平行线与相交线

1、平行线与相交线（第一讲）一、知识要点分析1、余角、补角的概念和性质（1）如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.（2）如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.（3）已知AOOB，CODO，找出图形中互余的角和相等的角AOC与BOC互余，BOD与BOC互余，且AOC=BOD.（4）直线AB，CD相交于O，找出图形中两组互补的角和一组相等的角AOC与BOC互补，BOD与BOC互补，且AOC=BOD.总结得：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等2、对顶角的概念与性质如图所示，两条直线相交形成了1，2，3，4，其中1与3有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角。2与

2、4也是对顶角。说明：对顶角必须具备的两个要素：1）有公共顶点；2）两边互为反向延长线。对顶角相等是对顶角的重要性质。这个性质比补角的性质应用得还要广泛。3、同位角、内错角、同旁内角的概念要认清、理解同位角、内错角和同旁内角的概念，我们可以通过理解三线八角来理解这三类角。（1）同位角，如图，1和7位于直线CD的同侧，又分别在两直线交点的左上方，所以称之为同位角。在图中，3与5，2与6，4与8都具有像1与7这样的位置关系，所以它们都是同位角。（2）内错角，这里的“错”字与“犬牙交错”中的“错”含义相同，指的是在截线的异侧，在两条被截线的内部，图中3与6，4与7都是内错角。（3）同旁内角，顾名思义，

3、“同旁内角”即两角要在截线的同一旁且是在两被截线的内部。图中3与7，4与6都是同旁内角。（4）注意了，有时在三线八角图形中的某条直线，甚至三条直线只有“半截”，这时辨认同位角、内错角和同旁内角的难度稍大一些，不过也只是大同小异。4、两直线平行的条件两条直线平行的条件如下：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单地说就是：同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行.二、典型例题余角和补角例1. 已知=68

4、6;，则的余角等于_.【思路分析】 若两个角的和为直角，则称这两个角互为余角，所以的余角为90°68°=22°. 解：22°例2. 已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数.【思路分析】解这类型的几何题时，常设未知数用列方程（或方程组）的方法去解.即用代数方法解决几何问题.解：设这个角的度数为x°根据题意，得180x=3（90x）+10解得 x=50答：这个角的度数为50°.方法与规律：解决这类问题的关键是能够正确列方程（或方程组），借助方程思想来解决问题. 对顶角例3. 如图所示，a、b、c三条直线相交

5、于一点，那么你认为图中的1、2、3从小到大的排列顺序是_ _.【思路分析】本题是比较角的大小关系，实质是考查对顶角及互余互补角的知识。在图中2与70°是对顶角，所以2=70°；3与60°是对顶角，所以3=60°；在图中2+3+1的对顶角等于180°，所以1的对顶角等于180°60°70°=50°，所以1=50°。所以1<3<2. 解：1<3<2例4. 如图，直线AB、CD相交于点O，EOC=80°，OA平分EOC，求BOD的度数. 【思路分析】要求BOD的度数，

6、从图中可知：只需求出AOC的度数.因为AOC与BOD是由直线AB与CD相交而构成的对顶角.由已知：OA平分EOC，可知：AOC=EOC，而EOC已知，则BOD即可求出.解：OA平分EOC，AOC=EOC.EOC=80°，AOC=40°.BOD=AOC=40°.方法与规律：根据对顶角相等，把图形中的对顶角相互转换或者等量代换，以便求未知角的度数. 直线平行的条件 例5. 如图所示，已知B=40°，BCD=71°，D=31°，试探究AB与DE的位置关系. 【思路分析】在同一平面内两直线的位置关系是平行和相交，本题要想说明两直线的位置关系，

7、要引一条辅助线，在BCD内部作BCF=40°，这样利用内错角相等分别来说明FCAB，FCDE.解：如图所示，在BCD内部作BCF=40°，因为B=40°（已知），所以BCF=B，所以FCAB（内错角相等，两直线平行），又因为BCD=71°，D=31°（已知），所以DCF=BCDBCF=71°40°=31°=D，所以FCDE（内错角相等，两直线平行），所以ABDE（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行）. 方法与规律：根据题目条件找出同位角、内错角或同旁内角的关系，以此来说明两直线的位置关系.例6.

8、 如图所示，ABBC于点B，BCCD于点C，1=2，那么EBCF吗？为什么？【思路分析】根据垂直关系，可知1与3互余， 2与4互余，由互余的性质，得出3=4，即BECF.解：EBCF，理由：因为ABBC于点B，BCCD于点C（已知），所以ABC=BCD=90°（垂直的概念），即1+3=2+4=90°，因为1=2（已知），所以3=4（等角的余角相等），所以EBCF（内错角相等，两直线平行）. 例7. 如图所示，已知1=2，请你添上一个适当的条件，使ABCD. 【思路分析】本题答案不惟一，判定两条直线平行，要紧扣两条直线被第三条直线所截形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补

9、等条件进行说明. 解：EBD=FDN三、检测试题（一）、选择题1. 下列说法中正确的是（ ）A. 任何一个角都有余角 B. 一个角的余角一定是锐角C. 一个角的余角可能是锐角，也可能是钝角 D. 以上答案都不对2. 下列说法中正确的是（ ）A. 有公共顶点的角是对顶角 B. 相等的角是对顶角C. 对顶角必相等 D. 不是对顶角的角不相等3. 如图所示，同位角共有（ ）A. 6对 B. 8对 C. 10对 D. 12对4. 如图所示，1与2是内错角的是（ ）5. 若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角是（ ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 75

10、°6. 如图，12，那么2与（12）之间的关系是（ ） A. 互余 B. 互补 C. 和为45° D. 和为22.5°7. 如图所示，与C互为同旁内角的角有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 如图所示，下列条件中不能判定DEBC的是（ ）A. 1=C B. 2=3 C. 1=2 D. 2+4=180°9. 如图所示，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BCAD的是（ ）A. 3=4 B. A+ADC=180° C. 1=2 D. A=510. 在一场足球赛中，一队员带球经过两次拐弯躲过防守后，仍在原来方向上平行前进，那么

11、该队员这两次拐弯的角度可能是A. 先向左拐45°，后向右拐45° B. 先向左拐45°，后向右拐135°C. 先向左拐45°，后向左拐45° D. 先向左拐45°，后向左拐135°（二）、沉着冷静耐心填11. 如果A35°18，那么A的余角等于 . 12. 如图，若12，则_，理由是_；若14，则_，理由是_；若2_180°，则cd，理由是_.13. 如图所示，DCB和ABC是直线_和_被直线_所截而成的_角.14. 如图所示，A=105°，B=75°，则_，理由是_. 15. 如图所示，1=2，则_，理由是_. 16. 如图所示，已知A=1，D=2，则AB与CD的位置关系是_. 17. 如图所示，请填写一个你认为恰当的条件：_，使ADBC. 18. 据图填空. 2条直线相交 3条直线相交于一点 4条直线相交于一点 n条直线相交于一点对顶角有_对 对顶角有_对 对顶角共有_对 对顶角共有_对（用含n的式子表示）（三）、神机妙算用心做19. 如图，直线AB、CD相交于O，已知AOC75°，OE把BOD分成两部分，且