平面向量 (2)

1、教学案例探究平面向量数量积的含义 一教学内容分析 本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书·数学必修4（A版）第二章、第4节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；由向量数量积与向量的长度及夹角的关系，进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程. 二.学生学习情况分析：学生在学

2、习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。 在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。 三.设计思想： 遵循高中数学课程标准以人为本的理念，以启发式教学

3、思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。 四、教学目标 1，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2，掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算； 3，能运用数量积表示两个向量的夹角，判断两个向量的垂直关系； 4，通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想；通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。 五.教学重点和难点: 重点是平面向量的数量积的概念和性质；

4、用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用。 难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。 六.教学过程：（情景一）开门见山，探究数量积的概念出示幻灯片（一）（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功-。 （2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? （4）如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？ 生1： （其中是和的夹角）。功是标量，力是矢量，位移是矢量，是力与位移的夹角。功是力与位移

5、的大小及其夹角余弦的乘积。 生2：结果是两个向量大小及其夹角余弦的乘积。 师：好，由上例得已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量·cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ·cos定义说明： 记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“ ”代替. “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。生3（举手）：功行吗师:完全可以.请同学们用一句话来概括功的数学本质。生（全体）：功是力与位移的数量积 。 出示幻灯片（二）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动： 、竖直下降10米； 、竖直向上提升10米； 、在水平面上位移

6、为10米； 、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；分别求重力做功的大小。 （学生完成的不错）出示幻灯片（三）: 例1 已知点评：以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。通过尝试练习与例1的演练，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为数量积的性质埋下伏笔。充分利用向量模型产生的物理背景,采用“特殊一般特殊”的方法，舍去实例中所有非本质的成分，分离出实例中的本质属性，经过抽象概括后形成概念。最后将概念回归到实例当中，达到对概念的理解，巩固。（情景二）感知小结数量积的运算性质 师：向量的数量积运算与

7、向量的加减运算结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 生4：向量的加减运算的结果是向量，而向量的数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量与的模有关，而且还和它们的夹角有关。(学生讨论，并完成下表)的范围0°<90°=90°90°<·的符号(阅读教材)（1）给出向量投影的概念：如图，我们把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=cos 数量积的几何意义是:数量积·于的长度与在的方向上的投影cos的乘积。师:由练习与以上概念的理解大家能得出什么性质？（学生们争先发表自己的小结，师生共同完成

8、。 向量数量积的性质:设和都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 1, 2、 3、当与同向时，·=； 当与反向时，·= -;特别地，·=2或=4, 5, 点评:引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。学生通过自主阅读、总结并发表自己的看法，培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯,同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。把课堂还给学生，体现师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学生服务的.老师可以有针对性进行学习方法点拨并指出对学习过程进行及时反思的重要性。（情景

9、三）探究数量积的运算律师：回顾实数运算中有关乘法的运算律，类比可得数量积的哪些运算律。已知向量、和实数，则可得什么？生5：（1）（2）生6：(3)师：上面同学的结论是否正确？还有其他结论吗？生7：(4)（迟疑半天后，）生8:(2)不正确.生5:正确,这不就是乘法的结合律吗?生8: 等式左边与向量共线，右边与向量共线，而向量与不一定共线，因此结论不一定成立；师：另三个一定成立吗？经过辩论（1）（4）两个等式根据向量的数量积的定义可得结果。经过教师的点拨，紧扣已有的向量知识与本节的向量数量积的几何意义（3）等式可得证。 小结得: 已知向量、和实数，则 师:由能否推出？(沉默交流)生9:当时，有。但

10、不能得到。点评：只要给学生空间，学生就会主动探求，积极讨论，学习的热情也表现出非常的高涨。通过辨析交流，学生对新知识的理解会更深入，更清晰。（情景四）应用与提高出示幻灯片（四）:例2、例3、例4 点评：1、通过例题，练习让学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工；2、让学会利用数量积来解决有关垂直问题，让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练，进一步体现向量的工具作用。3、上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化。七、教学反思本节课教学效果比较满意，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算。使得学习内容直观、生动，抓住重点。使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开。从本堂课的教学实践中我还看到了自己有待提高的地方：1，与学生探讨向量数量积的性质时有点“抄袭”行为，阅读了数量积