齐次化解定点定值问题

1、齐次化联立解决定点定值问题广东省英德中学（513000）陈国宗一、概述 圆锥曲线是历年高考命题的重点与难点，而定点定值问题又始终在圆锥曲线的问题中占有一席之地，该问题对学生分析问题能力，知识综合运用能力，数学运算能力与技巧要求较高.学生普遍存在计算不完或者计算不对的现象.为此，本文将介绍齐次化联立的方法解决一类定点定值问题，以提高运算的效率与准确率.二、例题分析例1.已知为抛物线上异于原点的两点，设分别为直线的斜率且.证明：直线的斜率为定值.解：设直线与抛物线的交点，设直线的方程为.由 联立得： 即变形得：又，即即直线的斜率.点评：上述解法的巧妙之处在于将条件中与的关系转化为关于（视为整体）的

2、一元二次方程的两根关系.将直线的方程设为是为了联立抛物线方程后方便将方程中的各项补齐为二次式，进而转化为关于的一元二次方程.例2.如图1所示，已知椭圆的右焦点为，点及点都在椭圆上，若直线与直线的倾斜角互补.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 证明：直线的斜率为定值.解：（1）依题意，化简得解得或（舍去）故椭圆的标准方程为.（2）分别平移轴，建立以为原点的直角坐标系，如图2所示在直角坐标系下：已知，设设直线方程为易知椭圆的方程为变形得：由联立得：化简变形得：直线与直线的倾斜角互补，故即 直线的斜率为.易知直线在平移前后斜率不变，综上所述：直线的斜率为定值.点评：1.上述解法的核心在于对坐标轴进行平

3、移，联立直线与椭圆方程齐次化，最后转化为关于的一元二次方程的两根关系问题.故我们称上述方法为平移齐次化.2.一般地，设为圆锥曲线上一点，由点引倾斜角互补的两弦，利用平移齐次化方法证明直线斜率为定值的基本步骤为：平移坐标轴，建立以为原点的新平面直角坐标系.在直角坐标系下，求得圆锥曲线的方程为，并将直线方程设为.联立直线与椭圆方程齐次化，将问题转化为关于的一元二次方程两根关系问题.3.解题过程中应注意到圆锥曲线：的常数项为0，以及直线平移前后斜率不变的一般规律.事实上，利用平移齐次化方法我们还可以得到一个更为的结论：设为有心二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上一点，由点引倾斜角互补的两弦，则直线的斜率为

4、定值，证明留给读者.例3（2017全国I卷理科20题）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为-1，证明：过定点.解：（1）因为关于轴对称，所以两点在椭圆上.故 又不在椭圆上，在椭圆上. 解得故的方程为.（2）平移轴，建立以为原点的直角坐标系，如图3所示在直角坐标系下：已知，设设直线方程为易知椭圆的方程为变形得：由联立得：化简变形得：又，即. 即.直线的方程为，直线过定点故在原坐标系下直线过定点.点评：利用平移齐次化方法证明定点问题时应注意平移前后定点坐标的关系.事实上，利用平移齐次化的方法我们还可以得到一个更为一般的结论：设为有心二次曲线上一点，若动弦相对点张角为直角时，则弦所在的直线经过定点，其中有心二次曲线的离心率.证明留给读者.三、结束语 以上是本人对平移齐次化方法在定点定值问题中的一些见解，通过文中的几