2019届江苏扬州中学高三下学期4月质检数学试题文(含解析)

1、12019 届江苏扬州中学下学期 4 月质检数学试题文（含解析）一、填空题1. 已知集合Q=x|2x2 5xw0,xh，且P Q,则满足条件的集合P的个数是 _.2. （2019 海安期中）已知复数z满足z（1 + i） = 4 3i（i 为虚数单位），则复数z的模为2 2x y7.已知点A 1,1）和椭圆 C: - + 3 = 1,M是椭圆C上的动点，F是椭圆C上的右焦点，则MAF2MF勺最小值为 _ .8. （2019 海安期中）如图，在棱长为 2 的正方体ABCA1B1CD中，O为底面ABCD勺中心,3.在厶ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b,c,若3cosBasinA则 co

2、sB=24._ 函数f（x） = excosx在点（0 ,f（0）处的切线方程是 _5._ 已知函数f（x） =x cosx，则f（x）在0,2n上的零点个数为 _6.如图所示给出的是计算1 + 3+*+ 2019 的值的一个流程图，则判断框内可以填入的条352019件是_3则三棱锥O- ABG的体积为_若关于x的方程|f(x) nm = 1( R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是49.若正数x,y满足&+厂 1，则口 +尸的最小值为 -4x7110.已知函数f(x) =x+一，g(x) = 2 +a,右?xi 2,?X2 2,3，使得f(xi) g(x2),则实数a的取

3、值范围是_2 211.已知双曲线X2-y2= 1(a0,b0)的一条渐近线被圆(xc)2+y2= 4a2截得弦长为 2b(其中ca b为双曲线的半焦距)，则该双曲线的离心率为 _.12.若不等式x+yW2所表示的区域为xy 0,M不等式组ix+y0,y2x6表示的平面区域为 N,现随机向区域13.已知向量a,b,其中 |a| = 2, |b| = 1,且(a+b)丄a,则 |a- 2b| =_14.对于实数a2ab, awb,a*b=2bab, ab,D_Ci4二、解答题15.在厶ABC中，内角A B, C的对边分别是a,b, c,已知A为锐角，且bsinAcosC+csinAcosB(1)求

4、角A的大小；1设函数f(x) = ta nAsinwxcoswx 2cos2wx(w0)，其图象上相邻两条对称轴间的距离nn为万，将函数y=f(x)的图象向左平移 了个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x) 在区间n4,T上的值域16.如图，圆O的半径为 2，点A B,C, D, E是圆O的六等分点中的五个点.(1) 从A,B, C, D, E中随机取三点构成三角形，求这三点构成的三角形是直角三角形的概率;(2) 在圆O上随机取一点戸，求厶PAC的面积大于 2 3 的概率.517.(2019 海安期中)如图，在四棱锥PABCDK底面ABCD是菱形，/ABC=60,PA= AC,P

5、B=PD=2AC E是PD的中点，求证：(1)PB/平面ACE平面PACL平面ABCD18.已知数列an是等差数列，其前n项和为数列5是公比大于 2a1= 2,a3+b2= 1, S?+ 2b3= 7.(1)求数列an和bn的通项公式；2 n 为奇数，设 6= 2an求数列cn的前n项和Tn.,n为偶数，1)0 的等比数列，且 b =62 2XV孑+詁=1(ab0)经过点P(2,- 2)，离心率(1)求椭圆C的方程;(2)经过椭圆右焦点F的任一直线(不经过点P)与椭圆交于两点A, B,设与直线I相交于点M记PA PB PM的斜率分别为ki,k2，k3，问是否存在常数 入，使得ki+k2=入k3

6、?若存在,求出入的值；若不存在，请说明理由20.已知函数f(x) =xeX-aqx2+x(a R).(1)若a= 0,求曲线y=f(x)在点(1 ,f(1)处的切线方程；若？x ( - 2,0) ,f(x)0 时，讨论函数f(x)的单调性.19.已知椭圆 C:e=，直线I的方程为x= 4.71.7解析 集合Q=x|2x2 5xw0,x N ,Q=0,1,2，共有 3 个元素, P Q又集合Q的真子集的个数为23- 1 =乙.集合P的个数为 7.i3.2=.A,又由正弦定理可得3cosBsinAb _= _-，解得3cosB= sin B,. tanB=3,3cosBsinB/ 0Bn ,n1B

7、=3,cosB=2.4.xy+ 1 = 0解析 函数f(x) = excosx的导数为f(x) = ex(cosxsinx),即在点(0 ,f(0)处的切线斜率为k= e0(cos0 sin0) = 1,切点坐标为(0,1),则在点(0 ,f(0)处的切线方程为y 1 =x 0，即为xy+ 1= 0.5.3解析令f(x) = 0，得)=cosx,合案精析解析所以,4 3i4打Z= 1 + i =2复数z的模为、+44=警72i，解析sinAsin B8 f（X）在0,2n上有 3 个零点.6.i 1010解析第 1 次循环，S= 0+ 1,i= 2;1第 2 次循环，S= 1 + 3,i= 3

8、;1 1第 3 次循环，S= 1 + 3 + 5，i=4.1 1 1 1依此类推，第 1010 次循环，S= 1 + ；+：+,i= 1011,3 52017 2019满足题意，退出循环故判断框内可以填入的条件是“iANh4+ 1 = 5,MAF2MF的最小值为 5.484解析连结AC10因为几何体是正方体，所以B(XAC B(XCG,又因为AS CC=C, AC CC?平面AOC,故BOL平面AiOC,OB是棱锥的高，则三棱锥O- ABC的体积为 苏苏2. 2X2X2 =4.9.41 1解析 因为x,y为正数，且-+-= 1,所以x 1,y 1，令x ya0,1 1则由 -+ -= 1，得x

9、+y=xy,即a+b+ 2 =ab+a+b+ 1,b0,x y整理得ab= 1,x=3,14即2时取等号，所以 +的最小值为 4.x- 1y- 1y= 310.awl4解析由f(x) =x+x得, z.,x2- 4f (x)=f(X)在 2， i 上单调递减，f=5 是函数f(x)在|2, 1 上的最小值，当X2 2,3时，g(x) = 2X+a为增函数，g(2) =a+ 4 是函数g(x)在2,3上的最小值,cx-1=a,y-1=b,所以x- 11a=2 ,4u= 4,当且仅当blb= 2 ,4144尸=a+b=b+b当x1LJ11又 ?xi ,1, ?X2 2,3，使得f(xi) g(X2

10、),可得f(x)在xg, 1 上的最小值不小于g(x)在x 2,3上的最小值,即 5a+ 4,解得aw1.11. 32 2解析 双曲线?蒼=1(a0,b0)的一条渐近线方程为bx+ay= 0,圆(xc)2+y2= 4a2的圆心到双曲线的渐近线的距离为渐近线被圆(xc)2+y2= 4a2截得的弦长为 2b,.2. 2,2. 2小2b+b= 4a,b= 2a, e = J 3.12.24n所以豆子落在区域M内的概率为 24.13.26解析向量a,b中，|a| = 2, |b| = 1,且(a+b)丄a, (a+b)a=a2+ab=0,ab=a2=4,222(a2b)=a4ab+4b=44x(4)+

11、4x1=24,Ia2b|=2 6.14.(1,1)U(2,4)解析 根据题意得，图中Q6,6),1D(2 , 2)，所以SN= X6bc_a2+b2=b，即c2=3a12解析解不等式X-40,3x2+ 3x,x0,所以f(x)=画出函数f(x)的大致图象如图所示因为关于x的方程 If(x) m) = 1(m R),即f(x) =n 1( mfER恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y=n 1(n R)与曲线y=f(x)共有四个不同的交点,?n 13,0m 13,十或*0n 13n 107n1= 3或=n 1= 0解得 2n4 或1nT1.15.解(1)TbsinAcosC+csinAcos B

12、=-a,由正弦定理可得 sinBSinAcosC+ sinCSinAcosB=23sinA,/ A为锐角，sinAM0, sinBcosC+ sinCcosB=TA=3，-tanA=羽,f(x) =3sin13xcos3xqcos 23x16X一3x,x 90 ,由题意知CD是 60弧，其所对的圆周角/所以 CO 2 , AO ,42-22= 2 ,3 ,当APAC的面积大于 2 3 时，设点P到AC的距离为d,1则有SPA=qACd= 3d2 3,即d2,由题意知四边形ACDF是矩形，ty=g(x) n x |- 24，n4,n5n_4，6，r n、71g(x)=sin严+y| gn厂2x+

13、 2CAD-30 ,14所以AC/ DF,且AC与DF之间的距离为 2,所以点P在DEF上(不包括点D,F).故所求的概率为p(N)=DIO周长长=117. 证明 连结BD交AC于点0,连结0E因为底面ABCDI菱形，所以点0为BD的中点.又E是PD的中点，故01/ PB又因为0E?平面ACE PB?平面ACE所以PB/平面ACE因为底面ABCDi菱形，/ABC=60 ,所以ABC为正三角形，从而AB= AC又PB=2AC PA= AC所以PB=2AB=2PA从而，PAIAB同理可证PAIAD又因为ABA AD= A,且ABAD?平面ABCD所以PAL平面ABCD因为PA?平面PAC所以平面P

14、ACL平面ABCD18. 解 设等差数列刘的公差为d,等比数列bn的公比为q,又 b = - 2ai= 2 ,a3+b2=1 ,S3+2b3= 7 , a1=1, 1+2d+2q= 1,3x(1)+3d+2X2q2=7,解得d= 2 ,q= 2.an= 1 2(n 1) = 1 2n,bn= 2n.15当n= 2k(k N)时，Tn=T2k= (Cl+C3+ +C2k 1) + (C2+C4+ +C2k)3 74k 1 =2k+ 2 + 23+入 37令八=2+尹+两式相减得 4 人=2+414k 11 22k+1,1-42612k+13可得A= 9X2，26 12k+13Tn=T2k=2k+

15、99x2门二 2k 1(kN*)时,26Tn=T2k 2+C2k 1=2(k1)+ 912k+13c9X2k 1+22612k+1=2k+792，f2612k+13丨1k+9X22k1，n=2k，Tn= *2612k+12k+99X22k3，n=2k1,k N.4219.解(1)由点P(2 ,2)在椭圆上，得-+2= 1，a b又e=，所以C=芈.2a2由结合a2=b2+c2得c2= 4,a2= 8,b2= 4,2,n为奇数,6= $2n 1,n为偶数.4k 122k-1,4k 5 4k 1+22k十1,2k 122k 1.=I+4X丄1 、4k1 +22- 22k+1162 2故椭圆C的方程

16、为x+y=1.84假设存在常数 入，使得ki+k2=入k3.由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y=k(x 2).2 2x y代入椭圆方程云+= 1,842 2 2 2并整理得(1 + 2k)x 8kx+ 8k 8= 0.设A(xi,yi) ,B(X2,y2),所以X1,2=21 + 2k2”8k28k2 8 -则有X1+X2=2,X1X2=2.1 + 2k1 + 2k在方程中，令x= 4 得，M4,2k),从而k= ，k2=宁捋,k3=2k-V2=k史=4 2 =2 .又因为A F,B共线，则有k=kAF=kBF,8k2帀48k=2k边，1 + 2k221 + 2k2+4又k3=k

17、子,所以ki+k2= 2k3.故存在常数 入=2 符合题意.x20.解(1)当a= 0 时，f(x) = (x+ 1)e , 切线的斜率k=f (1) = 2e,又f(1) = e,.y=f(x)在点(1 , e)处的切线方程为y e= 2e(x 1),y1y2即有XiF=k，所以k1+k2=里2+yX2X1 2X2 2+丄+X2 2_X1+X24_X1X2X1+X2+ 4.y1X1 2+匕=2k 2 8k2土，;64k4+ 2k28k2将代入得k2= 2k 2 88即 2exy e = 0.17/对？x( 2,0) ,f(x)W0恒成立,2ex二aw予在(一 2,0)上恒成立，人2ex令g(x)=XT2(2x0)，,2exx+2 2ex2exx +g(X)=x+2=尸，当一 2x 1 时，g(x)0，当一 1x0. g(x)在(2, 1)上单调递减，在(1,0)上单调递增,2e12g(x)min=g( 1) =_i+2 = e，故实数a的取值范围为f (x) =