中考数学压轴题专项汇编专题相似三角形的存在性

1、专题26相似三角形的存在性破解策略探究两个三角形相似时，一般情况下首先寻找一组对应角相等，然后根据对应边成比例分两种情况列方程.掌握一些相似的基本模型有助于快速解决问题，相似三角形的基本模型有：1 . " A'字形已知：在 ABW.点Q在AB上，点E在AC上.DRII BC.结论： AB6 AADE2.反“ A字形(1)已知：在 ABC中，点 结论： AB6 ABD.D在AB上一点E在AC上，/ AED= / ABD.(2)已知：在 ABC43,点 结论： AB6 AA (: D.8 / 83 . “8”字形已知：在 ABCK 点D在CA的延长线上，点 E在BA的延长线上，D

2、B BC.结论： ABB AE2>.4 .反“8”字形已知：在 ABCK 点 D在CA的延长线上，点 E在BA的延长线上，/ ADE= /ABD.结论： AB6AADEE5 .双垂直已知： ABC / BAG= 90°, AD为斜边BC上的高.结论： AB(C DBJA AB(Co DA(C AABID CA).6 . 一线三等角B E ACD 900.(1)已知 Rt ABOT RtACED B, C, E 三点共线, 结论： ABR CED.E ACD 900.(2)已知 ABCACDE B, C E三点共线， B 结论： ABB CE2).B E ACD 900.(3)已

3、知 ABCACED B, C E三点共线, 结论： ABR CED.例题讲解例 1 如图，已知 A(1, 0), B (4, 0), C (2, 6)三点,G是线段AC上的动点（不与点A,C重合）.若ABG与ABC!似，求点 G的坐标.解：设直线AC的表达式为y把A, C两点坐标代入可得0 s ts2,解得62stt2所以直线AC的表达式为y 2x 2.设点G的坐标为(k, 2k 2),因为点G与点C不重合，所以 ABGWABCf似只有 AGBoABCH种情况.所以AG AB.AB AC所以3 4,53.5而 AB= 5,ACJ(21)2( 6)23芯,AGJ(k1)2( 2k2)2V5|k1

4、,5. 一 28 .一,斛仔 ki , k2 (舍).333所以点G的坐标（23,例2如图，抛物线y （x 2）（x 4）与x轴交于点 A, B （点A在B的左侧），与y轴交于 8点C, CD/ x轴交抛物线于点D. P是抛物线上一点，问：是否存在点P,使以P, A, B为顶点的三角形与 ABM似（ PAB与4ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.解：存在.因为点A （2, 0）, B （4, 0）, C （0,也），过点D （2, 我）作DEAB于点E,由勾股定理得AD 372, BD 76 -如图，当 P1AB c/dAABD寸,P1B AB ,所以 PB 6庭. 过

5、点P作P1M i ± AB于点Mi , AB BDPM 1 DE 所以 一,解得 pM 16/2 .P1BBD BM1 = -BE- , BM1 12 , 点 P 的坐标为（一8, 6J2）,P1B BD因为此时点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在.当 .p2AB st BDM P2B = AB ,所以 p2B = 6J2 .过点P2作P2M2，AB于点M2 ,AB ADP2M 2 DEBM2 AE所以=,解得 P2M 2 = 2J2 .因为=,所以 BM 2 8 ,P2B ADP2B AD所以点P2的坐标为（一4, 2J2）,将x=4代入抛物线的.表达式得y=2j2,所以点P2在

6、抛物线上.由抛物线的对称性可知：点 P2与点P3关于直线x= 1对称，所以P3的坐标为（6, 2J2）.当点P4位于点C处时，两个三角形全等，所以点P4的坐标为（0, -J2）.综上所得，点P的坐标为（4, 272）, （6, 2版）或（0,-鱼）时，以P, A, B为顶点 的三角形与 AB/目似.例3如图，已知直线y x 3与x轴、y轴分别交于A, B两点，抛物线y x2 bx c经过A, B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以J2个单位/秒的速度匀速运动，连接 PQ设运动时间为t秒.设抛物线顶点为 M连接BP

7、BM MQ问：是，.否存在t的值，使以B, QM为顶点的三角形与以 O B, P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在,请说明理由.将 A (3, 0), B (0, 3)代入2x bx9 3b c 0c 3,解得所以抛物线的解析式为2x 3(x 1)2M的坐标为（1,4）,MB所以 BM 2 3 4 AB2 AM 2 ,oMBA 90 .如图，设运动时间为t秒，则OP= t,BQ(3t)K当 BO团 QBMf,MB BQOP OB(3t)' 233t(3 t)2t进阶训练所以当t9时，以B, Q M为顶点的三角形与以41.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y而32 4

8、 1 3 0,所以此种情况不存在;MB BQOB OP 'B 1,0两点，交y轴于点C.(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)若P是线段OA上的一点(不与点 Q A重合)，Q是AC上一点，且 PQ PA在x轴上 是否存在点D,使彳ACDWAPQt目似？如果存在，请求出点 D的坐标；如不存在，请说 明理由.解：(,1)抛物线的表达式为(2)存在.点D的坐标为D, A关于y轴对称，此时点 D的坐标为4,0 ;如图1,当AD为底边时,图i图278,02.如图，设抛物线 y ax2bx 2与x轴交于不同的点A 1,0 , B m,0，与y轴交于点y-x29x 3,对称轴为x -4424,0 ,

9、 ,0 .8提示(2)由题意知 APQ等腰三角形，如果 ACDWAPQ!似，那么 ACD&是等腰 三角形.C,已知 ACB= 90 .(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)已知点D 1,n在抛物线上，过点 A的直线y x 1交抛物线与另一点 E.若点P在x轴上，是否存在这样的点 P,使得以点P, B, D为顶点的三角形与 AEBf似?解：2. (1) m 4 ,抛物线的表达式为(2)存在点P的坐标为-,0或 7【提示】(1)由已知条件可得 OA= 1, B两点的坐标代入表达式即可求得.1 2 y -x222,0-x 2 ； 25OC= 2,易证 AO(C ACOB从而m OB= 4,再

10、将 A(2)易求得点D 1, 3 , E 6,7 ,分别过点D, E作x轴的垂线，垂足分别为 H, G易证EAG= DBH所以 PBDAEBf似存在两种情况:如图1,当 ABa BPD寸，有2B -BP ,AE BD得点P的坐标为13,07如图2,当 ABa BDP寸，有 JABAEBD,得点P的坐标为-22,0 .BP52 x3.如图，抛物线y2x3与x轴交于A, B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C,直线l经过A C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧部分上运动，直线 m经过B, Q两点,与y轴交于点N,与直线l交于点G问：是否存在直线 m使得直线l , m与x轴围成的三 角形和直线l , m与y轴围成的三角形相似 (不包括全等)？若存在，求出直线