高中数学椭圆知识点及联系

1、椭圆1.椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数。 ,这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。2.椭圆的标准方程1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；3.椭圆：的简单几何性质（1） 对称性：对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2） 范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭

2、圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，。 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：；注意：椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，且。4.椭

3、圆的第二定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有5.椭圆 与 的区别和联系标准方程 图形性质焦点，焦距范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，6.直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切； （3）相离：直线与椭圆相离；7.焦点三角形：椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形。8.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而

4、是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。9.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；10.求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。典型例题题型1:椭圆定义的运用例1.已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则_例2.如果方程表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_例3.已知为椭圆上的一点，M、N分

5、别为圆和圆上的点，则的最小值为 题型2：求椭圆的标准方程 例1.求满足下列各条件的椭圆的标准方程 （1）经过点(2，3)且与椭圆具有共同的焦点（2）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4题型3:求椭圆的离心率（或范围）例1.中，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为 例2.过椭圆的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1.已知P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值题型5：焦点三角形问题例1.已知为椭圆的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知为一个直角三角形的三个顶点，且,求的值；例2.若为椭圆的两个焦点，p为椭圆上的一点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围为 题型6：直线与椭圆的位置关系的判断例1.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围； 题型7：弦长问题例1.求直线被椭圆所截得的弦长例2.已知椭圆的左右焦点分别为、，若过点P（0，-2）及的直线交椭圆于A,B两点，求