理论力学@2力系的简化

1、第2章力系的简化2.1 主要内容2.1.1 汇交力系汇交力系合成为通过汇交点的合力，合力的大小、方向等于各分力的矢量和Fr = ' F或 FR =Fxi -、Fy j kzk汇交力系的合力在轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和，称之为合力投影定理，即 nnnFrx = ' Fxi, FRy = Fyi, Frz = ' Fzii 1i=iy2.1.2 力偶系力偶系合成结果为一合力偶，其力偶矩M等于各力偶矩的矢量和：nM八 M ii 1合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影：nnnMx 八 Mxi，My 八 Myi，Mz 八 Mzii 1i 1i 1或 M = IMix

2、i 三Miy j 三Mizk平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和：M ="Mi2.1.3 任意力系力的平移定理作用在刚体上的力，可平行移动到刚体上任一点，平移时需附加一力偶，附加力偶的矩 等于原作用力对平移点之矩，称为力的平移定理。该定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。其逆定理表明，可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成，应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。力系向一点简化主矢和主矩力系向任一点 O (称简化中心)简化，得到通过简化中心的一个力及一个力偶。力系中各力的矢量和称

3、为力系的主矢量。即F R - F主矢与简化中心位置无关力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。即M oMo(F )主矩与简化中心位置有关。力系的简化结果归结为计算两个基本物理量一一主矢和主矩。它们的解析表达式分别为nnFr =、F i =、F ii1 仁nnM o -'、： M iM o(Fi)Ti1力的大小、方向等于力系的主矢量，力偶矩矢等于力系对O点的主矩。如以简化中心为原点，建立直角坐标系Oxyz,则主矢与主矩的解析式表达式分别F R = " Fxi J Fy j ' FzkMox=yFRz _ ZFRyMoyzFRx _ xFRz Moz=y

4、FRy yFRx表21力系的简化结果主矢 主矩力系简化结果说明FR =0 Mo =0平衡平衡力系FR = 0 Mo #0合力偶此时主矩与简化中心的位置无关FR =0 Mo =0合力合力作用线通过简化中心fR 至0 Mo #0 fRIM O合力合力作用线离简化中心O的距离为Mod= bF RF R 手 0 Mo #0 F R/ M o力螺旋力螺旋的中心轴通过简化中心F R ¥0 Mo #0(F R, M o)=a力螺旋力螺旋的中心轴离简化中心 O的距离Mo sins为d =,Fr2.1.4 物体的重心重心是物体重力的合力作用点。均质物体的重心与几何中心形心重合。2.2 基本要求1 .掌

5、握力向一点简化的方法和步骤。2 .正确理解力系的主矢和主矩的概念。3 .掌握个种类型力系的简化方法，熟悉简化结果，能熟练地计算平面任意力系的主矢 和主矩。4 .对平行力系中心和物体的重心，应有清晰的概念。5 .能熟练地应用组合法求物体的重心。2.3 重点讨论关于主矢和主矩需要弄清楚以下几点：1 .主矢不是力，主矩不是力偶。主矢和主矩是描述力系对物体作用效果的量。2 .主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述力系使物体移动的作用效果。3 .主矩也是自由矢量，只有大小和方向，描述力系使物体绕O点转动的作用效果。4 .主矢与简化中心的选择无关。从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。主矩与 简化中心的选

6、择有关。这说明附加力偶随简化中心而改变，因此，对于力系的主矩必须指出它是力系对于哪一点的主矩。力系简化的具体步骤：1 .确定简化中心，建立以该点为原点的坐标系。2 .计算各力在坐标轴上的投影，求力系的主矢量。3 .计算各力对坐标轴之矩，求力系对简化的主矩。4 .分析简化结果。当力系简化为力螺旋时，要具体给出力螺旋的三要素：力矢量和与之平行的力偶矩矢量，中心轴的位置。5 .任意力系简化的最后结果有四种可能情形：合力、合力偶、力螺旋及平衡。2.4例题分析例2-1已知Fi =2kN , F2 =4kN , F3 =10kN ,三力分别作用在边长为 a (cm)的 正方形OABC的C, O, B三点上

7、，如图2-1(a)所示。求此力系的合成结果。解：取。点为简化中心，建立图示坐标系Oxy。力系的主矢量F R JFxi 、Fyj二 (-Fi F3cos： )i (-F2 F3sin ：' ) j=4i +4j (kN)力系对O点的主矩M o = " M o (F ) = Fi a F3 sin - a - F3cos： a =4a (kN m)力系向O点简化的结果为作用线通过该点的一个力和力偶矩为MO的一个力偶，如图(b)所示。力系还可进一步简化为一个力，即力系的合力。其大小、方向与FR相同，由合力矩定理得合力作用线离简化中心O的距离d =R=0.71 cm19力系简化最后结

8、果如图 2-1 (c)所示。例2-2三角形分布载荷作用在水平梁AB上，如图2-2所示。最大载荷强度为 qm,梁长l。试求该力系的合力。解：先求合力的大小。在梁上距 A端为x处取一微段dx,其上作用力为q'dx, x由图可知，q =-p qmol .1合力Fr - 0q dx -2qml再求合力作用线位置。 设合力FR的作用线距A端 的距离为h ,在微段dx上的作用力对点 A的矩为 q'dx-x,由合力矩定理，力系对点 A的矩lFRh = 0qxdx代入q '和FR的值r2得h=2l3即合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合力作用线通过三角形的几何中心。例2-3 在汽缸盖

9、上要钻四个相同的孔(图2-3),现估计钻每个孔的切削力偶矩m =m2 =m3 =m4=m=T5 N m ,当用多轴钻床同时钻这四个孔时，问工件受到的总切削 力偶矩是多大？解：作用在汽缸盖上的力偶有四个，各力偶矩的大小相 等、转向相同、又在同一平面内，因此这四个力偶的合 力偶矩为M = Im = m1 + m2 + m3 + m4 = 4m 图 2-4 =4 （-15）- -60 N m负号表示合力偶矩顺时针方向转动。知道总切削力偶矩之后，就可考虑夹紧措施，设计夹具。例2-4 设基础同时受到一个中心压力F及一个力偶矩为m的力偶作用如图2-4(a),已知F =65.5 kN , m= 496 kN

10、 cm。试合成为一个力。31(a)(b)(c)图2-4解：将给定的力偶用与力 F平行的两个力F '和F '表示如图2-4(b)，且F '= F " = F。于 是距离d二些F 65.5= 13.7cm根据加减平衡力系定律，作用在 A点两个力F、F r互相抵消，剩下作用在 B点的力F,就是 力F和力偶矩为m的力偶的等效力。合力 F牲T力F大小相等且同向平行。例2-5 试化简图2-5中，由F1、F2组成的力系。已知 F1 = F2 = F, OA = OD = a , OB=OC =2a。径为解：选O点为简化中心。各力矢量及力作用点矢.2F i2.2 TF j、2

11、F k22 F k2ra 二ai, rb =2aj则力系的主矢F'r与主矩Mo为:22(a)(b)Fr 八 Fi =-F(i j -2k)i 12M o 八 M o（ F i）八 U F i =Fa（2i j）i4y2得力系第二不变量12FR M O = F2a <02所以，力系简化的最后结果为左力螺旋，力螺旋中的力Fr与力偶M °为:FR =FR =-2-F(i j -2k)M O =(F R M F R =-Fa (i j -2k)Fr2122.5 习题解答2-1 三力作用在正方形上,各力的大小、方向及位置如题2 1图所示，试求合力的大小、方向及位置。分别以 O点和

12、A点为简化中心，讨论选不同的简化中心对结果是否有影响。(b)(a)题2-1解：选投影轴如图（b）cos：sin 二(1)_3FRx 一 ' Fx = F3 cos - -F1=10 -2 = 45(2)4FRy = EFy = F3sin 二 _ F2 =10 4 = 4y y5Fr =F> 匕=4 ., 2 kNcos(F , x)=FrxFT 一2cos( R,y)=FRy主矢 F R=4i + 4j(3)M 0 =三m0( F ) = F1 a F3 sin 二 a - F3 cos： a=2a 8a -6a = 4a(kN cm)主矩M 0= 4ak由此得到FrW0, M

13、0W0,有合力Fr,大小方向与主矢量 Fr同，作用线由合力作用线方程 决定。m0(Fr) = 50(F ) =xFRy-yFRx得4a = x 4 - y 4, x - y = a令y=0,则x=a, x= 0则y=自 由此，合力的作用线过(a, 0)与(0,旬两点。如以A为矩 心，得 Ma =£mA( F ) =F1。LLC_3ca F2a - F2 cos 二a = 2a 4 a -10-a = 05故合力作用线过 A点。本题讨论了有合力的两种情况：(1) FrW0, M0W0, (2) FrW0, Ma=0,并说明主 矢量与简化中心选择无关，主矩与简化中心有关。答：FR =4J

14、2N =5.66 N, 4 =45' 合力作用线过 A点。2-2 题22图所示等边三角形 ABC,边长为l,现在其三顶点沿三边作用三个大小相等的力F,试求此力系的简化结果。解：选A点为简化中心三X = F -Fsin30 - Fsin30 =0三Y = F cos30 - F cos30 = 0Ma =1Ma( F ) =F3l2题2-2图，此力系的合力为 0。故此力系简化为合力偶 M A = Y3Fl ,方向为逆时针。22-3 沿着直棱边作用五个力， 如题2 3图所示。OA=OC=a, OB = 2a。试将此力系简化。解：将所有力向O点简化!Fy=0!Fz= F2sin45 口*4=

15、 0!Fx=Fi-F2cos45 吐 0Mox = -|OC | F -|OB | F = -3aFM oy = - a; ?2 F - - aF2已知 F1 = F3= F4= F5= F, F2= 22 F ,题2-3图M oz =2a F -a F 3aFcos(M , i) =cos(M , k)=3.19cos(M , j)=119Mo = 19Fa Mo = -3aFi -aFj -3aFkF2= F3= 1002 N , F5 = 200N, a =2-4 题24图所示力系中，已知 Fi=F4=100N, 2m,试将此力系简化。解：选。为简化中心F1 =100 j, r1 =ai

16、F 2 =100j 100kr2 = ai ajF 3 -100i -100 j, r3 = aj akF 4 =100k, r4 =akF5 =200j, r5 =O力系的主点Fr和主矩M0为:5FR =、Fi =100j (-100i 100k) (100i -100j) - 100k 200 j = 200j i 15M0 - h Fii 4100-100100100jk22 +O+O-1000题2-5图=400i 200kM 0相互垂直，因此可以进FR M 0 =0, 200,0 400, 0,200 = 0,即主点 Fr'和主矩一'步合成为一'合力 Fr =

17、Fr'= 200j,合力作用线沿 Fr'XM0方向偏离间化中心 O的距离为M 0200.5一 一d =-=J5m。因此最终结果为一力，Fr=200 N,与y轴平行。R 2002-5 题 2 5 图所示力系中 F1 = 100N, F2=F3= 1002 N, Fd=300N , a=2m,试求 此力系简化结果。解：以。为简化中心F 1 =100 j, F 2 - -100i 100kF 3 = -100 j 100i, F 4 = -300kr1 = ai, V2 = a i ajr3 = aj ak, r4 = ak则力系主矢F RR = F 1 F 2 F 3 F 4 -2

18、00 k方向沿z轴向下 主矩4M 0 = " m0(Fi) = Er Fi = 200(2i k) i=1F R M 0 = -4 104 :二 0所以力系简化为左螺旋,F R =F R = -200 kM(FR M 0)FR 200 kIvl 0 2 200 kFRF R M 0OO = -R- 0 =-400 jFr最终结果为力螺旋,Fr=200 N,平行于 z轴向下，M = 200 Nm2-6 化简力系Fi (P, 2P, 3P)、Fi (3P, 2P, P),此二力分别作用在点 Ai (a, 0, 0) 、 A2 (0, a, 0)。解：将力系向坐标原点 O简化，得到主矢F

19、R =F1 F 2 = P( i 2 j 3k) P(3 i 2 j k)= 4P( i j k)Fr： =4、3P22主矩M 0 =' m0( F。=F ii 1i 102P3P3P2P=(i -3j k)aP且FR M0 =4P1,1,1 aP1, -3, -1 =4aP2(1-3-1户-12aP2所以力系的简化结果为力螺旋，它的三要素为,F r =F r =4P(i j k)(Fr M °) FrfR"-12aP2 4P( i j k)48P2-aP( i j k)OO4P(i j k) aP(i -3j -k)48P2= -(i j -2k) b并求平行力系

20、中心。 图中每格代表2-7 求题2 7图所示平行力系合力的大小和方向, 1m。解：由于力平行，可用代数量表示，其合力为 4FR 二工 Fi =20 -30 10 15 =-25kN i 1方向沿z轴负向。设平行力系中心C （ xc、yc、zc ），则xc -FixiZFi20 2 30 3-10 1 -15 1 -二 4.2m2515kN三Fi10 1 15 3 -20 2-30 5，5.4m-25Zc = 0即平行力系中心为 C (4.2, 5.4, 0)20kN jokN题2-7图2-8 将题2-7中15kN的力改为40kN ,其余条件不变。力系合成结果及平行力系中心将如何变化?解：依前题

21、可得合力=0 ,再分别计算各力对三个坐标轴力矩为mxmy(2)=10 1 40 3-20 2 -30 5 =-60N m=-10 1 -40 1 20 2 30 3 = 80N mmz所以平行力系合成为力偶 M = -60i +80 j ,无平行力系中心。2-9 用积分法求题 29图所示正圆锥曲面的重心。题2-9图解：由对称性得xc=0, yc= 0: r= i -r < h,',c c ( zX ds=2nRdz = 2nr 1 - - dz乂 h.Jh f z J ' zr .o 1 2i r 1 zds t z- s zds ,bh ,1bh7-：-：, r zc.

22、/hz 12_2sds02灯1-hdsz-2h所以圆锥曲面的重心坐标为 xC =yC =0 zC =1h。 ，32-10 求题2 10图所示图形的重心。14T鼠5K13二2'dz匚月2_L_ _ 2 3h =hT 、h2 一 3 h -h2hy_/L 0.5单位：mHbh . .x图中,(a)(b)题2-10图解：将所求图形分解为如图（b）所示3块图形 则：Si = (0.5+ 3+ 0.5) X 1 = 4(m2)应=5X 0.5=2.5(mjS3= 1 X 2.5X 5= 6.25(m2)2三块小图形重心位置依次为x1=2my1=0.5mx2= 0.5+0.25= 0.75my2= 1 + 2.5 = 3.5mX3= 1 + - x 2.5= m36原图形重心C(xc, yc)位置为y3= 1 + x 5= m 33xc-4 2 2.5 0.75 6.25 一Sixi6一 =6 = 1.67(m)三 Si4 2.5 6.25yc三 Siyi三Si4 0.5 2.5 3.5 6.25 834 2.5 6.25=2.15(m)所以有 xC =1.67 m, yC =2.15