精品导学案：双曲线的几何性质

1、精品导学案：1.1.2双曲线的几何性质课前预习学案一、预习目标理解并掌握双曲线的几何性质，并 ，能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并 能具体估计双曲线的形状特征.二、预习内容1、双曲线的几何性质及初步运用.类比椭圆的几何性质.2.双曲线的渐近线方程的导出和论证.观察以原点.为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条 对角线即为双曲线的渐近线.三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、教学过程（一）复习提问引入新课1 .椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答.应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准

2、方程探讨的.2 .双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答.应为：中心在原点、焦点在X轴上的双曲线的标准方程为-£ = 1；中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质.（二）类比联想得出性质（性质13）引导学生完成 下列关于椭圆与双曲线性质的表格 （让学生回答，教师引导、启发）楠圆双曲蹒方程223t y 十 = l(a>bO) a u22工 yr-1 = l(a> 0, b> 0)i b在、b、e关系cMb惶 > b > 0)eF*田依 > 0 j b > 0)J卜F图形y吓>Fl尸。1*

3、7个-b范圉Nj |y|< b限 a j y e R.对称性对称轴：x轴.y轴 对称中心：原点对称轴：工轴、y轴 对称中心；：原点顶点（-a j 0） j （a j 0） （0上）（0b） 长轴为2a 短轴为比（-& j 口 1（也 0 j 实轴为喜 虚轴为物（三）问题之中导出渐近线（性质4）在学习椭圆时，以原点为中心， 2a、2b为邻边的矩形，对于估计椭圆的琳，画出椭圆的简图都有很大作甩试问对双曲线= a b仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形（板书图形），那么双曲线和这个矩 形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图 （图2-26）有什么指导意 义？这些问题不要求学生

4、回答，只引起学生类比联想.接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？请一同学回答，应为y=±L七拜画出两条对角线，进一步引导学 a生从图观察得出结论：双曲线。-的各支向外延伸时，与这两条渐 哈酬施.下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部分可写成：y 二9 a图 2-26设Mg y)是它上面的点，N(x, 7)是直线上与M有相同 a的横坐标的点，MlJy = -x. a- bb f_j 苜丫/b y vx - a = x. 1 - - <-x =另aa l 篮J a.'.|MN|= y - y =上(笈-a/x2 _ a2)= aax + Vx

5、3 - a2 abz + J.a - /设|MQ|是点M到直线y = 2笈的距离，则有|MQ| <|如由 a当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近 于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线 ON的下方逐渐接近于射线ON在其他象限内也可以证明类似的情况.我们把两条直线y=i Lx叫做双曲线的渐近线. a现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在 y轴上 的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前 者渐近线方程也可由后者渐近线 .方程将x、y字母对谓而得，所以，双曲线马-5=1的渐近线的方程是区=&#

6、177;与即尸 a baa士定义：直线y=± 9笈叫做双曲线= 1的渐近线；直线y二士 aa b叫做双曲线弓-椅=1的渐近练这样，我们就完 满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确地画出双曲线.例如：画双曲线3先作渐近线y二t2_) 16j再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线.(四)离心率(性质5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍 一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：1 .双曲线的焦距与实轴的比一叫做双曲螭离心率，且已X a2 .由于:二卢?二/二二户士所以越大，;也越大，即渐近线y二士 Bx的斜率绝对值越大.这时双曲线

7、的形状就从扁狭逐渐 a变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.这时，教师指出：焦点在 y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出双曲线的 几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的，改变而改变.(五)练习与例题1 .求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐 标、离心率、渐 近线方程.请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正.W：把方程化为标准方程%授=L由此可知，实半轴长 a=4,虚半轴长b=3.c =W 行=5,焦点坐标是(0 , -5) , (0 , 5).离心率为已=2 = j.a 4渐近线方程为笈=± jy，即丫 = 士;即2 .点

8、M(x, y)到定点F(c, 0)的距离和它到定直线L x = 一的C距离的比是常数求点M的轨迹(图2-27).本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结.解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：p = (MM=£),d a由此得反苧L二ix - a c化简彳导:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).设c,就可化为 U = L这就是双曲线的标准方程.由此例不难归纳出双曲线的第二定义.(六)双曲线的第二定义1 .定义(由学生归纳给出)平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数 e=E(e>l时这个点M的轨迹是双曲缘定点是双曲蝴

9、焦点，定直线 a叫做双曲线的准线，常数 e是双曲线的离心率.2 .说明对于双曲线W- = 1,相应于焦点F(c, 0)的推线方程悬二上. a bc根据双曲线的对称性，相应于焦点F，(v, 0)的准线方程是过二-二. c对于双曲线-4 = 1,相应于焦点FQ c)的准线方程是y=， a bc相应于焦点F,(0, 一 c)的准线方程是y =-.(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结.五、布置作业1.已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率 e和渐近线方程.I6x2-9y2=144;(2)l6x2-9y2=-144.2,求双曲线的标准方程：实轴的长是10,虚轴长

10、是8,焦点在x轴上；(2)焦距是10,虚轴长是8,焦点在y轴上；离心率巳=应，经过点M(5 3)( 99(4)两条渐近线的方程是尸土露经过点岫不，-1).3 .求以椭圆(+二=1的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双 U -1曲线的方程.4 .已知双曲线号.£二1上的P点到左焦点的距离等于3,求P点到两准线及右焦点的距离.8作业答案:L F2 0）, a（5,0），（明-5）, F式0.5）,54e = -,渐近线方程为y = i -X渐近线方程为y=±2笈432.3.（1） - -= 125 16 i i（咤-5222.匚=13 54.P点到左准线的距离为2,到右准线的距

11、离是冷，到右焦点的距离为7六、板书设计§ 112双曲线的几何性质（一）宜习提问1 .2 .（二胜质13列表：（三）渐近线性质4）（四漓心率（性质可（五）舞与例题1 .2 .（六）双曲箕的第二定义（七）小结（课后完成）1.1.2双曲线的几何性质学案、课前预习目标理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并 能具体估计双曲线的形状特征.二、预习内容1、双曲线的几何性质及初步运用.类比椭圆的几何性质.2.双曲线的渐近线方程的导出和论证.观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条 对角线即为双曲线的渐近线.三、提出疑惑同学们，通过你的自

12、主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究1、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析2、描述双曲线的渐.进线的作用及特征3、描述双曲线的离心率的作用及特征4、例、练习尝试训练：例1.求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.解：2.点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离和它列定直线x = 三的距离的比是常数(-XC>a>0),求点M的轨迹(图2 - 27).解:5、双曲线的第二定义1) .定义(由学生归纳给出)2) .说明对于双曲线W- = 1,相应于焦点F© 0)的推线方程悬=上. a bc根据双曲线的对称性，相应于焦点F"c 0)的准线方程是x = E. c对于双曲线= 相应于焦点F(0, c)的准线方程是y =， a bc相应于B甩'(。，'c)的泄切=-. c(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结.作业：1 .已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程.I6x2-9y 2=144;