定积分的应用(体积、旋转体的侧面积)（课堂PPT）

1、1例例1. 求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Axyoa222coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例2. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar

2、23a2sin2a例例3. 求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462ayox44答案答案:4设设有有 一一立立体体位位于于平平面面)( ,babxax 之之间间，已已知知它它被被 过过点点)0 , 0 ,(x)(bxa 且且垂垂直直轴轴于于 x的的平平面面所所截截得得的的截截面面面面 )( xA积积为为，假假定定xxA )(是是的的连连续续函函数数，求求V的的体体积积立立体体 。 （一一）

3、平平行行截截面面面面积积为为已已知知的的立立体体的的体体积积二、体积二、体积xabxxxd)(xA5即体积微元即体积微元 dxxAdV)( ， 所所求求体体积积为为 badxxAV )(。 取取 x 为为积积分分变变量量，积积分分区区间间为为,ba。在在,ba上上任任取取一一 代表小区间代表小区间,dxxx ，对应的立体中一薄片的，对应的立体中一薄片的V 体积体积 近近似似等等于于底底面面积积)( xA为为，dx高高为为的的柱柱体体的的体体积积dxxA)(， xabxxxd)(xA6,RRx ，用用过过点点轴轴且且垂垂直直于于xx 的平面去截楔形，截得的截面是直角三角形，的平面去截楔形，截得的

4、截面是直角三角形， 则则底底圆圆的的方方程程为为222Ryx 。 解解：如如图图建建立立坐坐标标系系， 故故截截面面积积为为 tan)(21tan21)(22xRyyxA， .tan32tan)(21)(322 RdxxRdxxAVRRRR而而与与底底面面交交成成的的平平 面面所所截截，求求截截得得的的圆圆柱柱楔楔的的体体积积。 例例 1 1设设有有半半径径为为R的的正正圆圆柱柱体体，被被通通过过其其底底的的直直径径 xyoR Ry tanyx7xyoabxyoab)(xfy 特别 , 当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线

5、段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy( (二二) )旋旋 转转 体体 的的体体 积积8ayxb例例2计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2x9方法方法2 利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a10解解：

6、如如图图选选择择坐坐标标系系，母母线线 AB 的的方方程程为为 )(0221rxrrhy 221ryhrrx dyryhrrdyxVhh2 0 221 0 2)( )()(2212 0 22121ryhrrdryhrrrrhh xyo),(1hrA)0 ,(2rBhh 高高为为，求求它它的的体体积积。 例例 3已已知知圆圆台台的的上上底底1r半半径径为为，下下底底2r半半径径为为， 11)(3)()(3222121323121rrrrhrrrrh 当当上上底底半半径径01 r，下下底底半半径径rr 2时时， 则则得得圆圆锥锥的的体体积积为为hrV231 。 hryhrrrrh0322121)(

7、)(3 12得得交交点点1) , 1( ，1) , 1(。 解解：解解方方程程组组 2222xyyx 例例 4 4求求由由222 yx和和2xy 所所围围成成的的图图形形分分别别 绕绕轴轴 x、轴轴 y旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积。 xoy1 12xy 222 yx10)532(253xxx .1544)51312(2 dxxx)2(241 0 2 dxxdxxVx 1 41 211)2(13dyydyyVy 221102)(232110)312(21yyy )312() 23222(2 ).67234( xoy2xy 222 yx2114xyoa2例例5. 计算摆线)cos1

8、 ()sin(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性利用对称性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令15xyoa2a绕 y 轴旋转而成的体积为)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上

9、下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 16分部积分对称关于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin82022218422617a2柱壳体积说明说明: xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td0218偶函数yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2s

10、in)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函数336a19证证明明：以以为为 x积积分分变变量量，把把在在,ba上上的的任任意意子子区区间间 ,dxxx 上上对对应应的的窄窄曲曲边边梯梯形形绕绕轴轴 y旋旋转转而而成成的的薄薄 壳壳看看作作是是一一个个中中空空圆圆柱柱体体，沿沿着着中中空空圆圆柱柱体体的的高高剪剪 开开展展平平，它它近近似似于于一一块块长长方方形形的的薄薄片片，于于是是薄薄壳壳的的 体体积积近近似似等等于于为为以以 )( xf高高，为为以以 2 x 长长，为为以以 dx厚厚 的的长长方

11、方体体的的体体积积，即即旋旋转转体体的的体体积积微微元元为为 20 类类似似地地，由由dyc 0，)(0yx 所所围围成成的的图图形形绕绕 轴轴 x旋旋转转所所成成的的旋旋转转体体的的体体积积为为： dcxdyyyV)(2。 baydxxfxV)(2x 2)(xfdxdxxfxdv)(2 xdxx xyaob)(xfx)(xf21轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()(例例7 设)(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:. )(2)(tftV 证证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfx

12、ttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故22设平面图形 A 由xyx222与xy 所确定 , 求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示：提示： 选 x 为积分变量.旋转体的体积为V102d)2)(2(2xxxxx32212yox211例例8.若选 y 为积分变量, 则 V1022d)11 (2yy102d)2(yyxy23xyoab设平面光滑曲线, ,)(1baCxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)

13、(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abx3 34 44 4 旋旋转转体体的的侧侧面面积积 24xyo)(xfy abxsySd2d侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 )(2ttttd)()(22S注意注意:侧面积为 25xRyo例例9. 计算圆上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧,2122xxxxRy应用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式24RS1x2xozyx26例例10. 求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin51120