高等数学一微积分

1、高等数学（一）微 积 分导数微分学微分微积分不定积分积分学 定积分无穷级数第一章 函数及其特性1.1 集合一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。二、表达方式： 集合A，B，C（大写字母）元素a，b，c（小写字母）A=a，b，c元素的排列无重复，无顺序。a属于A记作aA，1不属于A记作1A或1A三、分类 有限集无限集空集四、集合的运算1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，AB或BA（空集是任何集合的子集）。2、交集： 存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。AB，ABA，ABB，B=（空集与任何集合的交集是）。3、并集：存在A、B两个集合

2、，由所有在A、B中的元素组成的集合。AB，ABA，ABB，B=B。4、补集：存在A、B两个集合，且AB，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。记作AB或， ABA=， AB A=B五、数、数轴、区间、邻域1、数 实数虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。3、区间(1)闭区间axb,xa, b(2)开区间a< x< b, x(a, b)(3)半开区间 ax< b, xa, b) a< xb, x(a, b (4)无限区间 xa, x(-, axb, x b, +)xR, x(-, +)x0 x0 x0

3、+4、邻域：以x = x0为圆心，以> 0（为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A、B两点，x0 -< x0 < x0 +叫x0的邻域。例1 已知A=x -2x< 3，B=x -1< x5，求AB， AB o | A . o B-2 -1 0 3 5解：A、B集合中x的取值范围在数轴表示如下所以AB=x -1< x< 3， AB=x -2x5例2 已知A、B为两非空集合，则AB=A是A=B的 (2) (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件注：如果A成立，那么B成立，即“AB”，那么条件A是B成立的充分条件；如要使B成立，

4、必须有条件A，但只有A不一定能使B成立，则称A是B成立的必要条件；如果“AB”，又有“BA”，则称条件A是B成立的充分必要条件。例3 已知集合M=0,1,2，则下列写法正确的是 D A、 1M B、 1 C、 1M D、1M1.2 函数及其几何特性一、定义：在一过程中，存在两个变量x、y，y是按照某一对应规则f随x的变化而变化，y就叫做关于x的函数（一元函数），表达式：y=f (x)x叫自变量，定义域Df （x取值范围）y叫因变量，值域DR （y取值范围）二、求定义域例1 求的定义域。解：例2 求的定义域解：例3 求的定义域解：注：真数等于1时，对数值等于0。三、图象四、几何特性1、单调性。对

5、于y=f(x), xDf, if y随x的增加而增加，则y=f(x)在Df内单调增。y随x的增加而减少，则y=f(x)在Df内单调减。2、有界性。对于y=f(x), xDf, 对于任一xDf，满足Af(x)B，则y=f(x)在Df内有界，A叫下界，B叫上界。3、奇偶性。对于y=f(x), xDf, 且Df为对称区间, if f(-x)=f(x)，则y=f(x)为偶函数。f(-x)= -f(x)，则y=f(x)为奇函数。如两者均不符合，则y=f(x)为非奇非偶函数。注：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。4、周期性。（三角函数的周期性）对于y=f(x), xDf, if 存在T&

6、gt;0，满足f(x+T)=f(x), 则y=f(x)是周期函数，T叫最小正周期。例1 讨论的奇偶性（xR）解：原函数是奇函数例2 讨论的奇偶性(xR)。解：原函数是奇函数1.3 五种基本的初等函数一、幂函数1、形如，a为常数。2、幂函数的定义域、值域、几何特性依a的取值而定。如a取以下值：DfxRx0x0xRDRy0y>0y0yR几何特性偶函数偶函数单调增奇函数，单调增3、运算法则 （a, b为正整数） 二、指数函数1、形如且2、xR，y>03、当x=0时，y=1，则图象一定过点（0，1）4、几何特性。单调性 0<a<1 单调减a>1 单调增(0, 1)a>

7、;10<a<1曲线无限接近x轴，但不与x轴相交5、图象6、运算法则（同幂函数）三、对数函数1、形如且2、x>0，yR3、当x=1时，y=0，则图象一定过点（0，1）当x=a时，y=14、几何特性。单调性 0<a<1 单调减a>1 单调增0 (0, 1)a>10<a<1曲线无限接近y轴，但不与y轴相交5、图象6、两种特殊的对数(1) 当a=10时，y=log10x=lgx(常用对数)(2) 当a=e时，y=logex=lnx(自然对数，e2.718)7、运算法则四、三角函数（掌握其几何特性、特殊三角函数的图象、基本运算）y=f(x)=sinx

8、正弦cosx余弦tanx正切cotx余切secx正割cscx余割DfxRxR(90o的奇数倍）(90o的偶数倍）DR-1y1-1y1yRyR单调性无无单调增单调减有界性有有无无奇偶性奇偶奇奇周期性22特殊角的三角函数值角度0o30o45o60o90o弧度0sinx01cosx10tanx01不存在图象：sinx cosx1 1 -1 -1tanx常用公式：平方公式倍角公式半角公式 两种特殊的三角形式求周期：(1) y=Asin(x+), (2) y=|sinx|, T=五、反三角函数arcsinxarccosxarctanxarccotxDf-1x1-1x1xRxRDR-y0y-<y&l

9、t;0<y<几何特性单调增,奇函数单调减,非奇非偶单调增,奇函数单调减,非奇非偶图象：arctanx arccotx - 通过以上五种基本函数有限次的加、减、乘、除、乘方、开方、复合，就构成了初等函数。1.4 复合函数、反函数、分段函数一、复合函数由y=f(u), u=g(x), 可得到y=f g(x)，叫做y关于x的复合函数，u叫中间变量。例1 已知, 求f(x). 例2 已知f(x+1)=x(x-1), 求f(x)解：设 解：令t=x+1, 则x=t-1 注：t和x都是代表变量，习惯性用x表示自变量，因此最后答案直接用x代替t.例3 已知f(x-1)=x2+x+1, 求 例4

10、已知f(x)的定义域为0, 4，求f(x2)的解：令t=x-1, 则x=t+1 定义域。解：令 例5 已知f(x+2)=x2-2x+3, 求f f(2).解法：令t=x+2, 则x=t-2 解法：由f(2)可知f(x+2)中x=0f(t)=(t-2)2-2(t-2)+3=t2-6t+11 f(2)=02-2×0+3=3则f(2)=22-6×2+11=3 则由f f(2)=f(3)又可知x=1所以f f(2)=f(3)=32-6×3+11=2 f f(2)= f(3)= 12-2×1+3=2二、反函数已知y=f(x)x=F(y)即y=F(x), 则y=F(

11、x)叫y=f(x)的反函数，可记作f -1(x).1、反函数与原函数的图象关于直线y=x对称。2、两组反函数(1) y=ax与y=logax, 指数函数与对数函数互为反函数。(2) y=sinx与 y=arcsinx (-x)例：求的反函数。解：由原函数可得即反函数为三、分段函数（关键在分段点）1.5 几种简单经济函数的建立价格P，需求量D，产量Q，总收益R，总成本C，总利润L本书中设定需求量与产量为理想状态的关系，即D=Q一、需求函数：D=D(P)二、总收益函数： 三、总成本函数：C=变动成本+固定成本四、总利润函数：L=R-C例：已知需求函数，求R(P), R(D).解：R=P×

12、D=P×(20-2P)=-2P2+20PR(P)= -2P2+20PR(D)= 第二章 函数的极限、连续性2.1 函数的极限一、数列的极限1、数列：按自然数的顺序排列的一列数，. 首项，通项公式。2、数列的极限：对于，当n(趋向于)时，if A, 则A叫当n时的极限。记作：二、函数的极限1、对于y=f(x), 当x时，if f(x) A, 则A叫f(x)当x时的极限，的充分必要条件：，即左右极限存在且相等。例：判断是否存在。解：由arctanx的图象可知当x-时，当x+时，所以不存在。2、对于y=f(x), 当xxo时, if f(x) B, 则B叫做f(x)当xxo时的极限，的充分

13、必要条件：，即左右极限存在且相等。例1 已知，判断是否存在。解：存在例2 判断是否存在。解： 不存在三、函数的极限的计算1、运算法则：已知当B=0时， A0，则极限不存在且等于A=0，属于“0/0”型的未定型(K是常数)2、判别法则(1)夹逼准则：在xo的邻域存在f(x), g(x), w(x)，且g(x)f(x)w(x)if , 则(2)单调有界函数必有极限 三、一般初等函数求极限1、当xxo时，if f(x)在xo有意义，则极限等于f(xo).f(x)在xo无意义，则对f(x)进行恒等变换，将f(x)变换为在xo有意义或公式的形式。2、当x时，利用公式或利用来求极限。 四、分段函数求极限(

14、以xxo为例)1、如果xo不是分段点，则按初等函数定。2、如果xo是分段点，则利用充分必要条件。例1 已知，求解：(1) (2) (3) 当x1时，1为分段点，利用左右极限存在且相等的充分必要条件：例2 已知，求解：2.2 无穷大量、无穷小量一、定义：对于y=f(x), 当xxo(x)时if f(x), 则称f(x)是当xxo(x)时的无穷大量。if f(x)0, 则称f(x)是当xxo(x)时的无穷小量。注：当x0时，既不是无穷大量，也不是无穷小量，是一个有界函数。当x时，是无穷小量。二、两者间的关系：当x在同一变化趋势下时，两者互为倒数。已知当xxo时，如果f(x)(0)，则三、无穷小量的

15、性质1、有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。2、无穷小量与有界函数的积，仍为无穷小量。三角函数的角度 0时，用公式来求极限。时，把三角函数当成有界函数，配无穷小量来求极限。3、如果, 则在xo的邻域内f(x)-A=(x)(无穷小量)，即f(x)与A之间相差一个无穷小量。四、无穷小量的阶次的比较已知xxo(x)时，f(x)0, g(x)0, 取例1 当x0时，比较与x的阶次。解： 两者同阶例2 当x0时，比较ln(1+x)与x的阶次。2.3 函数的连续性一、定义：对于y=f(x)在xo的邻域内有定义，当x取xo+x时，y=f(xo+x)， 则y=f(xo+x)-f(xo). if x0, 则y0, 即, 则称y=f(x)在xo连续。if , 则y=f(x)在xo处是连续函数。由定义可得出函数连续的三个必要条件：(1) y=f(x)在xo有意义(2)当xxo时，极限存在(3)极限等于f(xo)1、初等函数的连续性在定义域内一定连续。2、分段函数的连续性(1)如果xo不是分段点，则当初等函数看待。(2)如果xo是分段点，则利用由定义得出的三个必要条件来判断。例1 求的连续区间。例2 已知，讨论y=f(x)在x=1处的连续性。解：(1)当x=1时，f(1)=2(2)例3 已知，求a的值，使f(x)在(-,+)内连续。 a=1时，f(x)在(-,+)内连续二