导数的应用——利用导数证明不等式

1、精选优质文档-倾情为你奉上导 数 的 应 用-利用导数证明不等式1、利用导数判断函数的单调性； 2、利用导数求函数的极值、最值；引言：导数是研究函数性质的一种重要工具例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性, 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问

2、题迎刃而解. 因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题 下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用三、例题分析1、利用导数得出函数单调性来证明不等式例1：当x>0时,求证：xln(1+x) .证明：设f(x)= xln(1+x) (x>0), 则f(x)=x>0,f(x)<0,故f(x)在（0，+）上递减，所以x>0时,f(x)<f(0)=0，即xln(1+x)<0成立小结：把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的随堂练习：课本P32：B组第一题第3小题2、利用导数解决不等式恒成立问题（

3、掌握恒成立与最值的转化技巧；构造函数证明不等式）例已知函数(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x0时,f(x)>1+x解：(1)f(x) aex，（）在上为增函数，f(x)对恒成立，即-对恒成立记（）-，则()-=(1-x)e-x，当时，（），当时，（）知（）在(-,1)上为增函数,在(1,+ )上为减函数, g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, a1/e,即a的取值范围是1/e, + ) (2)记F(X)=f(x) (1+x) =则F(x)=ex-1-x,令h(x)= F(x)=ex-1-x,则h(x)=ex-1当x&g

4、t;0时, h(x)>0, h(x)在(0,+ )上为增函数,又h(x)在x=0处连续, h(x)>h(0)=0即F(x)>0 ,F(x) 在(0,+ )上为增函数,又F(x)在x=0处连续, F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为(或)恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方

5、法例3（全国）已知函数(1) 求函数的最大值；(2) 设,证明 ：.分析：对于（II）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：证明：对求导,则.在中以b为主变元构造函数,设,则.当时，,因此在内为减函数.当时,因此在上为增函数.从而当时, 有极小值.因为所以,即又设.则.当时,.因此在上为减函数.因为所以,即.综上结论得证。对于看起来无法下手的一个不

6、等式证明，对其巧妙地构造函数后，运用导数研究了它的单调性后，通过利用函数的单调性比较函数值的大小,使得问题得以简单解决.四、课堂小结1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式； 总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现 五、思维拓展（2008联考）已知函数，；