角函数诱导公式及经典记忆方法

1、三角函数诱导公式及记忆方法一、同角三角函数的基本关系式（一）基本关系1、倒数关系tan a - cot a =12、商的关系sin a /cos a =tan acos a /sin a =cot a3、平方关系sin 2 a +cos 2 a =1 1+tan）同角三角函数关系六角形记忆法sin a - CSC a =1sec a /csc a =tan aCSC a /sec a =COt a= =sec 2 a 1+cotMEU4C0.cos a - sec a =12 a =csc 2 a构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。1、倒数关系对

2、角线上两个函数互为倒数；2、商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。3、平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。n （兀/2） ± a 的三角函数转化为角a的三、诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角sin （2kTt+a）=sin a ,kC zcos（2k 兀 + a）=cos a ,k e ztan （2kTt+a）=tan a ,kC zcot（2k 兀 + a）=cot a ,k e zs

3、ec （2kTt+a）=seca ,kC zcsc（2k 兀 + a）=csc a ,k C z2、公式.：a为任悬角，兀+ a的三角函数值与:a的三角函数值之间的关系sin （兀 + a ）:=sin acos（兀 + a ）=cos atan （兀 + a ）:=tan acot（兀 + a ）=cot asec （兀 + a ）=: sec（Xcsc（兀 + a ）:= csc （X3、公式二：7任忌角a与-a的三角函数值之间的关系：sin （ a）=sin acos（一 a ）=cos atan （ a ）=tan acot（a ）=cot asec （ a ）=sec acsc （a

4、 ）=csc （X4、公式四：利用公式二和公式二可以得到兀-a与a的三角函数值之间的关系sin （兀一a ）=sin acos（7t a ）=cos atan （兀一a ）=tan acot（7t a ）=cot asec （nt - a ）= sec（Xcsc（nt - a ）= csc a5、公式五：利用公式一和公式二可以得2 Tt - a与a的三角函数值之间的关系sin （2 兀一a ）=sin acos（2 兀 一 a ）= cos atan （2 兀一a ）=tan acot（2 兀 一 a ）=cot a终边相同的角的同一三角函数的值相等角函数。（一）常用的诱导公式1、公式一：设a

5、为任意角,sintan(无2(r+ a )=+ a )=-cos aCot acoscot(无 + a )=J.(了 + a )=sin a:一tan asec ( 上 27、公式七：sin (上 2"tan (上 2sec ( 上28、推算公式sin ( 32-+ a )= -匕-a万a )=a )=a )=:3%-+ a )=兀一CsC （XCsC （2- + a ）=与a的三角函数值之间的关系：:Cos aCos（上一a ）22c cot acot（上一a ）万CsC aCsC （上一a ）：工+ a与a的三角函数值之间的关系：/ 3兀.、:一cos acos（ + a ）se

6、c a=sin a=tan a= sec a=sin atan3兀-+ a )=:Cot acot/ 3冗(2 +a )=tan a/3兀sec （9、推算公式-+ a )=.3:csc民一acsc （33JL +a的三角函数值之间的关系：a ):二 sec(Xsin/ 3兀(V-a )=Cos acos/ 3%2 2- a )=sin atan3兀-一 a )=cot acot/ 37t 2-a )=tan asec(包2,- a )= CsC (Xcsc( 37t(一- a )= sec(X2诱导公式记忆口诀:o“奇变偶不变，符号看象限”6、公式六：兀+ a与a的三角函数值之间的关系:“奇

7、、偶”指的是 上的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:2sec (2 兀-a )= sec aCSC (2 兀-a ) = CSC a“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角a看做锐角，不考虑 a角所在象限，看 n （兀/2） ± a 是第几象限角，从而得 到等式右边是正号还是负号。符号判断口诀：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限 内任何一个角的四种三角函数值都是“ +” ；第二象限 内只有正弦是“ +”，其余全部是“”；第三象限 内只有正切和余切是“ +”，其余全部是“”；第四象限 内只有余弦

8、是“ +”，其余全部是。“ASCT 意即为 “ all（全部）"、“sin ”、“ tan ”、“ cos”（二）其他三角函数知识sin(a+ 0)=sin a cos 3 + cos a sinsin(a 3 )=sin a cos 3 cos a sin 3cos(a+ 0)=cos a cos 3 sin a sin 3cos(a 3 )=cos a cos 3 + sin a sintan(a+ 0)=(tan a +tan 3 )/(1 tan atan(a 3 )=(tan a tan 3 )/(1+tan a -1、两角和差公式3- tan 3) tan 3 )2、二倍

9、角的正弦、余弦和正切公式sin2 a =2sin a cos acos2 a =cos 2 a sin 2 a =2costan2 a = 2tana21- tan a3、半角的正弦、余弦和正切公式21=1 2sin a.21- cos asin a =22tan 2 a = 1- cos a21 cos a4、万能公式costan21 cosa1 - cos a sin 民 a =sin a 1 cos a夕sin a = 2tan 221 tan 2cos a =21-tantan入、2 a1 tan 一22tan-22 a1-tan 一25、三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a =3

10、sin a34sin acos3 a =4cos 3 a 3cos a3ta n3a = 3tan a tan ”21 3tan 民6、三角函数的和差化积公式a psin a +sin 3 = - 2sin 2 cossin a sin 3 = 2cossintxcos a +cos 32cos 1_- cos a - Bcos a cos 32sina""2 sintx7、三角函数的积化和差公式sin cos 3 =sin( a + 3 )+sin( a 3 )cossin( a+ 3 ) sin( a 3 )cos cos 3 =cos( a+ 3 )+cos( a 3

11、)sinsin 3 =cos(a + 3 ) - cos( a 3 )三、公式推导过程（一）万能公式推导sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a22cos a sin a（因为cos 2 a +sin 2 a =1 )再把上面的分式上下同除cos 2 a ,可得 sin2 a2tan 7 然后用巴代替a1 tan2即可。,cnosin3a sin2a cos a cos2a sin a 2sin a cos2a cos2a sin a - sin atan3 a =同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 （二）三倍角公式推导cos3%cos2

12、a sin a sin2a cos a cos a cos a sin 2a 2sin 2a cos a上下同除以 cos3 3tan3 a = 3tan a tan a21 3tan 民sin3 a =sin(2 =sin2c cos a +cos2 a sin a2=2sin a cos a=2sin a 2sin+(1 2sin 2 a )sin aa +sin a 2sin a3sin a 4sincos3 a =cos(2 a + a )=cos2 a cos a sin2 a sin a二(2cos 2 a 1)cos a 2COS a sin 2 a=2cos 3 a cos a

13、 +(2COS a 2COS 3 a )=4COS 3 a 3cos a即 sin3 a =3sin a 4sin 3 acos3 a =4cos 3 a 3cos a(三)和差化积公式推导首先，我们知道 sin( a + 3 尸sin a cos 3 +cos a sin 3 ,sin( a - 3 尸sin a cos 3 -cos a sin 3我们把两式相加就得到sin( a + 3 )+sin( a - 3 )=2sin a cos 3所以，sin a cos 3 = sin( a B)sin ( a B )2同理，若把两式相减 ，就得到 cos a sin 3 = sin( a B

14、 ) - sin ( a - B )2同样的，我们还知道 cos( a + 3 )=cos a cos 3 -sin a sin 3 ,cos( a - 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3所以，把两式相加，我们就可以得到cos( a + 3 )+cos( a - 3 )=2cos a cos 3所以我们就得至U,cos a cos 3 = cos( a B)cos ( a B )2同理，两式相减我们就得到sin a sin 3 = cos( & B ) cos ( a B )2这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sin a cos 3 = sin( a B)sin ( a B )2cos a sin 3 = sin (a B ) sin (a B )2cos a cos 3 = cos (a B ) COS ( a B )2sin a sin 3 =- co