MATLAB可视化方法和技巧13复数的计算和图示

1、复数的计算和图示表3 MATLAB关于复数运算的函数函数功能函数功能函数功能abs模和绝对值angle相角弧度conj复数共轭real复数实部imag复数虚部范例3_1复数的加减法设有两个复数z1 = 1 + 2i和z2 = 4 + 3i，其中i是虚数单位。求两个复数的和z1 + z2和差z2 z1。解析复数有三种表示形式(1)代数式z = x + iy (3_1_1)(2)三角式z = r(cos + isin) (3_1_2)其中r是复数的模，是复角。代数式与三角式的换算关系是， (3_1_3)x = rcos，y = rsin (3_1_4)(3)指数式z = rei (3_1_5)其中

2、利用了欧拉公式ei = cos + isin (3_1_6)设有两个复数z1 = x1 + iy1，z2 = x2 + iy2 (3_1_7)复数加法是z= z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) (3_1_8)复数减法是z= z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2) (3_1_9)程序P3_1plus.m如下。%复数的加减法clear %清除变量z1=1+2i; %第1个复数(1)x1=real(z1); %取第1个复数的实部(2)y1=imag(z1); %取第1个复数的虚部(2)x2=4; %第2个复数的实部y2=3; %第2个复数的虚部

3、z2=x2+i*y2; %形成第2个复数(3)z=z1+z2; %两复数之和(4)x=real(z); %取复数的实部y=imag(z); %取复数的虚部figure %创建图形窗口quiver(0,0,x1,y1,0) %在复平面画第1个复数(5)hold on %保持图像quiver(0,0,x2,y2,0) %画第2个复数(5)quiver(0,0,x,y,0) %画复数之和(5)plot(x1,x,y1,y,'-') %画虚线(6)plot(x2,x,y2,y,'g-') %画虚线(6)axis equal %使坐标刻度相等(7)grid on %加网格

4、r=abs(z); %求模(8)theta=angle(z)*180/pi; %求复角(9)text(0,0,num2str(theta),'FontSize',16) %显示复角(10)text(x,y,num2str(r),'FontSize',16) %显示模(10)title('两复数之和','FontSize',16) %显示标题z=z2-z1; %两复数之差x=real(z); %取复数的实部y=imag(z); %取复数的虚部figure %创建图形窗口quiver(0,0,x1,y1,0) %在复平面画第1个复数(

5、11)hold on %保持图像quiver(0,0,x2,y2,0) %画第2个复数quiver(x1,y1,x,y,0) %画复数之差axis equal %使坐标刻度相等grid on %加网格title('两复数之差','FontSize',16) %标题说明(1)变量i表示虚数单位，可用于形成复数。(2)函数real和imag取复数的实部和虚部。(3)如果已知数据的实部和虚部，也可形成复数。(4)求复数之和时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，形成新的复数。(5)quiver指令画箭杆，前两个参数表示箭杆的起点坐标，后两个参数表示箭杆两个分量的长度，第5

6、个参数表示按所给数据画箭杆。(6)画虚线形成平行四边形，如P3_1a图所示。(7)坐标间隔应该相等。(8)对于复数(包括实数)，abs函数求模。(9)angle函数求复角。(10)text指令显示文本。(11)求复数之差时，三个复数形成三角形。P3_1a图 P3_1b图范例3_2复数的乘除法设有两个复数z1 = 1 + 2i和z2 = 4 + 3i，求两个复数的积z1z2和商z2/z1。解析复数乘法为z = z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 - y1y2 + i(x1y2 + x2y1) (3_1_10)用指数表式为z = r1exp(1)r2exp(2)

7、= r1r2exp(1 + 2) (3_1_11)可见：两复数相乘时，其模等于两个复数的模的乘积，其复角等于两个复数的复角之和。复数除法为 (3_1_12)用指数表式为z = r2exp(2)/r1exp(1) = (r2/r1)exp(2 1) (3_1_13)可见：两复数相除时，其模等于两个复数模的商，其复角等于两个复数的复角之差。复数的乘方用指数表示为zn = |z|nexp(in) = |z|ncos(n) + isin(n) (3_1_14)程序P3_2times.m如下。%复数的乘除法clear %清除变量z1=input('请输入第1个复数(包括实数和虚数)z1:'

8、;);%键盘输入第1个复数(1)z2=input('请输入第1个复数(包括实数和虚数)z2:');%键盘输入第2个复数(1)x1=real(z1); %取第1个复数的实部y1=imag(z1); %取第1个复数的虚部x2=real(z2); %取第2个复数的实部y2=imag(z2); %取第2个复数的虚部z=z1*z2; %两复数之积x=real(z); %取复数的实部y=imag(z); %取复数的虚部figure %创建图形窗口quiver(0,0,x1,y1,0) %在复平面画第1个复数hold on %保持图像quiver(0,0,x2,y2,0) %画第2个复数qu

9、iver(0,0,x,y,0) %画复数之和(2)axis equal %使坐标刻度相等grid on %加网格r1=abs(z1); %求第1个复数的模theta1=angle(z1)*180/pi; %求第1个复数的复角txt=num2str(r1),',',num2str(theta1); %横和复角字符串text(x1,y1,txt,'FontSize',16) %显示模和复角r2=abs(z2); %求第2个复数的模theta2=angle(z2)*180/pi; %求第2个复数的复角txt=num2str(r2),',',num2st

10、r(theta2); %模和复角字符串text(x2,y2,txt,'FontSize',16) %显示模和复角r=abs(z); %求模theta=angle(z)*180/pi; %求复角txt=num2str(r),',',num2str(theta); %模和复角字符串text(x,y,txt,'FontSize',16) %显示模和复角 z=z2/z1; %两复数之商x=real(z); %取复数的实部y=imag(z); %取复数的虚部r=abs(z); %求模quiver(0,0,x,y,0) %画复数之和theta=angle(z

11、)*180/pi; %求复角txt=num2str(r),',',num2str(theta); %模和复角字符串text(x,y,txt,'FontSize',16) %显示模和复角title('两复数之积和商','FontSize',16) %显示标题说明(1)两个复数都从键盘输入。(2)当两个复数分别为1 + 2i和4 + 3i时，结果如P3_2图所示。P3_2图范例3_3复数的开方求复数z的开整数次方。解析复数开方的公式(棣莫佛公式)为，k = 0，n - 1 (3_1_15)例如，对-8开三次方，由于-8 = 8exp(

12、i) = 8(cos + isin) = 8exp(i)所以，k = 0，1，2当k = 0时，可得第1个根当k = 1时，可得第2个根当k = 2时，可得第3个根第1个根与第第3个根互相共轭。程序P3_3complex.m如下。%复数的开方clear %清除变量z=input('请输入复数(包括实数和虚数)z:');%键盘输入被开方数n=input('请输入被开方的整数n:'); %键盘输入开方次数r0=abs(z)(1/n); %开方后的模th0=angle(z)/n; %开方后的主复角k=0:n-1; %整数向量th=th0+2*pi*k/n; %开方后的

13、复角向量r=r0*exp(i*th); %开方后的向量figure %创建图形窗口plot(r0*exp(i*linspace(0,2*pi),'-'); %画圆(1)axis equal %使坐标间隔相等grid on %加网格hold on %保持图像plot(r,'r*') %画点(2)plot(z(1/n),'o') %画直接开方的点(3)o=zeros(1,n); %全零向量x=real(r); %各点横坐标y=imag(r); %各点纵坐标plot(o;x,o;y) %画线(4)fs=16; %字体大小text(x,y,num2str

14、(r.',4),'FontSize',fs) %显示各点之值(5)xlabel('itx','FontSize',fs) %横坐标ylabel('ity','FontSize',fs) %纵坐标title('复数的开方','FontSize',fs) %标题txt='itzrm=',num2str(z); %被开方数文本txt=txt,',itnrm=',num2str(n); %连接指数文本txt=txt,',itthetarm_0=',num2str(th0*180/pi),'circ'%连接角度文本txt=txt,',itrrm_0=',num2str(r0); %连接模文本text(0,0,txt,'FontSize',fs) %显示角度等文本说明(1)利用复数画圆。(2)根据复数可直接画出所有根。当z = -8，n = 3时，结果如P3_3a图所示。当z = i，n = 2时，结果如P3_3b图所示。(3)直接对一个复数开方，将得出第一个根。(4)利用矩阵画每个根到圆心的