高数1 总复习1含答案及其提示 2

1、 总复习1 本高等数学1讲的内容基本可以归结为：一个思想：极限的思想；两个体现：微分与积分。一基本概念及其计算1.求极限；2.求导数与微分；3.求极值、最值；4.求不定积分；5.求定积分；6.求面积、体积与弧长；7.求平面与直线的方程。二应用（重点是几何应用）：1.利用导数求切线；2.利用定积分的元素法求面积体积与弧长；3.最值问题。综合练习(精选)一 计算1. 计算下列极限 说明：在习题课上已经总结了许多求极限的方法。但最开始应该想到的还是罗比达法则以及两个重要极限。*（1） 答案：*（2） 提示：通分后用罗比达。答案：0*（3） （04-05） 提示：罗比达结合重要极限。 答案：-1 *（

2、4）（08-09） 答案：0*（5） 提示：等价无穷小替换。答案：1 *（6）（07-08） 提示：重要极限结合罗比达。答案：*（7） 提示：分母有理化 答案：2 *（8） （07-08） 答案：1 （9） 答案：0*（10） 提示：注意变上限积分求导。答案：1/22计算下列导数 *（1） ，求 答案：*（2），求答案：*（3），求。 答案：*（4） ，求 提示：严格按照定义求。 答案： 0 *（5）设求（06-07） 答案： *（6）已知，求 答案：1。*（7）已知，求答案： *（8），求（02-03） 答案： 3计算下列不定积分*（1） 提示：分部。 答案： *（2）（08-09） 提示：

3、凑微分.*（3） 提示：1/x凑微分加半角公式. 答案： *（4） 提示：cotx化正余弦。答案： *（5） 提示：凑微分后化有理。 *（6） 提示:分子有理化。 答案：*（7）（07-08） 提示：第二类换元。答案： *（8） 提示：分部消x. 答案：*（9）答案：*(10) 提示：4.计算下列定积分*（1） 提示：先用倍角公式再分部。答案： *（2） （02-03）提示：利用奇偶函数。答案： *（3）（96-97） 答案： *（4） 提示：利用偶函数。答案：（5）设求. 答案： （6） 提示：暇积分 答案：1。（7） 求 提示：分部。答案： （8） 提示：暇积分。 答案：发散（9） 答案：

4、 *(10) 提示：注意对于无穷限的积分若两边都是无穷，应该分别取极限。不能用奇函数性质。答案：05.向量代数、平面与直线等。 说明：此部分题目以平面与直线为多。单纯向量的运算的较少。*（1）直线过，与平面：平行，又与直线：垂直，求直线的方程.（08-09）提示：直线与平面的法线以及另一直线的方向向量均垂直。用外积。答案： *（2）已知直线，a求的方向向量；b，验证：与平行；c，求过，的平面方程。（05-06）答案：的方向向量：3，-2,1 （3）求经过点A（-1,2,3），垂直于直线 且与平面平行的直线方程。 答案： *（4）求直线与直线间的距离。 提示：这是平行线。（答案：） （5）求过直

5、线且与平面成角的平面方程。 提示：利用平面束。 答案：，（6）求过点M（1,1,1）且与直线和都相交的直线方程。答案：二、判别1.有关连续性、间断点、可导性等判别*（1）讨论函数的连续性，如有间断点，说明其类型. 答案：x=0间断，第一类跳跃间断点。*（2）设函数在上连续，求a。 答案： *（3）设，求f（x）的间断点并说明其类型。答案：x=1：第二类无穷，x=0：第一类跳跃*（4）已知，其中有二阶连续导数，且g（0）=1.1)、确定的值，使在点连续； 2)、求（答案：1、；2.2.曲线的性状的判别（1）求的单调区间，极值点；凹凸区间和拐点。（06-07） 答案：，单调增单调减，x=1极大.凸

6、，凹。X=2为拐点。（2）a）求的单调区间，凹凸区间和拐点。b）已知直角三角形的斜边长为，当两条直角边长为何值时，其周长最大？（05-06）答案：单调区间：x<0,单调减，单调增凹凸区间：为拐点，：凸；凹，：凸（3）绘出函数的图形。（4）求函数的凹凸区间与拐点。答案：拐点：凸：凹：凸：凹三、证明：说明：证明题主要出现在第三章的微分中值定理以及定积分部分。*1. （不等式）试证：当时，有成立提示：在利用增函数。*2.（不等式）证明：提示：令利用函数的凹性。 *3（导数中值）设在上连续，且证明： 1）存在使2） 存在使得 （05-06）3） （提示：1）令2）先对f（x）用中值定理得存在使得

7、然后对用中值定理。）*4. （中值，定积分）设函数与在闭区间上连续，证明：至少存在一点，使得： . （08-09）提示：令，然后在上用罗尔定理即可。*5（根的存在及个数）证明方程有且仅有三个实根.提示：易知有两个实根x=0，1.在2,又可以据介值定理找到一个实根。最后用反证法可以证明仅有三个实根。逐一用罗尔定理，可以证明如有四个根，那么其三阶导必有一个值为零*6（定积分）f(x)为a,b上的单调增加的连续函数，求证：提示：不等式等价于即：对令，则此式成为对令，则此式成为故（注意：T-a=b-T）：。*7.（定积分）设在上连续，是偶函数，满足条件（为常数）（1）证明： （2）计算 （06-07）

8、 提示：积分区间对半，换元。（2）令 答案：原式= *8. 设在上连续，在内可导，且，证明：存，使 （00-01） 提示：利用积分中值定理在2/3,1找到一点的值为f（0）。9. 设函数在上连续，单调不减且，试证：函数在上连续，且单调不减。（其中）（02-03）提示：要证明x=0右连续。同时：x>0时据积分中值定理：据f（x）单调不减立即可得：四、应用题 应用题大部分在于定积分微元法的几何应用。有一部分是极值问题。*1. 求由抛物线和所围成的图形的面积，并求此图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积。（05-06）答案：面积： 体积：*2求由以及所围成的平面图形的面积，又当k为何值时该面积最小？（04-05）答案：面积：得k=时面积最小 *3. 求由曲线y=x3与直线y=-x+2，x=0围成的平面图形面积.答案：5/4 *4一根弹簧按阿基米德螺线盘绕，共10圈，每圈间隔10mm，求弹簧全长。答案： *5. 在半径为r的半圆内，作一个内接梯形，其底为半圆的直径，其他三边为半圆的弦问怎样作法梯形面积最大？答：设高为h。面积S= 得时面积最大。*6. 从直径为d的圆形树干中切出横断面为矩形的梁，此矩形的底等于b，高为h，若梁的强度与成正比，问梁的横断面尺寸如何，其强度最大？答：设强度为Q。 而故，b=时强