第10章20160417-1

1、第一节第一节 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质 一、二重积分的概念一、二重积分的概念 二、二重积分的性质二、二重积分的性质第十章第十章 重积分重积分柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D1、引例：曲顶柱体的体积、引例：曲顶柱体的体积一、二重积分的基本概念一、二重积分的基本概念曲顶柱体曲顶柱体xyz0D),(yxfz （1）底是底是 x o y 面上的有界闭区域；面上的有界闭区域；（2） 侧面是以侧面是以 D 的边界的边界曲线为准线而母线平行曲线为准线而母线平行于于 z 轴的柱面；轴的柱面；（3）顶是曲面顶是曲

2、面 z = f ( x , y ) ，0),( yxf计算曲顶柱体体积的一般方法：计算曲顶柱体体积的一般方法：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，1：用一组曲线网将用一组曲线网将 D 任意分成任意分成 n 个小闭区域：个小闭区域：.,21n 将曲顶柱体分成将曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体个小曲顶柱体i 以以iV i nVVVV 21 niiV1 xy0表示以表示以为底的第为底的第 i 个小曲顶柱体的体积个小曲顶柱体的体积x

3、yz0),(ii 2：近似计算近似计算iV ),(yxfz i iiiifV ),( niiiifV1 ),(3：取极限求取极限求 V 的精确值的精确值以以i i maxini 1 niiiifV10),(lim i 和和 V 的体积的体积表示表示内任意两点内任意两点间距离的最大值，称为间距离的最大值，称为的直径的直径 定义：定义：设设 f ( x , y ) 是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数：上的有界函数：（1）：）：分割分割 ：用一组曲线网将：用一组曲线网将 D 任意分成任意分成 n 个小区域个小区域.,21n （2）：）：作和作和 ：在每个小区域：在每个小区域i ),(ii i

4、iif ),(并作和并作和 niiiif1 ),(（3）：）：取极限：令取极限：令i i maxini 1上任取一点上任取一点作乘积作乘积为为的直径，并记的直径，并记如果当如果当0 ),(ii 则称此极限为则称此极限为 f ( x , y ) 在在 D 上的二重积分，记为上的二重积分，记为时，上述和的极限存在，且与小时，上述和的极限存在，且与小区域的分法及点区域的分法及点的取法无关，的取法无关， Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . （1）如果如果 f ( x , y ) 在在 有界闭区域有界闭区域 D 上连续，则上连续，则 f ( x , y ) 在在 D 上一定可积。上一

5、定可积。（2）如果如果 f ( x , y ) 在在 D 上可积，则该积分与上可积，则该积分与 D ),(ii 因此，在直角坐标系中，用平行于因此，在直角坐标系中，用平行于 x 轴和轴和 y 轴的轴的两组直线分割两组直线分割 D ，如图所示，如图所示xy0i ix iy ,iiiyx ydxdd Ddyxf ),( Dydxdyxf),(的分法和分点的分法和分点的取法无关，的取法无关，几点说明几点说明（3）几何意义：当几何意义：当 f ( x , y ) 0 时，二重积分时，二重积分表示曲顶柱体的体积；表示曲顶柱体的体积；当当 f ( x , y ) 0 时，此时曲顶柱体位于时，此时曲顶柱体位

6、于 x o y 平平面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分表示的是曲顶柱体体积的相反数。表示的是曲顶柱体体积的相反数。如果如果 f ( x , y ) 在在 D 上有正有负，此时将上有正有负，此时将 x o y 面面上方的曲顶柱体体积取为正，上方的曲顶柱体体积取为正，x o y 面下方的曲面下方的曲顶柱体体积取为负，则顶柱体体积取为负，则 f ( x , y ) 在在 D 上的二重上的二重积分即为这些曲顶柱体体积的代数和。积分即为这些曲顶柱体体积的代数和。 niiiifV10 ),(lim Ddyxf ),(（二）二重积分的性质（二）二重积分的性质

7、性质性质1：常数因子可以提到积分号外面，即常数因子可以提到积分号外面，即 Ddyxfk ),( Ddyxfk ),(性质性质2：和或差的积分等于积分的和或差，即和或差的积分等于积分的和或差，即 Ddyxgyxf ),(),( Ddyxg ),( Ddyxf ),(（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）性质性质3：二重积分的可加性：如果积分区域二重积分的可加性：如果积分区域 D 被被1D2D1D2DDxy0 Ddyxf ),( 1),(Ddyxf 2),(Ddyxf 性质性质4：如果在区域如果在区域 D 上总有，上总有，f ( x , y ) 1 , 是是 D 的面积，

8、则的面积，则 Dd 1 Dd 一曲线分成两部分一曲线分成两部分和和，则，则 几何意义：高为几何意义：高为 1 的平顶柱体的体积的平顶柱体的体积第二节：二重积分的计算方法第二节：二重积分的计算方法(一一)（1）在直角坐标系下二重积分的计算）在直角坐标系下二重积分的计算类型类型 I （X 型）：型）：D 由直线由直线 x = a , x = b 与曲线与曲线)(1xy )(2xy )()(,| ),(21xyxbxayxD )(1xy )(2xy Dxy0abxy0)(1xy )(2xy Dabx1M2Mx1M2M和和所围成，即所围成，即类型类型 I （X 型）：型）：D 由直线由直线 x = a

9、 , x = b 与曲线与曲线)(1xy )(2xy )()(,| ),(21xyxbxayxD )(1xy )(2xy Dxy0abxy0)(1xy )(2xy Dabx1M2Mx1M2M和和所围成，即所围成，即特点：特点：用平行于用平行于 y 轴的直线由下至上穿过轴的直线由下至上穿过 D 时，与时，与 D 的边界最多只有两个交点。的边界最多只有两个交点。与与 D 的下边界交点称为穿入点，上边界交点称为穿出点的下边界交点称为穿入点，上边界交点称为穿出点类型类型 II （Y 型）：型）：D 由直线由直线 y = c , y = d 与曲线与曲线)(1yx )(2yx )()(,| ),(21y

10、xydycyxD xy0cd)(1yx )(2yx 1M2M)(1yx )(2yx xydc01M2MDD和和所围成，即所围成，即特点：特点：用平行于用平行于 x 轴的直线自左往右穿过轴的直线自左往右穿过 D 时，与时，与 D 的边界最多只有两个交点。的边界最多只有两个交点。类型类型 III （混合（混合 型）：型）： 区域区域 D 即不是即不是 X 型，型，也不是也不是 Y 型，则称为混合型，如图所示型，则称为混合型，如图所示xy0将将 D 分成三部分，它们分成三部分，它们均是均是 X 型区域。型区域。IIIIII注意：注意：有时一个区域可能有时一个区域可能即是即是 X 型，又是型，又是 Y

11、 型区型区域，如图中的区域域，如图中的区域 I 假定区域假定区域 D 为为 X 型，型，则二重积分则二重积分 Ddyxf ),( Dydxdyxf),( baxxxdydyxf)()(21),( 上式右端的积分称为先对上式右端的积分称为先对 y 后对后对 x 的累次积分的累次积分 对对 y 积分时，将积分时，将 x 看作常数，然后对看作常数，然后对 x 积分。积分。 Dydxdyxf),( baxxydyxfxd)()(21),( 累次积分通常简记为累次积分通常简记为abxy0)(1xy )(2xy DX 型区域型区域x0cd)(1yx )(2yx DY 型区域型区域 Dydxdyxf),(

12、dcyyydxdyxf)()(21),( y dcyyxdyxfyd)()(21),( Dydxdyxf),(简记为简记为 若若 D 是一边平行于坐标轴的是一边平行于坐标轴的矩形区域，如图所示，则矩形区域，如图所示，则xa0ybcd Dydxdyxf),( dcbaxdyxfyd),( badcydyxfxd),(Dabxy0)(1xy )(2xy DX 型区域型区域 Dydxdyxf),( baxxydyxfxd)()(21),( 累次积分的一个几何直观累次积分的一个几何直观x 累次积分法又俗称累次积分法又俗称 “穿线法穿线法” 当当 D 既是既是 X 型，又是型，又是 Y 型区域时型区域时

13、 Dydxdyxf),( baxxydyxfxd)()(21),( dcyyxdyxfyd)()(21),( 因此有因此有 baxxydyxfxd)()(21),( dcyyxdyxfyd)()(21),( abxy0)(1xy )(2xy Dx0cd)(1yx )(2yx Dy例例 2 2 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中D是由抛物线是由抛物线 解：画积分区域解：画积分区域两曲线的交点两曲线的交点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx ,:10

14、 xD,xyx 22xy 和和2yx 所围平面闭区域所围平面闭区域. 例例1：计算二重积分计算二重积分 Dydxdyx2其中其中 D 是由是由 x = 0 , y = 0 , 与与122 yx解解（1）画出积分区域画出积分区域 D ，并，并确定确定 D 的类型的类型xy10 x21xy 10 x210,xy Dydxdyx2 101022xydyxxd（2）根据）根据 D 的类型化二重积分为累次积分的类型化二重积分为累次积分所围成所围成的第一象限的闭区域。的第一象限的闭区域。21022xy （3）计算对）计算对 y 的积分的积分 101022xydyxdx 210 xydy)1(212x （4

15、）计算关于）计算关于 x 的积分的积分 Dydxdyx2 1022)1(21xdxx1053)53(21xx 1042)(21xdxx151 Dydxdyx2 101022xydyxxd例例3：计算二重积分计算二重积分 Dydxdyx其中其中 D 是由抛物线是由抛物线xy 22 xy解解：先：先画出积分区域画出积分区域 D ，并确定并确定 D 的类型的类型x0y1 22yx y2 yx)1,1( )2,4(方法一：将方法一：将 D 看做看做 Y 型区域型区域,21 y22 yxy Dydxdyx 2122yyxdyxyd及直线及直线所围成的闭区域。所围成的闭区域。 2122yyxdxydy 2

16、12222ydxyyy 2142)2(21ydyyy 21523)44(21ydyyyy216234)62344(21 yyyy845 Dydxdyx 2122yyxdyxyd方法二：将方法二：将 D 看做看做 X 型区域型区域xy0)2,4()1,1( xx41xy xy 1D2D2 xy21DDD xyxxD ,10:1xyxxD 2,41:2 Dydxdyx 1Dydxdyx 2Dydxdyx 10 xxydyxxd 412xxydyxxd 10 xxydyxdx 412xxydyxdx 1022xdyxxx 41222xdyxxx 10)(21xdxxx 412)2(21xdxxx D

17、ydxdyx 1Dydxdyx 2Dydxdyx 10 xxydyxxd 412xxydyxxd 4132)45(21xdxxx41243)2435(21xxx 845 10)(21xdxxx 412)2(21xdxxx Dydxdyx 1Dydxdyx 2Dydxdyxxy 222xxy 例例 4 4 改变积分改变积分 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域分为两块积分区域分为两块,:212010 xxyxD ,:xyxD 20212,:yxyyD 211102 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序的次序. 思考题：交换积分次序思考题：

18、交换积分次序 100)(yyxdxfeyd思考题：利用交换积分次序证明思考题：利用交换积分次序证明 100)(yyxdxfeyd 10)()(2xdxfeex例例 5、求、求 Dydxdyex22 解：画积分区域解：画积分区域 Dydxdyex22 12102xyydexxd若采用先若采用先 y 后后 x 的积分次序，则的积分次序，则,:10 xD, 1 yx 11022xyydexdx dyey2“积不出”，“积不出”， 所以该积分次序失败。所以该积分次序失败。其中其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(为顶点的三角形为顶点的三角形. 例例 9、求、求 Dydxdy

19、ex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(为顶点的三角形为顶点的三角形. Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 解：画积分区域解：画积分区域若采用先若采用先 x 后后 y 的积分次序，则的积分次序，则,:10 yD, yx 0 yydxxdye02102 在极坐标系下二重积分的计算在极坐标系下二重积分的计算 Ddyxf ),( Dydxdyxf),(ydxdd 在直角坐标系下有：在直角坐标系下有： baxxydyxfxd)()(21),( dcyyxdyxfyd)()(21),(

20、在极坐标系下，在极坐标系下，xy0 xy),(yxM ,cos x sin y Ddyxf ),( Dddf )sin,cos(A0)( 2 D（I）极点）极点 0 在区域在区域 D 之外之外| ),( D Dddf )sin,cos( )()()sin,cos(21dfd)( 1 , )()( 21 （II）极点）极点 0 在区域在区域 D 的边界上的边界上A0D )( ,| ),( D Dddf )sin,cos( )()sin,cos(0dfd（III）极点）极点 0 在区域在区域 D 的内部的内部A0 )(,| ),( 020D)( )( 0 Dddf )sin,cos( 200)()

21、sin,cos(dfd 积分区域是圆或圆的一部分，或者区域积分区域是圆或圆的一部分，或者区域 D 的边界方程用极坐标表示比较简单；的边界方程用极坐标表示比较简单； 被积函数具有下列形式时被积函数具有下列形式时, )(22yxf , )(yxf)(xyf因为因为22yx 2222sincosrr 2r sincosrryx ,cot cossinrrxy tan 利用极坐标系计算二重积分的一般步骤利用极坐标系计算二重积分的一般步骤（1）画出积分区域）画出积分区域 D，并将，并将 D 的边界化为极坐标的边界化为极坐标 方程形式。方程形式。（2）将区域）将区域 D 用极坐标表示。用极坐标表示。（3）

22、化二重积分为极坐标下的二重积分形式。）化二重积分为极坐标下的二重积分形式。 Ddyxf ),( Dddf )sin,cos(（4）根据）根据 D 的极坐标表示，将极坐标下的二重积分的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。化为累次积分。例例 1 1 写出积分写出积分 Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，的极坐标二次积分形式，. 1 yx122 yx解解: 画出积分区域画出积分区域 D ，在极坐标系下在极坐标系下 sincosyx圆圆的的方程为方程为 = 1, 直线方程为直线方程为 Ddxdyyxf),(.)sin,cos(cossin 2011 dfd cossin 1,| ),(20 Dcossin11 其中其中 ,11| ),(2xyxyxD 10 x. 例例2：计算二重积分计算二重积分 Ddyx 22其中其中 D 是由是由yyx222 xy0yyx222 解：极点解：极点 O 在圆的边界上在圆的边界上（1）化圆为极坐标方程）化圆为极坐标方程 2222sincos sin2 sin2 sin2 （2）在极坐标系中确定）在极坐标系中确