一个肿瘤化疗模型的几种求解方法

1、一个肿瘤化疗模型的几种求解方法         11-06-01 11:43:00     作者：张勤     编辑：studa20【摘要】  分别利用 Bernoulli 方程， Riccati 方程求解方法和 Mathematica 软件，讨论一个肿瘤化疗模型的通解。 【关键词】  肿瘤化疗模型; 分离变量法; Bernoulli 方程; Riccati 方程; Mathematica 软件在文献1第5章第6节中

2、，作者以自然生长模型为基础，建立了一个简单的肿瘤化疗模型：xx=(r-kx)-smx(1)研究药物剂量对肿瘤生长的影响，其中 x 是时间 t 的的函数，表示肿瘤的大小，m ,r,k,s 均为正常数， m 是药物剂量， r 是肿瘤细胞的活力常数， k 与肿瘤细胞的生长环境即患者的免疫力有关， s 则与药物的功效有关。文献1用分离变量法求解方程 (1), 得到方程( 1 )的通解 : 当药物剂量mr24ks时，x(t)=l+tan(c-kt)。其中1=r-r2-4ksm2k,2=r+r2-4ksm2k,=r2k,l=r2k,=smk-(r2k)2如无特殊声明，本研究1、2、3、l、 都特指上面的数

3、值。 c、C1、C2 表示积分常数。由方程的通解，文献1 推断出：若用小剂量mr24ks化疗中消除病灶。因此这个模型在药理学、病理学的研究及模拟治疗实验中都是极其有价值的。本研究分别利用 Bernoulli 方程， Riccati 方程求解方法和 Mathematica 软件，讨论这个肿瘤化疗模型的通解，给出方程( 1 )除了分离变量法以外的的几种新的求解方法，供教师在教学过程中参考，让同学们拓展思维，综合应用已经学过的知识，并学习求解微分方程的新知识。2 方程( 1 )的几种新的求解方法文献2 中介绍了 Bernoulli 方程求解方法。 Riccati 方程求解方法可参考文献3，4 。利用

4、Mathematica软件，可以在计算机上求解微分方程5。下面利用这三种方法计论主程(1)的通解。2.1 化为Bernoulli方程求解把方程(1)变形为x=-kx2+rx-sm，作变换y=x-a，代入方程得到y=-ky2-(2ka-r)y-ka2+ra-sm令二述方程的常数项为零，有-ka2+ra-sm=0若my=-ky2+r2-4ksm解得1y=cke-r2-4ksmt+kr2-4ksm从而方程(1)的通解x=1+r2-4ksmk+cke-r2-4ksmt=1+r2-4ksmk 11+cer2-4ksmt因为2=r+r2-4ksm2k,所以r2-4ksmk=2-1，故上式就是文献1中解x=

5、1+2-11-ce-k(2-1)t类似地，若m=r24ks，由变换y=x-可以把方程(1)化为y=-ky2,解得1y=kt+c，从而得到方程(1)的通解x=+1c+kt,与文献1结论一致。2.2 利用Riccati方程求解法求解形如dxdt=a(t)x2+b(t)x+c(t)的方程，其中a(t)0,c(t)0,称为黎卡提(Riccati)方程。它的解法是通过变化x(t)=(t)a(t)(t)，化为二阶线性方程(t)-a(x)a(x)+b(x)(t)+a(t)c(t)(t)=0把方程(1)变形为x=-kx2+rx-sm，具有Riccati方程的形式，再作变换x(t)=(t)k(t)(2)把它化为二阶常系数线性齐次方程(t)-r(t)+ksm(t)=0(3)若m1=r-r2-4ksm2=1k, 2=r+r2-4ksm2k=2k(3)的通解为(t)=C1e1kt+C2e2kt代入变换(2)作