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1、浙江大学2005年数学分析解答一 （10分）计算定积分解：=由分部积分法+2所以，所以= 解毕二 （10分）设在可积，且，计算 解：因为在可积，所以，所以 因为，所以与等价且极限值相等由积分的定义：=4 解毕三 （15分）设为实数，且试确定的值，使得 解：若，显然，这与矛盾，所以计算，利用洛必达法则：，易有，若，矛盾，所以.计算，继续利用洛必达法则： 解毕四 （15分）设在上连续，且对每一个，存在，使得，证明：在存在使得证明:反证法,由于在上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设 对于任选的一点,存在使得, 存在使得 所以即,但对所有的x,矛盾.所以存在零点 证毕五 （20分）（1）设在上连

2、续，且收敛。证明存在数列满足条件（2）设在上连续，且收敛，问是否必有？为什么？证明：（1）因为收敛，所以对于任意的，存在时 考虑，由积分中值定理，存在，使得，将记做，易见 当时，即 证毕（2）不一定有.举一个例子:是这样一个函数:显然函数=,但(因为在整点处函数值为1) 解毕六（20分）设在上具有二阶连续导数，且已知和均为有限数。证明： （1）对任何均成立. （2）也是有限数，并且满足不等式. 证明:(1) 考虑在t处展开:=,t0,整理一下有:,所以所以 证毕(2) 因为对任何均成立. 取,所以,所以也是有限数，并且满足不等式. 证毕七 （10分）在可积，且收敛，证明： 证明: 因为收敛,所

3、以使得 在上因为可积, 由引理即 :当时 所以当时,即: 证毕八 （15分）（1）将展开为幂级数，求收敛半径. （2）利用（1）证明：. （3）利用（2）中公式近似计算的值，需要用多少项求和，误差会不超过（为自然数）解：（1）由幂级数理论= 由收敛半径的求法收敛半径：（2）在级数中，令，由莱布尼茨对交错级数的判别法，级数收敛，所以（3）对于误差的计算，取决于余项，不妨近似地用代替余项，所以所以至少计算项，这里是取整函数. 解毕九 （15分）设是上径向函数，即存在一元函数使得若，求满足的方程及函数.解：，所以由 所以，所以所以 这里均为常数。所以 解毕十 （25分）(1)设是上，周期为的函数（）,且。利用的级数展开证明：，等号成立当且仅当存在常数，使得（2）设是上具有光滑边界的连通区域，设是的面积，则其中向量场， 是x轴和y轴的单位向量.，是边界的单位外法向量，是边界的弧长微分.（3）设同上，是的边界的长度，利用（1），（2）证明：等号成立当且仅当是圆盘.证明：（1）因为是上，所以均是连续函数，所以满足等式，又注意到所以 这里均为的系数，由级数理论可得：的系数为，由等式：，显然如若等号成立，说明，由的级的复数形式：存在常数，使得 证毕 （2）证明：=，所以将第一类曲线积分向第二类曲线积分转化：= 证毕(3) 将坐标看作是弧长的函数，因为有：

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