高中数学必修5不等式教案

1、第三章 不等式第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）教学要求：了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组. 教学重点：从实际问题中找出不等关系. 教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元；二、讲授新课：1、教学用不等式表示不等关系 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系. 举例：例

2、如：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是v40. 文字语言与数学符号之间的转换.文字语言数学符号文字语言数学符号大于>至多小于<至少大于等于不少于小于等于不多于 实数的运算性质与大小顺序之间的关系对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b是正数;如a<b,那么a-b是负数;如果a-b等于0.它们的逆命题也正确.即2、教学例题：出示例1：日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖，则这杯糖水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式。（浓度）出示例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万

3、本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销量就相应地减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入还不底于20万元呢？ （教师示范 学生板演 小结）3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 三、巩固练习：.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买片和盒，请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来。. 练习：教材P83 1、2题.作业：课本P87 3题；P91第10题.不等关系与不等式（二）教学要求：了解不等式与不等式组的实际背景；掌握常用不等式的基本基本性质；会

4、将一些基本性质结合起来应用.教学重点：理解不等式的性质及其证明.教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系2. 设点与平面之间的距离为d，为平面上任意一点，则点与平面的距离小于或等于，两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.二、讲授新课：1、教学“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有等. “作差法”的一般步骤是： 作差；变形；判断符号；得出结论.常用的不等式的基本性质2、教学例题： 出示例1：已知求证：（

5、教师讲思路学生板演小结方法） 出示例2.：比较的大小. (比较两个数的大小，基本方法是作差，对差的正、负或零做出判断，得出结论)方法提炼比较大小的方法1作差法其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差2作商法其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论3特例法若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路4注意：a>b<和a>ban>bn(nN，且n>1)成立的条件 1.变式

6、训练：已知的大小2比较大小：aabb_abba(a>0，b>0且ab) 出示例3：已知的取值范围. (确定取值范围利用不等式的性质求解) 变式训练：已知的取值范围.三、 巩固练习：.比较的大小，其中.比较当时，的大小. .（2001.济南）设实数满足的大小关系是_. 4. 已知，试将按大小顺序排列5. 已知，求的范围§2.1 一元二次不等式的解法（1）教学目标（一）教学知识点1一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2一元二次不等式的解法.（二）能力训练要求1通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想.2提高运算（变形）能力.（三）德育渗透目标渗透

7、由具体到抽象思想.教学重点一元二次不等式解法教学难点一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系.数形结合思想渗透.教学方法发现式教学法通过“三个二次”关系的寻求，得到一元二次不等式的解.教学过程创设情景 汽车在行驶过程中解：由题意可得要确定哪一辆车违章了,只需分别解出不等式0.01x2+0.1x12和0.005x2+0.05x>10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以判断出哪一辆车违章超速行驶。像上面的形如 ax 2 +bx+c>0( 0) 或 ax 2 +bx+c<0( 0) 的不等式（其中 a 0 ），叫做 一元二次不等式复习：解一元一次不等式时应具备的知识：不等式的性

8、质：1）若则2）若且则3）若且则还有一种数学方法可以解不等式数形结合法，它在解不等式中起着非常优越的作用！讲授新课1先看解一元二次不等式中的数形结合例：解不等式和. 方程 作函数的图象解不等式 2利用数形结合解一元二次不等式解不等式和解方程，作函数的图象解不等式 或 例题：P76页例1、2、33思考交流（1）总结一元二次不等式的解法（）方程的解的情况函图象不等式的解集当时方程有两个不等的根，当时方程有当时方程无实根无（2）解不等式0.01x2+0.1x12和0.005x2+0.05x>10并指出哪一辆车违章？4练习已知函数的图象与轴的交点横坐标为和2，则当或时，；当时，.若方程无实数根，

9、则不等式的解集是 已知不等式的解是，则-12 -2若不等式的解集是，则实数的取值范围是 .若满足，化简12、教学例题： 出示例1：求不等式的解集. （解方程 给出图象 学生板演） 变式训练：求不等式的解集. 变式训练：求不等式的解集. 出示例2：求不等式（方程的解函数草图观察得解） 出示例3：已知的解集为，试求的值，并解不等式（将一元二次不等式的解集与方程根的关系联系起来） 变式训练：已知不等式的解集为，且，求不等式的解集.3、小结：不等式的解集情况，解一元二次不等式的三步曲. 三、巩固练习：1、求不等式的解集.2、不等式的解集是，则的值是_3、作业： 3.2 一元二次不等式及其解法（二）含参

10、不等式的解法举例一， 含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x不等式解： 当m=3时，原不等式的解集为；当m>3时, 原不等式的解集为。小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于x的不等式二， 含参数的分式不等式的解法：例2：解关于x的不等式分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax-1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于当=0时，原不等式等价于解得，此时

11、原不等式得解集为x|；当>0时, 原不等式等价于,则：当原不等式的解集为；当0<原不等式的解集为；当原不等式的解集为；当<0时, 原不等式等价于，则当时, 原不等式的解集为；当时, 原不等式的解集为；当时, 原不等式的解集为；小结：本题在分类讨论中容易忽略=0的情况以及对，-1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。牛刀小试：解关于x的不

12、等式三， 含参数的绝对值不等式的解法：例3：解关于x的不等式分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就、两个参数间的大小关系分类讨论求解。解：当时，此时原不等式的解集为；当时，由，此时原不等式的解集为；当时， 此时此时原不等式的解集为；综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为。小结：去掉绝对值符号的方法有定义法：平方法：利用同解变形：;牛刀小试：（2004年辽宁省高考题）解关于x的不等式思路点拨：将原不等式化为然后对进行分类讨论求解。要注意空集;抓住绝对值的意义，在解题过程中谨防发生非等价变形造成的错误。具体

13、解答请同学们自己完成。三、巩固练习：1、若，则不等式的解是_ 2、解关于的不等式： 3.设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围 4.解关于。一元二次不等式的解法的应用（一）【例1】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)0.解：检查各因式中x的符号均正；求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：原不等式的解集为x|-1x2或2x3.说明：3是三重根，在C处穿三次，2是二重根.在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n，n为奇数时，曲线

14、在x 1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.【练习1】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)0.【例2】 解不等式：.解法一：化为两个不等式组来解.0或x或-7x3-7x3，原不等式的解集是x|-7x3.解法二：化为二次不等式来解.-7x3，原不等式的解集是x|-7x3.点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7的条件，解集应是x|-7x3.【例3】 解不等式：.解法一：化为不等式组来解(较繁).解法二：原不等式的解集为x|-1x1或2x3.练习：解不等式.答案：x|-13x-5.课堂小结1.关于一元二次

15、不等式的实际应用题，要注意其实际意义.2.求解一般的高次不等式的解法.特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；注意边界点（数轴上表示时是“。”还是“ .”）.3. 分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 (或的形式，转化为，（或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式.（2010全国卷2理）不等式的解集为（A） （B）（C） （D）【答案】C（2010江西理）不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 一元二次不等式的解法的

16、应用（二）【例1】 已知关于x的方程2x 2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围.探路:列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组.解:已知方程有两个负根的等价条件是m或m1.m的取值范围是（, 1，）.点评:1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故0，因此列成0是错误的.又若只列成0也是错误的，0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x1x20,x 1+x 20的条件.2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用.【例2】 已知A=x|x2-3x+20，B=x|x2-(a+1)x+a0.（1）若B A，求a的取值范围；（2）若AB是

17、单元素集合，求a的取值范围.探路:先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值范围.解:解不等式x2-3x+20得A= 1，2；而B=x|(x-1)(x-a)0.（1）若BA，如图（1），得a的取值范围是1a2.（1）（2）若AB是单元素集合，如图（2），AB只能是集合1，（2）a的取值范围是a1.【例3】 关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|x-2或x，求关于x的不等式ax2-bx+c0的解集.由题设a0且，从而ax2-bx+c0可以变形为，即x2-x+10.x2.原不等式的解集为x|x2.引申：已知关于x的二次不等式ax 2+(a-1)x+a-10的解集为R，

18、求a的取值范围.练习：已知不等式(a 2-1)x2-(a-1)x-10的解集为R，求实数a的取值范围.3.2 一元二次不等式及其解法（练习课）教学要求：掌握一元二次不等式的解法；能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题. 教学重点：应用性问题. 教学难点：综合应用.教学过程：一、复习准备：1、提问：实数比较大小的方法？2、讨论：不等式的性质有哪些？二、基础练习：1.一元二次不等式的解法. 解不等式 不等式的解集_2.实数比较大小的方法 比较的大小，其中 设，比较的大小.3.不等式性质的应用. 如果，且，那么的大小关系是_ 已知，则的取值范围分别是_ 已知，求证三、巩固练习1. 较

19、大小：比较的大小，其中2若则不等式的解是_3不等式的解集是_4若，则的解集是_5. 已知，试将按大小顺序排列6. 已知，求的范围*7.解关于的不等式*8 如果方程的两个不等实根均大于1，求实数的取值范围9. 若二次函数的图象经过原点，且，求的取值范围.课后作业 教材P91 B 1、2、3、43.1基本不等式（一）教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；教学重点：应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵教学过程：一、复习准备：1. 回顾：二

20、元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、讲授新课：1. 教学：基本不等式 探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形

21、EFGH缩为一个点，这时有。（教师提问学生思考师生总结）思考：证明一般的，如果基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：从不等式的性质推导基本不等式：用分析法证明：要证 (1)， 只要证 a+b (2)， 要证（2），只要证 a+b- 0（3）要证（3）， 只要证（ - ）（4）， 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。练习：已知x、y都是正数，求证：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.探究：课本第110页的“探究”：（结论：如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可

22、以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.）探究:如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 表示半弦长，表示半径长.由半径大于半弦可得 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号布置作业活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ,的大小关系，并证明你的结论.分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.（方法二）创设几何直观情景.设AC=a,BC=b，用a、b表示线段、的长度，由可得.2. 小结：两正数a、b的算术平均数与几何平

23、均数成立的条件。理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵。三、巩固练习：1. 练习：教材114页练习的第1题。2. 作业：教材114页习题A组的第1题.3.2基本不等式与最大（小）值 教学目标:进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题； 重点难点:1.教学重点：基本不等式的应用 2.教学难点：利用基本不等式求最大值、最小值。教学过程:一、情境引入，提出问题1、基本不等式及其等号成立的条件 ， 2、若，求的最小值； “模块一”中可以利用函数的单调性得出解答，但利用基本不等式更方便；二、讲授新课 1、思考、讨论下列问题（1）长为16的细铁丝围成的矩形中，面积

24、最大有多大？ （2）面积为16的矩形中，周长最小为多少？2、抽象概括 （1）长为16的细铁丝围成的矩形中，边长为4的正方形面积最大；面积为16的矩形中，边长为4的正方形周长最小； （2）当都为正数时，有下列结论：若（定值）时，则当时，积取得最大值，且最大值为；若（定值）时，则当时，和取得最小值，且最小值为。（3）“一正、二定、三相等”三、范例及思考例1求出函数的最小值已知，求函数的最大值例2 设为正数，且，求的最大值。Ex:1.下列函数中，最小值为2的是（ ） （） () （） （）2、设0<x<1则函数的最大值是_ 3、若x>0,y>0且则xy有最_值其大小为_四、典

25、例分析，变式训练 例1、已知，求函数的最大值变式、已知 (1)若求的最小值（2）若求的最大值例2、设 求函数最大值变式、已知求函数的最大值例3、已知正数满足 (1)求证: (2)求的最小值。变式、已知且求的最小值。例4、已知，求函数的值域。例5、求 的最小值。五、课堂小结1、和一定时，积最大；积一定时，和最小；“一正、二定、三相等”2、解应用题时，要审题、列函数式、合理准确地利用基本不等式解决问题。六、课外训练 1、已知0<x<1,则x(3-3x)取最大值时，x的值为_ 2、设x,y是满足2x+y=20的正数，则lgx+lgy的最大值是（ ） A: 50 B: 20 C: 1+lg5 D: 1 3、设x,yR.且x+y=5则的最小值是（ ） 4、设a,b,c为正数，则的最小值为_。 5、若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_。 6、求证： 3.基本不等式（三）教学要求：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题教学重点：基本不等式的应用教学难点：利用