中考数学复习-第二章函数知识点

1、第三章函数3.1 函数基本知识3.1.1 函数（）定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应（）本质：一一对应关系或多一对应关系。有序实数对平面直角坐标系上的点（）表示方法：解析法、列表法、图象法。3.1.2 变量与常量 变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。3.1.3 定义域 一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。3.1.

2、4 值域 一般的，给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。3.1.5 确定函数定义域的方法 对于实际问题，定义域取值必须使实际问题有意义；对于纯数学问题，定义域取值必须保证函数关系式有意义： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。3.1.6 函数的解析式 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式3.1.7 函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把

3、自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象3.1.8 描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。3.1.9 函数的表示方法1、列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。2、解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，

4、不能用解析式表示。3、图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。3.2 一次函数3.2.1 一次函数的定义一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式当，时，仍是一次函数当，时，它不是一次函数正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.3.2.2 一次函数的性质 一次函数的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线,它可以看作由直线平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向

5、上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式:(k、b是常数，k0)（2）必过点：（0，b）和（-，0） （3）走向及增减性： k0，过第一、三象限，y随x的增大而增大；k0，过第二、四象限，y随x的增大而减小。b0，图象过（0，0）；b0，图象与y轴的交点（0，b）在x轴上方；b0，图象与y轴的交点（0，b）在x轴下方。直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（5）图像的平移： 当b>0时，将直线的图象向上平移b个单位； 当b<0时，将直线的图

6、象向下平移b个单位.3.2.3 一次函数的图像与增减性一次函数，符号图象性质随的增大而增大随的增大而减小3.2.4 一次函数的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小3.3

7、正比例函数3.3.1 正比例函数及性质 一般地，形如(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 (k不为零) k不为零 x指数为1 b取零当k>0时，直线经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小(1) 解析式：（k是常数，k0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大； k<0时，图像经过二、四象限，y随x的增大而减小。(4) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴3.3.2正比

8、例函数和一次函数之间的关系及性质一次函数的图象是一条直线，它可以看作是由直线平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）正比例函数一次函数概 念一般地，形如(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数一般地，形如(k,b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范 围X为全体实数图 象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（-，0）走 向k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限k0，b0,直线经过第一、二、三象限k0，b0直线经过第一、三、四象

9、限k0，b0直线经过第一、二、四象限k0，b0直线经过第二、三、四象限增减性k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）倾斜度|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴图像的平 移b>0时，将直线的图象向上平移个单位；b<0时，将直线的图象向下平移个单位.3.3.3 正比例函数与一次函数图像的对比3.3.4 直线（）与（）的位置关系（1）两直线平行且（2）两直线相交（3）两直线重合且（4）两直线垂直3.3.5 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象

10、上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.3.4 反比例函数 3.4.1 反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。3.4.2反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y= -x。对称中心是：原点（0,0）。由于

11、反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3.4.3 反比例函数的性质反比例函数k的符号k>0k<0图像 y O x y O x性质x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。3.4.4 反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，

12、因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。3.4.5 反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。3.4.6 正比例函数与反比例函数两函数的异同点正比例函数反比例函数定义(k为常数，k0)y(k为常数，k0)自变量取值范围全体实数x图象一直线双曲线k0k0k0关于原点对称性质过原点不过原点性质k0，过第一、三象限（如上图）k0，过第二、四象限（如左上图）增减性k0y随x的

13、增大而增大在每个象限内，y随x的增大而减小k0y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大3.5 二次函数（图象为抛物线）3.5.1 二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数 2、 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项3.5.2 二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随

14、的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有

15、最大值3.5.3 二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 3.5.4 二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中3.5.5二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右

16、对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.3.5.6 二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值3.5.7 二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注

17、意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.3.5.8 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左

18、侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯

19、一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式3.5.9 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（