求证全等三角形的几种方法

1、求证全等三角形的几种方法课程解读全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。典型例题全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可

2、从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例1：如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BE

3、C=90°，BEFBEC，EF=EC，从而CF=2CE。又1+F=3+F=90°，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。 解答过程： 证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，BD=DC又BDE=CDABEDCAD，故EB=AC

4、，E=2，AD是BAC的平分线1=2，1=E，AB=EB，从而AB=AC，即ABC是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例3：已知，如图，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD。求证：B+ADC=180°。解答过程：证明：作CEAB于E，CFAD于F。AC平分BAD，CE=CF。在RtCBE和RtCDF中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CD

5、F，CDF+ADC=180°，B+ADC=180°。解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。 求证：DE=DF。 解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G， 则EGB=ACB， 又AB=AC，B=ACB， B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF， EDB=CDF，DGEDCF， DE=DF。解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种

6、作法：例5：ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。解答过程：证明：如图（1），过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=180°60°40°=80°，又AQO=C+QBC=80°， ADO=AQO， 又DAO=QAO，OA=AO， ADOAQO， OD=OQ，AD=AQ， 又ODBP， PBO=DOB， 又PBO=DBO， DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70°， BOP=OBA+BAO=70°，BOP=B

7、PO，BP=OB， AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO从而得以解决。如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中

8、点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例6：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4。在FDE与ADE中，FDEADE（ASA）

9、，DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角平分线，可

10、向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。同步练习（答题时间：90分钟）这几道题一定要认真思考啊，都是要添加辅助线的，开动脑筋好好想一想吧！加油！你一定行！1、已知，如图1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求证：BAD+BCD=180°。2、已知，如图2，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD。求证：BAP+BC

11、P=180°。3、已知，如图3，在ABC中，C2B，12。求证：AB=AC+CD。试题答案1、分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长法或补短法”来实现。证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图1-2RtADERtCDF(HL)，DAE=DCF。又BAD+DAE=180°，BAD+DCF=180°，即BAD+BCD=180°2、分析：与1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们成为邻补角，即

12、证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图2-2RtAPERtCPD(SAS)，PAE=PCD又BAP+PAE=180°。BAP+BCP=180°3、分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图3-2AFDACD（SAS），DF=DC，AFDACD。又ACB2B，FDBB，FD=FB。AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD。4、证明：（方法一）将DE两边延长分别交AB

13、、AC于M、N，在AMN中，AM+AN>MD+DE+NE；在BDM中，MB+MD>BD；在CEN中，CN+NE>CE；由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CEAB+AC>BD+DE+EC（方法二：图4-2）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G，在ABF、GFC和GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF GF+FC>GE+CEDG+GE>DE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+EC。5、分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+

14、BD>AD，AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC>2AD。6、分析：欲证AC=BF，只需证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在三角形BFH中方法一：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明ADC和HDB全等，得AC=BH。通过证明H=BFH，得到BF=BH。 ADCHDB(SAS) AC=BH， H=HAC EA=EF HAE=AFE又 BFH=AFEBH=BFBF=AC方法二：过B点作BH平行AC，与AD的延长线相交于点H，证明ADC和HDB全等即可。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长