等差数列及其前n项和全面总结（课堂PPT）

1、1要点梳理要点梳理1.1.等差数列的定义等差数列的定义 如果一个数列如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母，通常用字母表示表示. .2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式 如果等差数列如果等差数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d d，那么它的，那么它的通项公式是通项公式是 . .6.2 6.2 等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和从第二项起每一项与它相邻前面一项从第二项起每一项与它相邻前面一项的差是同一个常数的差是同一个常数公差公差d da an n= =a

2、a1 1+ +（n n-1-1）d d基础知识基础知识 自主学习自主学习23.3.等差中项等差中项 如果如果 ，那么，那么A A叫做叫做a a与与b b的等差中项的等差中项. .4.4.等差数列的常用性质等差数列的常用性质（1 1）通项公式的推广：）通项公式的推广：a an n= =a am m+ + ，（，（n n， m mN N* *）. .（2 2）若）若 a an n 为等差数列，且为等差数列，且k k+ +l l= =m m+ +n n，（，（k k，l l，m m， n nN N* *），则），则 . .（3 3）若）若 a an n 是等差数列，公差为是等差数列，公差为d d，则

3、，则 a a2 2n n 也是等也是等 差数列，公差为差数列，公差为 . .（4 4）若）若 a an n ， b bn n 是等差数列，则是等差数列，则 papan n+ +qbqbn n 是是 . .2 2d da ak k+ +a al l= =a am m+ +a an n( (n n- -m m) )d d等差等差数列数列2baA3 （5 5）若）若 a an n 是等差数列，则是等差数列，则a ak k，a ak k+ +m m， a ak k+2+2m m，（k k，m mN N* *）是公差为）是公差为 的等差数列的等差数列. .5.5.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项

4、和公式 设等差数列设等差数列 a an n 的公差为的公差为d d，其前，其前n n项和项和S Sn n= = 或或S Sn n= = . .6.6.等差数列的前等差数列的前n n项和公式与函数的关系项和公式与函数的关系 S Sn n= = . . 数列数列 a an n 是等差数列的充要条件是其前是等差数列的充要条件是其前n n项和公式项和公式S Sn n= =f f（n n）是）是n n的的 ，即，即S Sn n= = . .mdmd2)(1naandnnna2) 1(1ndand)2(212AnAn2 2+ +BnBn，（，（A A2 2+ +B B2 200）二次函数或一次函数且不含常

5、数二次函数或一次函数且不含常数项项47.7.在等差数列在等差数列 a an n 中，中，a a1 10 0，d d0 0，则，则S Sn n存在最存在最 值；若值；若a a1 10,0,d d0,0,则则S Sn n存在最存在最 值值. .8.8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质等差数列与等差数列各项的和有关的性质 （1 1）若）若 a an n 是等差数列，则是等差数列，则 也成也成 数数列，列，其首项与其首项与 a an n 首项相同，公差是首项相同，公差是 a an n 公差的公差的 . . （2 2）S Sm m，S S2 2m m，S S3 3m m分别为分别为 a an n 的

6、前的前m m项，前项，前2 2m m项，项，前前3 3m m项的和，项的和，S Sm m，S S2 2m m- -S Sm m，S S3 3m m-S-S2 2m m成成 数列数列. .小小等差等差nSn21等差等差大大5（3 3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质）关于等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为若项数为2 2n n，则，则S S偶偶- -S S奇奇= = ， = = . .若项数为若项数为2 2n n-1-1，则，则S S偶偶= =（n n-1-1）a an n，S S奇奇= = a an n，S S奇奇- -S S偶偶= = ，(4)(4)两个等差数列两个等差数列 a an n 、

7、 b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n、T Tn n之间之间的关系为：的关系为： = = . .ndndn na an n偶奇SS.1nnSS偶奇1nnaannba1212nnTS6基础自测基础自测1.1.(2009(2009辽宁辽宁) ) a an n 为等差数列为等差数列, ,且且a a7 7-2-2a a4 4=-1,=-1,a a3 3=0,=0, 则公差则公差d d= = （） A.-2A.-2 B. B. C. C. D.2D.2 解析解析 根据题意得根据题意得a a7 7-2-2a a4 4= =a a1 1+6+6d d-2(-2(a a1 1+3+3d d)=-1

8、,)=-1, a a1 1=1.=1.又又a a3 3= =a a1 1+2+2d d=0,=0,d d= =B2121.2172.2.已知数列已知数列 a an n 中中, ,a a1 1=1, =1, 则则a a1010等于（等于（ ） A. B.A. B. C. D. C. D.以上都不对以上都不对 解析解析 由由a a1 1=1, =1, 得得 为等差数列为等差数列. . B,31111nnaa31111nnaana1,323131) 1(111nnaan.41, 43231011010aa51416183.3.（20092009福建）福建）等差数列等差数列 a an n 的前的前n

9、n项和为项和为S Sn n, ,且且 S S3 3=6,=6,a a3 3=4,=4,则公差则公差d d等于等于 （） A.1A.1B. B. C.2 C.2D.3D.3 解析解析 设设 a an n 首项为首项为a a1 1, ,公差为公差为d d, , 则则S S3 3=3=3a a1 1+ + d d=3=3a a1 1+3+3d d=6,=6, a a3 3= =a a1 1+2+2d d=4,=4,a a1 1=0,=0,d d=2.=2.C3522394.4.已知等差数列已知等差数列 a an n 的前的前1313项之和为项之和为3939，则，则a a6 6+ +a a7 7+ +

10、a a8 8 等于等于（） A.6A.6B.9B.9C.12C.12D.18D.18 解析解析 由由S S1313= =13= =13a a7 7=39=39得得a a7 7=3=3， a a6 6+ +a a7 7+ +a a8 8=3=3a a7 7=9.=9.B2)(13131aa 105.5.设设S Sn n是等差数列是等差数列 a an n 的前的前n n项和，若项和，若 则则 等于等于（） A.1A.1B.-1B.-1C.2C.2D.D. 解析解析 由等差数列的性质，由等差数列的性质，A,9535aa59SS21,952251913535aaaaaaaa. 19559592)(52

11、)(95191519159aaaaaaaaSS11题型一题型一 等差数列的判定等差数列的判定【例例1 1】已知数列】已知数列 a an n 的通项公式的通项公式a an n= =pnpn2 2+ +qnqn ( (p p、q qR R，且，且p p、q q为常数为常数).).（1 1）当）当p p和和q q满足什么条件时，数列满足什么条件时，数列 a an n 是等差数列；是等差数列；（2 2）求证：对任意实数）求证：对任意实数p p和和q q, ,数列数列 a an n+1+1- -a an n 是等差数是等差数列列. . (1)(1)由定义知由定义知,a an n 为等差数列为等差数列,

12、,a an n+1+1- -a an n必为一个常数必为一个常数. .(2)(2)只需推证只需推证( (a an n+2+2- -a an n+1+1)-()-(a an n+1+1- -a an n) )为一个常数为一个常数. .思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析12(1)(1)解解 a an n+1+1- -a an n= =p p( (n n+1)+1)2 2+ +q q( (n n+1)+1)-(-(pnpn2 2+ +qnqn) )=2=2pnpn+ +p p+ +q q, ,要使要使 a an n 是等差数列是等差数列, ,则则2 2pnpn+ +p p+ +q q

13、应是一个与应是一个与n n无关的无关的常数常数, ,所以只有所以只有2 2p p=0,=0,即即p p=0, .=0, .故当故当p p=0 , =0 , 时，数列时，数列 a an n 是等差数列是等差数列. .(2)(2)证明证明 a an n+1+1- -a an n=2=2pnpn+ +p p+ +q q, ,a an n+2+2- -a an n+1+1=2=2p p( (n n+1)+1)+p p+ +q q, ,(a an n+2+2- -a an n+1+1)-()-(a an n+1+1- -a an n)=2)=2p p为一个常数为一个常数. .a an n+1+1- -a

14、 an n 是等差数列是等差数列. .R RqR Rq13 探究提高探究提高 证明或判断一个数列为等差数列证明或判断一个数列为等差数列, ,通常通常有两种方法有两种方法:(1):(1)定义法定义法: :a an n+1+1- -a an n= =d d;(2);(2)等差中项等差中项法法:2:2a an n+1+1= =a an n+ +a an n+2+2. .就本例而言就本例而言, ,第第(2)(2)问中问中, ,需证明需证明( (a an n+2+2- -a an+n+1 1)-()-(a an+n+1 1- -a an n) )是常数是常数, ,而不是证而不是证a an n+1+1-

15、-a an n为常数为常数. .知 能 迁 移知 能 迁 移 1 1 设 两 个 数 列设 两 个 数 列 a an n , , b bn n 满 足满 足 b bn n= = 若若 b bn n 为等差数列，求证：为等差数列，求证： a an n 也为等差数列也为等差数列. .,32132321nnaaaan证明证明 由题意有由题意有a a1 1+2+2a a2 2+3+3a a3 3+nanan n= = 从而有从而有a a1 1+2+2a a2 2+3+3a a3 3+（n n-1-1）a an n-1-1= = b bn n-1-1，（，（n n22）2) 1( nnnbnn2) 1(

16、 14由由- -，得，得nanan n= =整理得整理得a an n= =其中其中d d为为 b bn n 的公差（的公差（n n22）. .从而从而a an n+1+1- -a an n= = （n n22）. .又又a a1 1= =b b1 1, ,a a2 2= = d d+ +b b1 1,a a2 2- -a a1 1= = d d, ,所以所以 a an n 是等差数列是等差数列. .,2) 1(2) 1(1nnbnnbnn,21nnbbnd22) 1(11nnnnbbndbbdnddd2322232315题型二题型二 等差数列的基本运算等差数列的基本运算【例例2 2】在等差数列

17、】在等差数列 a an n 中，中， （1 1）已知）已知a a1515=33,=33,a a4545=153,=153,求求a a6161; ; （2 2）已知）已知a a6 6=10,=10,S S5 5=5=5，求，求a a8 8和和S S8 8； （3 3）已知前）已知前3 3项和为项和为1212，前，前3 3项积为项积为4848，且，且d d0,0,求求a a1 1. . 在等差数列中，五个重要的量，只要在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中已知三个量，就可求出其他两个量，其中a a1 1和和d d是是两个最基本量，利用通项公式与前两个最基本量，利用通项

18、公式与前n n项和公式，先项和公式，先求出求出a a1 1和和d d. .思维启迪思维启迪16解解 （1 1）方法一方法一 设首项为设首项为a a1 1, ,公差为公差为d d, ,依条件得依条件得 33=33=a a1 1+14+14d d a a1 1=-23,=-23, 153= 153=a a1 1+44+44d d d d=4.=4.a a6161=-23+(61-1)=-23+(61-1)4=217.4=217.方法二方法二 由由 由由a an n= =a am m+(+(n n- -m m) )d d, ,得得a a6161= =a a4545+16+16d d=153+16=1

19、53+164=217.4=217., ,解方程组得解方程组得, 430331531545,1545aadmnaadmn得（2 2）a a6 6=10,=10,S S5 5=5,=5,解方程组得解方程组得a a1 1=-5,=-5,d d=3,=3,a a8 8= =a a6 6+2+2d d=10+2=10+23=16,3=16,a a1 1+5+5d d=10=105 5a a1 1+10+10d d=5.=5.17S S8 8=8=8 =44. =44.(3)(3)设数列的前三项分别为设数列的前三项分别为a a- -d d, ,a a, ,a a+ +d d, ,依题意有依题意有 ( (a

20、 a- -d d)+)+a a+(+(a a+ +d d)=12)=12 ( (a a- -d d)a a(a a+ +d d)=48,)=48, a a=4 =4 a a=4=4 a a( (a a2 2- -d d2 2)=48 )=48 d d= =2.2.d d0,0,d d=2,=2,a a- -d d=2.=2.首项为首项为2.2.a a1 1=2.=2.2)(81aa , , 方程思想是解决数列问题的基本思想，方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的基本的方法，

21、同时在解题中也要注意数列性质的应用应用. . 探究提高探究提高18知能迁移知能迁移2 2 设设 a an n 是一个公差为是一个公差为d d ( (d d0)0)的等差数的等差数列，它的前列，它的前1010项和项和S S1010=110=110且且a a1 1, ,a a2 2, ,a a4 4成等比数列成等比数列. . （1 1）证明）证明a a1 1= =d d; ; （2 2）求公差）求公差d d的值和数列的值和数列 a an n 的通项公式的通项公式. . （1 1）证明证明 因为因为a a1 1, ,a a2 2, ,a a4 4成等比数列，故成等比数列，故 = =a a1 1a a

22、4 4. . 而而 a an n 是等差数列，有是等差数列，有a a2 2= =a a1 1+ +d d, ,a a4 4= =a a1 1+3+3d d. . 于是于是( (a a1 1+ +d d) )2 2= =a a1 1( (a a1 1+3+3d d),), 即即 +2+2a a1 1d d+ +d d2 2= +3= +3a a1 1d d. .化简得化简得a a1 1= =d d. . （2 2）解解 因为因为S S1010=110=110，S S1010=10=10a a1 1+ + d d， 所以所以1010a a1 1+45+45d d=110.=110. 由（由（1 1

23、）a a1 1= =d d, ,代入上式得代入上式得5555d d=110,=110, 故故d d=2,=2,a an n= =a a1 1+(+(n n-1)-1)d d=2=2n n. . 因此，数列因此，数列 a an n 的通项公式为的通项公式为a an n=2=2n n, ,n n=1,2,3,.=1,2,3,.22a21a291021a19题型三题型三 等差数列的性质及综合应用等差数列的性质及综合应用【例例3 3】 （1212分）在等差数列分）在等差数列 a an n 中，已知中，已知a a1 1=20,=20,前前n n项和为项和为S Sn n，且，且S S1010= =S S1

24、515，求当，求当n n取何值时，取何值时，S Sn n取得最取得最大值，并求出它的最大值大值，并求出它的最大值. . （1 1）由）由a a1 1=20=20及及S S1010= =S S1515可求得可求得d d, ,进而求进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用用S Sn n是关于是关于n n的二次函数，利用二次函数求最值的的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解方法求解. .（2 2）利用等差数列的性质，判断出数）利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号列从第几项开始变号. .思维启迪思维启迪20解解 方法一方法一 a a1 1

25、=20=20，S S1010= =S S1515，101020+ 20+ d d=15=1520+ 20+ d d，d d= 4= 4分分a an n=20+=20+（n n-1-1） 8 8分分a a1313=0.=0.即当即当n n1212时，时，a an n0,0,n n1414时，时，a an n0. 100. 10分分当当n n=12=12或或1313时，时，S Sn n取得最大值，且最大值为取得最大值，且最大值为S S1212= =S S1313=12=1220+ =130. 1220+ =130. 12分分291021415.35.36535)35(n)35(2111221方法二

26、方法二 同方法一求得同方法一求得d d= = 4 4分分S Sn n=20=20n n+ += = = 8 8分分n nN N+ +,当当n n=12=12或或1313时，时，S Sn n有最大值，有最大值，且最大值为且最大值为S S1212= =S S1313=130.=130. 12 12分分方法三方法三 同方法一得同方法一得d d= 4= 4分分又由又由S S1010= =S S1515, ,得得a a1111+ +a a1212+ +a a1313+ +a a1414+ +a a1515=0. 8=0. 8分分55a a1313=0,=0,即即a a1313=0.=0. 10 10分分

27、当当n n=12=12或或1313时，时，S Sn n有最大值，有最大值，且最大值为且最大值为S S1212= =S S1313=130. 12=130. 12分分.35)35(2) 1(nnnn6125652.241253)225(652n.3522探究提高探究提高 求等差数列前求等差数列前n n项和的最值，常用的方法：项和的最值，常用的方法：（1 1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2 2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3 3）利用等差数列的前）利用等差数列的前n n项和项和S

28、 Sn n= =AnAn2 2+ +BnBn（A A、B B为常数）为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值为二次函数，根据二次函数的性质求最值. .23知能迁移知能迁移3 3 在等差数列在等差数列 a an n 中，中，a a1616+ +a a1717+ +a a1818= =a a9 9=-36,=-36,其前其前n n项和为项和为S Sn n. . （1 1）求）求S Sn n的最小值，并求出的最小值，并求出S Sn n取最小值时取最小值时n n的值；的值； （2 2）求）求T Tn n=|=|a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|a an n|.|. 解解 （1 1）设等差

29、数列）设等差数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1, ,公差为公差为d d, , a a1616+ +a a1717+ +a a1818=3=3a a1717=-36,=-36,a a1717=-12,=-12, d d= =3,= =3, a an n= =a a9 9+(+(n n-9)-9)d d=3=3n n-63,-63,a an n+1+1=3=3n n-60,-60, a an n=3=3n n-630-630 a an n+1+1=3=3n n-600-600 S S2020= =S S2121= = 当当n n=20=20或或2121时，时，S Sn n最小且最小值

30、为最小且最小值为-630.-630.824917917aa令令, ,得得2020n n21,21,6302)3(602024（2 2）由（）由（1 1）知前）知前2020项小于零，第项小于零，第2121项等于项等于0 0，以后，以后各项均为正数各项均为正数. .当当n n2121时，时，T Tn n=-=-S Sn n= =当当n n2121时，时，T Tn n= =S Sn n-2-2S S2121= =2)63360(nn.2123232nn 2122)63360(Snn.26012123232nn综上，综上，T Tn n= =（n n2121，n nN N* *）（n n21,21,n

31、nN N* *）. .260121232321232322nnnn25方法与技巧方法与技巧1.1.等差数列的判断方法有等差数列的判断方法有 (1)(1)定义法：定义法：a an n+1+1- -a an n= =d d ( (d d是常数是常数) ) a an n 是等差数是等差数列列. . (2) (2)中项公式：中项公式：2 2a an n+1+1= =a an n+ +a an n+2+2 ( (n nN N* *) ) a an n 是等差是等差数列数列. . (3) (3)通项公式：通项公式：a an n= =pnpn+ +q q( (p p, ,q q为常数）为常数） a an n

32、 是等差是等差数列数列. . (4) (4)前前n n项和公式：项和公式：S Sn n= =AnAn2 2+ +BnBn （A A、B B为常数）为常数） a an n 是等差数列是等差数列. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高262.2.方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为题时可以考虑化归为a a1 1和和d d等基本量，通过建立方等基本量，通过建立方程（组）获得解程（组）获得解. .3.3.等差数列的通项公式本身可以由累加法得到等差数列的通项公式本身可以由累加法得到. .4.4.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公

33、式S Sn n= = 很像梯形面积很像梯形面积公式，其推导方法也与梯形面积公式的推导方法公式，其推导方法也与梯形面积公式的推导方法完全一样完全一样. .5.5.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式S Sn n= =nana1 1+ + d d可以变形可以变形为为 类似于匀加速直线运动的路类似于匀加速直线运动的路程公式，只要把程公式，只要把d d理解为加速度理解为加速度. .2)(1naan2) 1( nn,)2(2112ndadnSn27失误与防范失误与防范1.1.如果如果p p+ +q q= =r r+ +s s, ,则则a ap p+ +a aq q= =a ar r+ +a a

34、s s, ,一般地，一般地，a ap p+ +a aq qa ap p+ +q q，必须是两项相加，当然可以是必须是两项相加，当然可以是a ap p- -t t+ +a ap p+ +t t=2=2a ap p. .2.2.等差数列的通项公式通常是等差数列的通项公式通常是n n的一次函数，除非公的一次函数，除非公差差d d=0.=0.3.3.公差不为公差不为0 0的等差数列的前的等差数列的前n n项和公式是项和公式是n n的二次函的二次函数，且常数项为数，且常数项为0.0.若某数列的前若某数列的前n n项和公式是项和公式是n n的的常数项不为常数项不为0 0的二次函数，则该数列不是等差数列，的

35、二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列它从第二项起成等差数列. .4.4.公差公差d d= = 类似于由两点坐标求直线斜率的计类似于由两点坐标求直线斜率的计算算. .5.5.当当d d不为零时，等差数列必为单调数列不为零时，等差数列必为单调数列. .6.6.从一个等差数列中，每隔一定项抽出一项，组成从一个等差数列中，每隔一定项抽出一项，组成的数列仍是等差数列的数列仍是等差数列. .,mnaamn28一、选择题一、选择题1.1.(2008(2008广东广东) )记等差数列记等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若 a a1 1= = ，S S4 4

36、=20=20，则，则S S6 6等于等于 （） A.16A.16B.24B.24C.36C.36D.48D.48 解析解析 S S4 4=2+6=2+6d d=20=20，d d=3=3，故，故S S6 6=3+15=3+15d d=48.=48.D21定时检测定时检测292.2.（20092009安徽）安徽）已知已知 a an n 为等差数列，为等差数列，a a1 1+ +a a3 3+ + a a5 5=105,=105,a a2 2+ +a a4 4+ +a a6 6=99,=99,则则a a2020等于等于 （） A.-1A.-1B.1B.1C.3C.3D.7D.7 解析解析 由已知得

37、由已知得a a1 1+ +a a3 3+ +a a5 5=3=3a a3 3=105,=105, a a2 2+ +a a4 4+ +a a6 6=3=3a a4 4=99,=99,a a3 3=35,=35,a a4 4=33,=33,d d=-2.=-2. a a2020= =a a3 3+17+17d d=35+(-2)=35+(-2)17=1.17=1.B303.3.（20092009湖南）湖南）设设S Sn n是等差数列是等差数列 a an n 的前的前n n项和，项和， 已知已知a a2 2=3,=3,a a6 6=11,=11,则则S S7 7等于等于 （ ） A.13A.13B

38、.35B.35C.49C.49D.63D.63 解析解析 a a1 1+ +a a7 7= =a a2 2+ +a a6 6=3+11=14.=3+11=14. S S7 7= =C.492)(771aa314.4.（20092009宁夏、海南）宁夏、海南）等比数列等比数列 a an n 的前的前n n项和为项和为 S Sn n, ,且且4 4a a1 1,2,2a a2 2, ,a a3 3成等差数列，若成等差数列，若a a1 1=1,=1,则则S S4 4= =（） A.7A.7B.8B.8C.15C.15D.16D.16 解析解析 设等比数列的公比为设等比数列的公比为q q，则由，则由4

39、 4a a1 1,2,2a a2 2, ,a a3 3成成等差数列，得等差数列，得4 4a a2 2=4=4a a1 1+ +a a3 3.4.4a a1 1q q=4=4a a1 1+ +a a1 1q q2 2.q q2 2- -4 4q q+4=0.+4=0. q q=2,=2,S S4 4= =C.151)1 (41qqa325.5.已知等差数列已知等差数列 a an n 的公差为的公差为d d ( (d d0)0)，且，且a a3 3+ +a a6 6 + +a a1010+ +a a1313=32,=32,若若a am m=8=8，则，则m m为为（） A.12A.12B.8B.8

40、 C.6 C.6 D.4 D.4 解析解析 由等差数列性质由等差数列性质a a3 3+ +a a6 6+ +a a1010+ +a a1313 =( =(a a3 3+ +a a1313)+()+(a a6 6+ +a a1010)=2)=2a a8 8+2+2a a8 8=4=4a a8 8=32,=32, a a8 8=8.=8.m m=8.=8.B336.6.各项均不为零的等差数列各项均不为零的等差数列 a an n 中，若中，若 - -a an n-1-1- -a an n+1+1=0=0 ( (n nN N* *，n n2)2)，则，则S S2 0092 009等于等于（） A.0

41、B.2 C.2 009 D.4 018A.0 B.2 C.2 009 D.4 018 解析解析 = =a an n-1-1+ +a an n+1+1=2=2a an n, ,a an n0,0,a an n=2.=2. S Sn n=2=2n n, ,S S2 0092 009=2=22 009=4 018.2 009=4 018.D2na2na34二、填空题二、填空题7.7.（20092009辽宁）辽宁）等差数列等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,且且 6 6S S5 5-5-5S S3 3=5,=5,则则a a4 4= = . . 解析解析 由题意知由题意知

42、6 6 +45 +45d d=15(=15(a a1 1+3+3d d)=15)=15a a4 4=5,=5,故故a a4 4= .= .11115)2233(5)2455(adada3131358.8.（20092009全国全国）设等差数列设等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, , 若若a a5 5=5=5a a3 3, ,则则 = = . . 解析解析 设等差数列的公差为设等差数列的公差为d d, ,首项为首项为a a1 1, , 则由则由a a5 5=5=5a a3 3知知a a1 19 959SS. 9)2(5)4(9,231159dadaSSd369.9.

43、已知已知S Sn n为等差数列为等差数列 a an n 的前的前n n项和，若项和，若a a2 2a a4 4= = 76 76，则，则S S7 7S S3 3等于等于 . . 解析解析 2121,76,672442aaaa. 2,763171,76331771373724SSSSaa37三、解答题三、解答题10.10.在数列在数列 a an n 中，中，a a1 1=1,3=1,3a an na an n-1-1+ +a an n- -a an n-1-1=0 (=0 (n n2).2).（1 1）求证：数列）求证：数列 是等差数列；是等差数列；（2 2）求数列）求数列 a an n 的通项

44、的通项. .（1 1）证明证明 因为因为3 3a an na an n-1-1+ +a an n- -a an n-1-1=0 (=0 (n n2),2), 整理得整理得 =3 (=3 (n n2).2). 所以数列所以数列 是以是以1 1为首项，为首项，3 3为公差的等差数列为公差的等差数列. .（2 2）解解 由（由（1 1）可得）可得 =1+3(=1+3(n n-1)=3-1)=3n n-2,-2, 所以所以a an n= =na1na1111nnaana1.231n3811.11.已知数列已知数列 a an n 中，中，a a1 1= = ，a an n=2- (=2- (n n2, 2, n nN N* *),),数列数列 b bn n 满足满足b bn n= (= (n nN N* *).). （1 1）求证：数列）求证：数列 b bn n