线面面面平行的判定与性质随堂练习含答案

1、线面、面面平行的判定与性质基础巩固强化1.（文）（2011北京海淀期中）已知平面= l, m是口内不同于l的直线，那么下列命题中错误 的是 （） A .若 m / & 则 m /1B.若 m / l,则 m / BC.若 m & 则 m，1D.若 mXl,则 mX （3答案 D 解析 A 符合直线与平面平行的性质定理；B 符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D,只有 也（3时，才能成立（理）（2011泰安本II拟）设m、n表示不同直线，券（3表示不同平面，则下列命题中正确的是（）A.若 m % mII n,则 n B.若 m? & n? & m / & n/ % 则

2、BC.若 all 3, m / % m / n,则 n / BD.若 / & mil % n/ m, n? & 则 n/ （3答案 D解析A选项不正确，n还有可能在平面口内，B选项不正确，平面口还有可能与平面B相交，C选项不正确,n也有可能在平面BD 正确2.（文）（2011邯郸期末）设m, n为两条直线，% （3为两个平面,则下列四个命题中，正确的命题是（）A.若 m? % n? % 且 m / & n / & 则 BB.若 mil & mln n,则 n / %C.若 m / & n / % 则 m /1 nD.若 m, n为两条异面直线，且 mil j n/ % m/ & n / & 则

3、 all B答案 D 解析 选项 A 中的直线m， n 可能不相交；选项B 中直线 n 可能在平面口内；选项C中直线m, n的位置可能是平行、相交或异面.（理）（2011浙江省温W市测试）已知m, n, l为三条不同的直线，%B为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （）A. all 3 m?% n?伊m/nB . l X 3, ocX 伊 l / aC. m % mn?n II %D . all 3 U o?U B答案 D解析对于选项A, m, n平行或异面；对于选项B,可能出现1? %这种情形；对于选项C,可能出现n?%这种情形.故选D.3. （2011宁波模拟）已知直线1、m,平面券&则

4、下列命题中的假命题是 （）A .若 all 3, 1? % 则 1 / BB .若 all & 1，& 则 1，BC.若 1 / & m?& 则 1 / mD .若 口，& ocA 3= 1, m? & m 1,则 m B答案 C解析对于选项C,直线1与m可能构成异面直线，故选 C.4. （2011广东揭阳模拟）若a不平行于平面&且a?%则下列结 论成立的是（）A. %内的所有直线与a异面B . %内与a平行的直线不存在C. %内存在唯一的直线与a平行D. 口内的直线与a都相交答案B解析由条件知a与相交，故在平面口内的直线与a相交或异面，不存在与a平行的直线.5. （2012石家庄二模）三棱锥

5、的三组相对的棱（相对的棱是指三棱 锥中成异面直线的一组棱）分别相等，且长分别为 &、m、n,其中 m2+n2 = 6,则该三棱锥体积的最大值为（）B.272D.3答案D解析 令!= 由m!2+门2=6得m!= n=V3,取AB的中点E, -L _J0 _ _10_ c则 BE= 2 , PB= 3, . PE= 2 , CE= 2，-EF = 2,111- 22 123 Vpabc = 3S/tec AB = 3X(2X2X2)XV2= 3，口力，丁力， 2 83 3 27,故选 D.6. （2011苏州模拟）下列命题中，是假命题的是（）A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平

6、B.平面%/平面& a?%过B内的一点B有唯一的一条直线 b, 使 b / aC. all & yll S, %、B与丫 S的交线分别为a、b和c、d,则a / b / c / dD 一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案 D 解析 三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，. A真；假设在（3内经过 B点有两条直线b、c都与a平行，则b/c,与b、c都过B点矛盾， 故 B 真；产 a,Ab,.a/b 同理 c/d;又/& 恒 %=a，们片c,a/c,.匕化化肛 故C真；正方体ABCD AiBiCiDi 中，AC与平面AAiDiD和平

7、面CCiDiD所成角相等，但平面AAQQA 平面 CCiDiD=DDi,故 D 假.7. （2012北京东城区综合练习）在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；若平面%/平面向则平面内任意一条直线m/平面B；若平面与平面B的交线为m,平面口内的直线n，直线m, 则直线n，平面（3；若平面口内的三点A、B、C到平面（3的距离相等，则d其中正确命题的序号为 答案 解析中，互相平行的两条直线的射影可能重合，错误；正确；中，平面与平面（3不一定垂直，所以直线n就不一定垂 直于平面&错误；中，若平面口内的三点A、B、C在一条直线 上，则平面与平面（3可以相交

8、，错误.8. （2011 福建文，15）如图，正方体 ABCDAiBiCiDi 中，AB = 2, 点E为AD的中点，点F在CD上，若EF /平面ABQ,则线段EF 的长度等于.答案V2解析:EF/平面ABiC,平面ABCD经过直线EF与平面ABiC相交于AC,. EF /AC,.E为AD的中点，下为CD的中点，i i 一二 二.ef=2AC=2X2V2=V2.9. （20ii郑州一检）已知两条不重合的直线 m、n,两个不重合的 平面、&有下列命题：若 m/n, n? % 则 m / %;若n a, m，&且n m,则口就若 m? % n? % m/ & n/ & 则 位若 a 3 B= m,

9、 n? & nXm,贝U n，* 其中正确命题的序号是.答案解析对于，直线m可能位于平面口内，此时不能得出m/%因此不正确；对于，由 n a, m/n,得m &又m &所 以/就因此正确；对于，直线 m, n可能是两条平行直线，此 时不一定能得出口/&因此不正确；对于，由“如果两个平面相 互垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平 面”可知，正确.综上所述，其中正确命题的序号是.10. （文）（2012辽宁文，18）如图，直三棱柱 ABCA B C, /BAC= 90 ,AB = AC = ,AA =1,点M、N分别为A B和 B C 的中点.（1）证明：MN / 平面 A A

10、CC;（2）求三棱锥A -MNC的体积（锥体体积公式 V= 1Sh,其中S 3为底面面积，h为高）.分析 欲证MN/平面A ACC,须在平面A ACC内找 到一条直线与MN平行，由于M、N分别为A B, B C的中点， B C 与平面A ACC相交，又M为直三棱柱侧面 ABB A的对角线A B的中点，从而M为AB的中点，故MN为MB C的中位线，得证.（2）欲求三棱锥A -MNC的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点M、N为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的解11,决，视 A MC 为底面，则 Sm mc = 2Saa bc, Va -mnc = 2Vn-a bc,又Vn-a，bc=Va -

11、nbc,易知A N为三棱锥A NBC的高，于是易得待求体积.解析(1)连结AB , AC ,由已知/BAC=90,AB = AC,三棱柱ABC A B C为直三棱柱，所以M为AB中点.又因为N为B C的中点，所以 MN /AC.又MN?平面A ACC ,AC ?平面 A ACC ,因止匕MN /平面A ACC(2)连结BN,由题意A NLBf C,平面A b C n平面B BCC =B C,所以 A N，平面 NBC.一 ，1_， 一16.又 A N = 2B C =1,11,故 Va -mnc Vn-a mc ?Vn-a bc2VA -nbc 点评本题考查了线面平行的证明，锥体的体积两方面的

12、问 题，对于(1)还可以利用面面平行(平面MPN /平面A ACC,其中P 为A B的中点)来证明；(2)还可利用割补法求解.(理)(2012浙江文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中，AD/BC, ADXAB, AB = V2, AD = 2, BC = 4, AA = 2, E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明： EF/A1D1； BAi,平面 BiCiEF;(2)求BCi与平面BiCiEF所成角的正弦值.分析(1)欲证 EF/AiDi, .BCi/AiDi, .只需证 EF/B1C1, 故由线面平行的性质定理 “线面平行？线

13、线平行”可推证.要证BAi,平面BiCiEF,需证BAiBiCb BAiXBiF,要证 BAiBiCb只需证BiC平面AAiBiB,要证BAiXBiF,通过在侧 面正方形AAiBiB中计算证明即可.(2)设BAi与BiF交于点H,连结CiH,则/BCiH就是所求的角.解析(i) 9间/AiDi, CiBi?平面 ADDiAi,. CiBi/平面 AiDiDA.又平面 BiCiEFA 平面 AiDiDA=EF,. CiBi/EF, . AiDi/EF.BB平面 AiBiCiDi, .BBBiCi,又.BiCBiAi, ABiC平面 ABBiAi./BiCiXBAi.在矩形ABBiAi中，F是AA

14、i的中点，2 rrtanZAiBiF = tanZAAiB = ?，即久BiF=/AAiB,BABiF.又.BAiLBiCi,所以BA平面BiCiEF.设BAi与BiF交点为H,连结CiH.由知BA平面BiCiEF,所以/BCiH是BCi与平面BiCiEF所成的角.在矩形AAiBiB中,由 AB = V2, AAi=2,得 BH46.在Rt空HCi中，由BCi = 275, BHsin/BCiHBH _ 30BCi = 75.所以BCi与平面BiCiEF所成角的正弦值是曜.15点评本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面角等基 础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力能力拓展提升ii.（文

15、）（20ii北京*II拟）给出下列关于互不相同的直线I、m、n和 平面、,丫的三个命题：若I与m为异面直线，l?& m? &则all （3；若 all 3 I? % m? & 则 I / m；若 ocA 3= 1, 8口 产 m, / %= n, I / % 则 m /1 n.其中真命题的个数为（）A. 3B. 2C. iD. 0答案C解析设%n = a,当I, m都与a相交且交点不重合时，满足的条件，故假；中分别在两个平行平面内的两条直线可能平行，也可能异面，故假；由三棱柱知真；故选 C.（理）如图，在三棱柱 ABCA B C中，点E、F、H、K分别为 AC、CB、A B、B C的中点，G

16、为 ABC 的重心.从 K、H、 G、B中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行， 则P为（）A. KB. HC. GD. B答案C解析假如平面PEF与侧棱BB平行则和三条侧棱都平行，不满足题意，而FK/BB,排除A;假如P为B点，则平面PEF 即平面A B C,此平面只与一条侧棱 AB平行，排除D.若P为H点，则HF为ABA C的中位线，.HF/A C ; EF 为MBC的中位线，EF/AB, HE为MB C的中位线，HE / B C,显然不合题意，排除B.点评 此题中，.EF是MBC的中位线，.EF/AB/A B, 故点P只要使得平面PEF与其他各棱均不平行即可，故选 G点.1

17、2.（文）（2012江西文，7）若一个几何体的三视图如图所示，则 此几何体的体积为（）11A.-2B. 5-9CD. 4答案D1解析由三视图知该几何体为直六棱柱.其底面积为 S= 2x5 X（1 + 3）X1=4,高为1.所以体积V=4.（理）（2012四川文，6）下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个 平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面 的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案C解析本题考查了线面角，面面垂直，线面平行，面面平行等位置关系的判定与

18、性质，对于A选项，两条直线也可相交，B选项若三点在同一条直线上， 平面可相交.D选项这两个平面可相交（可联系墙角），而C项可利用 线面平行的性质定理，再运用线面平行的判定与性质可得.本题需要我们熟练掌握各种位置关系的判定与性质.13. （2012南昌二模）若P是两条异面直线1、m外的任意一点， 则下列命题中假命题的序号是 .过点P有且仅有一条直线与1, m都平行；过点P有且仅有 一条直线与1,m都垂直；过点P有且仅有一条直线与1,m都相交； 过点P有且仅有一条直线与1, m都异面.答案解析是假命题，因为过点P不存在一条直线与l, m都平 行；是真命题，因为过点 P有且仅有一条直线与l, m都垂

19、直，这 条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；是假命题，因为过点 P 也可能没有一条直线与l, m都相交；是假命题，因为过点 P可以 作出无数条直线与l, m都异面，这无数条直线在过点P且与l, m都 平行的平面上.点评第个命题易判断错误.当点P与l确定的平面%/m时， 或点P与m确定的平面（3川时，过点P与l、m都相交的直线不存在.14. （2012佛山一模）过两平行平面、（3外的一点P作两条直线， 分别交口于A、C两点，交（3于B、D两点，若PA=6, AC=9, PB =8,则 BD =.答案12解析由面面平行的性质定理可知 AC/BD,又由平行线分线 段成比例定理可得PA- = AC,

20、即6=去，得BD=12.PB BD 8 BD15. （文）如图,在三棱柱 ABCAiBiCi 中,ACXBC, ABXBBi, AC=BC=BBi = 2, D 为 AB 的中点，且 CDLDA.求证：BB平面ABC;（2）求证：BC/平面CAQ;（3）求三棱锥B1-A1DC的体积.解析（1）AC=BC, D 为 AB 的中点，.CDLAB,又.0口，口人1,.CD，平面 ABB1A1, . CDXBB1,又 BBAB, ABA CD = D,BBi，平面 ABC.(2)连接BCi,连接ACi交CAi于E,连接DE,易知E是AG的 中点，又D是AB的中点，则DE/BCi,又DE?平面CAiD,

21、 BCi?平 面 CAiD, BCi /平面 CAiD.(3)由(1)知 CD，平面 AAiBiB,故CD是三棱锥CAiBiD的高，在 RtMCB 中，AC=BC=2, /AB=2V2, CD=V2,i又 BBi =2, . VBi AiDC = VC AiBiD = &SAAiBiD CD3= iAiBiX BiBXCD = ix 2V2x 2X蛆 = 4.663(理)如图，PO,平面ABCD,点。在AB上，EA/ PO,四边形1 _ABCD 为直角梯形，BCXAB, BC=CD= BO=PO, EA=AO = 2CD.(i)求证：BC，平面ABPE;(2)直线PE上是否存在点 M,使DM

22、/平面PBC,若存在，求出 点M;若不存在，说明理由.解析(i)PO,平面ABCD,BC?平面 ABCD, /.BCXPO,又 BCXAB, ABA PO=O, AB?平面 ABP, PO?平面 ABP, /.BC，平面ABP,又 EA/PO, AO?平面 ABP,. EA?平面 ABP,.BC，平面 ABPE.点E即为所求的点，即点M与点E重合.取PO的中点N,连结EN并延长交PB于F,.EA=1, PO= 2, /.NO=1,又EA与PO都与平面ABCD垂直，.EF /AB,1. F 为 PB 的中点，.NF = 2OB=1, .EF=2,又 CD = 2, EF/AB/CD,四边形DCF

23、E为平行四边形，. DE/CF,.CF?平面 PBC, DE?平面 PBC,.DE/平面 PBC.当M与E重合时，DM /平面PBC.16.(2012北京海淀区二模)在正方体ABCD A B C D中，棱 AB、BB、B C、C D的中点分别为E、F、G、H,如图所示.(1)求证：AD /平面 EFG;(2)求证：A C，平面EFG;(3)判断点A、D、H、F是否共面，并说明理由.解析(1)证明：连结BC.在正方体 ABCD A B C D中,AB = C D ,AB/C D所以四边形ABC D是平行四边形.所以 AD IIBC：因为F、G分别是BB、B C的中点，所以 FG /BC,所以 F

24、G HAD.因为EF、AD是异面直线，所以AD ?平面EFG.因为FG?平面EFG,所以AD /平面EFG.(2)证明：连结B C.在正方体 ABCD A B C D中，A B，平面 BCC BBC ?平面 BCC B,所以 A B，BC.在正方体BCC B中，B ClBCf ,因为A B ?平面A B C,B C ?平面 A B C, A B A B C =B,所以BC，平面A B C.因为A C?平面A B C,所以BC LA C.因为 FG/BC,所以 A CFG.同理可证：A CLEF.因为 EF?平面 EFG, FG?平面 EFG, EFAFG = F,所以A C，平面EFG.(3)

25、点A、D、H、F不共面.理由如下：假设 A、D、H、F 共面.连结 C F、AF、HF.由(1)知，AD /BC,因为 BC ?平面 BCC B , AD ?平面 BCC B.所以AD /平面BCC B.因为C 6 D H,所以平面 AD HFA平面BCC B =C F.因为 AD ?平面 AD HF,所以 AD /C F.所以C F /BC,而C F与BC相交，矛盾.所以A, D、H、F点不共面.1.设m、l是两条不同的直线，口是一个平面，则下列命题正确的是()A.若 l，m, m?% 则 1，*B.若 1，& 1 II m,则 m %C.若 1 / & m?& 则 1 / mD.若 1 / & m / & 则 1 / m答案B解析两条平行线中一条垂直