三角形中的最值或范围问题

1、三角形中的最值或范围问题在解三角形时，往往会遇到求边、角、周长、面积等问题的最值或范围，我们只需综合运 用正余弦定理、三角恒等变换、面积公式，结合基本不等式与三角函数等知识求解即可、角的范围或最值【例1】：若KBC的三边a,b,c所对的角依次为A,B,C ,且满足b2 ac ,则SinB+cosB的取值范围是解析:因为b2ac ,又由余弦定理知cos Ba2 c2 b22ac2 a2acc2 ac 2ac ac 12ac 2，所以 0 B ,又 SinB cos B . 2 Si n(B)且B344所以,2 sin(B -)(1, .2,47412即SinB COSB的取值范围是（1, .2.

2、UUn IlJU 6S【变式】：已知AKBC的面积为S, BA BC S ,则sin2 A sin2 C的取值范围是UJJ Uiur 6S解析：由 BA BC 7,得 Cacos B2 - acsi nB,即 cos B-.723 Sin B,3又cos2B sin2B 1,所以COSB 4Sin2A sin2C2C = 12cos(A C) (A C) * 1cos(A C) (A C)=cos(A C )cos( A C) 1 = cos B cos( AC) 1 = 3cos(A C) 1 .4因为0 A B, 0 CB）所以BB,-15 -所以当 A C 时，COS(A C)max 1

3、,当 ACB 或 A C B 时，cos(AC) min coS B34,737所以花 4COS(A C) 1 4, 即sin2 A sin2C的取值范围是（，j 点评：求角的范围问题一般是转化为利用三角函数的范围来求 .、边的范围或最值【例2】：在锐角ABC中，A=2B ,则C的取值范围是.b解析:由O A 2B 且O C A B 2所以Cb4cos2 B 1，Sin CSin Bsin3B Si n2BcosB cos2Bsi nBSin BSin B又 CosB(1,2).【变式】:在AABC中角 A、B、C所对的边分别为a、b、c,且BC边上的高为 a,则半-6b C的最大值是（）A.

4、8B. 6C.2L D.4解析:由已知得，在AKBC中,1a -a 1bcsi nA,2c2 2bccos A ,即 a2 2bccos A b2 C2,23si nA 2 cos A 4si n（A ）4.即a22 3bcsi nA,又由余弦定理得a2 b2C b b2 c22、3bcsin A 2bc cos A所以b CbCbc6故选D.点评：把边的问题转化为角的问题，化多元为一元，体现了解题的通性通法.下面这道高考题只需运用正弦定理即可，能想到方法就很简单，想不到就太难了，不愧是高考题！【好题欣赏】：（2015 新课标）在平面四边形ABCD中，A B C 75o，BC 2，则AB的取值

5、范围是L解析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD ,当A与D重合于E点时，AB最长,在 BCE 中， B C 75o,E 30o, BC 2,由正弦定理可得,解得BE = 6+ . 2 ;Sin 30 Sin 75平移AD ,当D与C重合时，AB最短，此时在 BCF 中， B BFC 75o,FCB 30o,由正弦定理知 -BFV -BC ,解得BF 62 ,Sin 30o Sin 75o所以AB的取值范围为(6 . 2, . 6+ . 2).三、周长的范围或最值【例3】：已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,acosC X 3asinC b c 0.(1) 求A的大小；(

6、2) 若a= 7,求AABC的周长的取值范围.解析:(1)由已知及正弦定理得：Si nAcosC 、3Si n Asi nC Si nB Si nC,艮卩 Si nAcosC . 3 Si n Asi nC Sin (A C) sinC,化简得，.3s in A cos A 1 ,所以 Sin(A )-,6 2所以A,解得A ;663(2)由已知：b,c,bca 7,-(b c)242232(b C) 3bc (b C) (b C)4当且仅当 b = C = 7 时等号成立，.(b c)24 49 ,又 b+ C7,二 78B. m6C. M4D. m2故只需求分析:三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形， 出函数在区间0,2上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解.解析:由 f(x) 32 3 3( 1)( 1) 0得到 XI 1,x21 (舍去)，T函数的定义域为0,2 ,函数在(0, 1)上 f(x)0 ,在(1, 2)上f(x)0函数f(x)在区间(0，1)单调递减，在区间(1，2)单调递增，