构造法求数列通项公式

1、构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为=A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。例1 在数列中，=，=（），求数列通项公式.解析：由an+1=得，an+1 an=3 an+1-3 an=0，两边同除以an+1 an得，设bn=，则bn+1- bn=，根据等差数列的定义知，数列bn是首相b1=2，公差d=的等

2、差数列，根据等差数列的通项公式得bn=2（n-1）=n数列通项公式为an=评析：本例通过变形，将递推公式变形成为形式，应用等差数列的通项公式，先求出的通项公式，从而求出的通项公式。例2 在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn0，a1=1，an=(n2)，求Sn与an。解析：当n2时，an=Sn-Sn-1 代入an=得，Sn-Sn-1=，变形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1两边除以SnSn-1得，-=2，是首相为1，公差为2的等差数列=1+2（n-1）=2n-1, Sn=(n2),n=1也适合，Sn=(n1)当n2时，an=Sn-Sn-1=-=-，n=1不满足此式，an=评析：本例将所给条件

3、变形成，先求出的通项公式，再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。例3在数列an中，a1=2，an=an-12(n2)，求数列an通项公式。解析： a1=2，an=an-12(n2)0，两边同时取对数得，lg an=2lg an-1=2， 根据等比数列的定义知，数列lg an是首相为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg

4、an=2n-1lg2=数列通项公式为an=评析：本例通过两边取对数，变形成形式，构造等比数列，先求出的通项公式，从而求出的通项公式。例4在数列an中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列an通项公式。解析：设an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B为待定系数），展开得an+1=4an+3An+3B-A，与已知比较系数得 an+1+（n+1）+=4（an+n+），根据等比数列的定义知，数列an+n+是首项为，公比为q=3的等比数列，an+n+=3n-1数列通项公式为an=3n-1-n-评析：待定系数法是构造数列的常用方法。例5 在数列an中，a1=1 ，an+1an=4

5、n ，求数列an通项公式。解析：an+1an=4n anan-1=4 n-1 两式相除得 =4 ，a1，a3，a5与a 2，a 4 ，a 6 是首相分别为a1，a 2 ，公比都是4的等比数列，又a1=1，an+1an=4n ，a2=4an=练习：1.已知数列满足，求解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，2. 数列a满足a=1，a=a+1（n2），求数列a的通项公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，数列 a2是以为公比，1为首项的等比数列a2=（） a=2（）3. 数列中，求数列的通项公式。解：由得设比

6、较系数得，解得或若取，则有是以为公比，以为首项的等比数列由逐差法可得=4. 设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.解：， ，. 即是以2为公差的等差数列，且. （1）通过分解常数，可转化为特殊数列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pkk=q，即k=，从而得等比数列a+k。（2）通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。3、构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.（1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.（2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可