极坐标下的二维动力学建模

1、极坐标下的二维动力学建模当探测器沿椭圆轨道自由飞行到近月点时，月球对其引力作用远大于地球以及其它星体摄动的影响，故可以忽略地球和其它星体的影响。在研究探测器相对于月球运动时，探测器的尺寸又远小于它和中心引力体的距离，所以可视其为质点。月球可以近似视为球形，而探测器的体积远远小于月球的体积，故可把探测器看成质量集中在中心的质点。忽略月球自转。假设探测器的软着陆在同一个平面内，建立如图。的月心极坐标系，取月心o为极坐标圆点，oy经过近月点A，ox与oy垂直，r为探测器到月心距离，F为制动的推力，为推力方向与or垂线的夹角；是oy和or的夹角。 图。月心平面极坐标系根据牛顿第二定律，可得:式中M为月

2、球质量，m为登月舱的质量，r为月心到登月舱的距离矢量，F为推力的矢量， G为万有引力系数。令,将方程。写成探测器软着路轨道平面内的分量形式，则探测器的运方程变为：又因为x=rsiny=rcos整理后得到又因为r为位置矢量，v为or方向上的速度，是oy和or的夹角，为探测器围绕月心的角速度。所以，r=v,=，结合，C为制动发动机比冲。可得到探测器在极坐标下的二维动力学建模为：模型改进直角坐标系下软着陆三维动力学建模由于月球的自转和太阳系其他星球对探测器的万有引力的影响，所以探测器的软着陆的过程并不是始终保持在同一平面内，下面将在直角坐标系下建立探测器软着陆三维动力学模型。 月心惯性坐标系oxyz

3、 ，月心为原点，月球赤道面为参考平面，ox轴指向月球赤道相对于白道的升交点，oy轴指向月球自转角速度方向， oz轴按右手坐标系确定。再定义月固坐标系oxLyLzL，坐标原点同样在月心，以月球赤道面为参考平面，oxL轴指向赤道面与起始子午面的交线方向，oyL指向月球自转角速度方向，ozL轴按右手原则确定。Ax1y1z1为原点在探测器质心的轨道坐标系， Ax1指向从月心到探测器的延伸线方向，Ax1垂直 Ay1指向运动方向，Az1按右手坐标系确定。制动发动机推力F的方向与探测器纵轴重合，是F与Ay1正向所成角，是F在x1Az1平面上的投影与Ax1轴负向所成夹角。为Ay1与oy所成夹角，为Ax1在平面

4、xoz的投影与ox正向所成夹角。为由于月球自转而产生的月固坐标系相对惯性坐标系的转角，不妨假设初始时刻月固坐标系与惯性坐标系重合。显然有轨道坐标系到惯性坐标系转换矩阵：惯性坐标系到月固坐标系的转换矩阵为定义为惯性坐标系中探测器的速度矢量，m为探测器质量，为惯性坐标系中月心引力矢量，根据牛顿第二定律，可以得到探测器在惯性坐标系中的运动方程为：定义R探测器位置矢量，VL为探测器在月固坐标系中的速度矢量，为月固坐标系相对于惯性坐标系的旋转角速度。由科氏定律可得：对式进行求导，可以得到探测器相对惯性空间的加速度为：根据科氏定律有：由于月球自转角速度为常值，所以 将以上式子整理后得到：综合以上叙述，得到探测器在月固坐标系中的运动方程可以表示为：其中是在月固坐标系中投影。月球重力加速度由月心引力加速度与离心加速度组成，其在月固坐标系中的投影形式记作：令远离月心的方向为力的正方向，则有其中L为月球自转角速度， , 和为探测器速度矢