等差数列、等比数列知识的综合运用，问题的求解明显地指向更基本的分析与思考能力。类似问题有:2015年浙江（理)20. 已知数列满足=且=-（n）（）

8、证明：1（n）；（）设数列的前n项和为,证明（n）.例4（2015，湖南（文)已知,函数，记 为的从小到大的第n（）个极值点。（1） 证明：数列是等比数列；（2） 若对一切，恒成立，求a的取值范围。审题要点：由，即，因为，所以。考虑在附近的正负变化，可得的从小到大的第n（）个极值点，用定义可证数列是等比数列；即，可化为，找到的最小值，就能确定a的取值范围。解题过程（略）评析：本题考查函数的导数、函数的极值、等比数列、不等式以及恒成立问题的转化与求解，知识综合大，对运算能力、逻辑推理能力和分析问题能力的要求高，是一道非常优秀的压轴题。在函数背景中产生等差数列和等比数列，在转化不等式时又衍生出数列，为了找到他的最小