2020届甘肃省白银市靖远县高三第一次联考数学(理)试题(解析版)

1、【详解】第 1 页共 18 页2020届甘肃省白银市靖远县高三第一次联考数学（理）试题【详解】故选:B.【点睛】1.已知集合A x|x22x 15 0 ,B x|2 x4，则AI B(A .x|2x 3B.x| 5x4C.x|5x 2D.x|3x4【答案】A【解析】 先求出集合A,再与集合B取交集即可.【详解】因为Ax|x22x15 0 x| 5 x 3, B x| 2x4，所以AI BX| 2 x3.故选 A【点睛】本题考查集合的交集，考查不等式的解法，考查了学生的运算求解能力，属基础题2 .若复数z满足（2 3i)z 13i，则z()A.3 2iB.3 2iC3 2iD .3 2i、单选题

2、）【答案】B【解由题意得,z卫,求解即可.2 3i因为（23i)z 13i,所以z2 3i13i(2 3i)(2 3i)(2 3i)26i393 2i.第2页共 18 页【答案】C【解析】先求出a 2b，再与a相乘即可求出答案本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题.3 若向量a (1,5)，V(2,1)，则a (a 2,)()A . 30B. 31D . 33第3页共 18 页因为a 2b(1,5) ( 4,2)(3,7)，所以a (a 2b)3 5 7 32.故选:c.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，考查了学生的计算能力，属基础题.log2(x 1)，x14.已知函数f

3、(x)，则f f( 2)( )3x，x 1A . 1B. 2C. 3D . 4【答案】C【解析】结合分段函数的解析式，先求出f( 2),进而可求出f f( 2)【详解】由题意可得f(2) 329，则f f( 2) f (9) log2(9 1) 3.故选:c.【点睛】本题考查了求函数的值，考查了分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题5 在明代程大位所著的算法统宗中有这样一首歌谣，放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样马吃 了牛的一半，羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意， 牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住

4、牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1 斗=10升),三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?设羊户赔粮 印升，马户赔粮a2升，牛户赔粮a3升易知印2, a3成等比数列,q 2,a1a2a?50,结合等比数列的性质可求出答案 .【详解】设羊户赔粮a1升，马户赔粮a2升，牛户赔粮a3升，则a1.a2.a3成等比数列，且公比q2，a1a2a350,则6(1q厶q50,故半，羊吃的青苗是马的一半.( )25 50 100A ,777【答案】D25 25 5010020050 100 200D ,-777【解第4页共 1

5、8 页5050c1002200a12,a22a1,a32 a1 2 277/第5页共 18 页故选:D.【点睛】本题考查数列与数学文化，考查了等比数列的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.6 已知函数f(x) Asin( x)的部分图象如图所示，贝Uf (n()【详解】故选:B.【点睛】，考查三角函数的图象性质的应用，考查学生的推理能力与运算求【答B.C迈3【解结合图象，可求出T,的值，由fi1，可求得Asin的值再由Asin可求出答案由图象知，T43n82，从而f (x) Asin( 2x ).因为fAsin(3，所以Asin1，则Asin( 2nAsin本题考查三角函数求值第6页共

6、 18 页解能力，属于中档题327 .若函数f(x) ax 3x b在x 1处取得极值 2，则a b()2第7页共 18 页【答案】A【详解】【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4,高为 4 的正三棱柱，分别求出体积即可【详解】B. 3C. -2【解析】 对函数 f(x)求导，可得f (1)f(1)02，即可求出我进而可求出答案.因为f(x)ax33x2b,所以f(x)3ax26x,则f3a 6f(1) a 3 b02,解得a 2,b1,则a b 3.故选 A【点本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.8 某几何体的

7、三视图如图所示，则该几何体的体积为(B-163手4.3n316.3 S3由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为 4,高为 4 的3第8页共 18 页三棱柱的体积4 2-3 416、3,故该几何体的体积16 3.故选：D.正三棱柱，则2 34n243警，下半部分的正第9页共 18 页【点睛】本题考查三视图，考查空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题0 39 .设a log80.2, b log0.34, c 4，则（）A.c b aB.a b cC. acbD.b a c【答案】D【解析】 结合指数函数及对数函数的单调性，可判断出1 a 0,b1

8、,c 1,即可选出答案【详解】, 10由log0.34 log0.331，即b 1,又1 log80.125 log80.2 log810,即1a0,40.31,即C 1,所以b a c.故选:D.【点睛】本题考查了几个数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性的应用，属于基础题.10 .给出下列三个命题：1x0R ,x02x01 0的否定；2在VABC中，“B 30”是cosB兀”的充要条件；2象.其中假命题的个数是（）A . 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】结合不等式、三角函数的性质，对三个命题逐个分析并判断其真假，即可选出答案.【详解】将函数y 2cos2x的图象向左平移

9、个单位长度，得到函数y6n2cos 2x的图63第10页共 18 页, 2 2 2对于命题，因为x02x01x010,所以“X。R,x02x010”是真命题,第11页共 18 页故其否定是假命题，即是假命题;对于命题,充分性：VABC中,若B 30，则30知,cos180 cosB cos30,即30 B 180，可得到B 30,即必要性成立故命题正确；对于命题,将函数y 2cos2x的图象向左平移 个单位长度，可得到6ny 2cos 2 x 6n2cos 2x -的图象，即命题 是假命题.3故假命题有.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断，考查了余弦函数单调性的应用【详解】, nn由3

10、x 2,可得B 180,由余弦函数的单调性可知， cos180cosBcos30,即13cosB,即可得到cosB2二 3,即充分性成2立泌要性：VABC中,0B 180,若cos B11.已知函数f（x）2cos x 3(围（）2c 2A ., 2B.0,-33【答案】Bn【解析】由xnln，可得n32330）在3,2上单调递增，则的取值范C- i1D-(0,2n n nx,结合ycosx在兀 0】上323n n n,71,0,即可求出的范围3 23,考查了三角函数图象的平移nx 0时,f(0) 2cos -，而0n n3,2变换,考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题n单调递增，易得一33第

11、12页共 18 页故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题12 .已知函数f(x)mx i、当x0时，f (x)0恒成立，则m的取值范围为( )1A .,1B.-,eeC.1,)D.(,e)【答案】A【解析】分析可得m0，显然memxln x0在0,1上恒成立，只需讨论x1时的情况即可，f(x)0mximeln xmxInmxeexln x,然后构造函数g(x) xeX(x 0),结合g(x)的单调性，不等式等价于mx In x,进而求得m的取值范 围即可.【详解】由题意 若m 0，显然 f (x)不是恒大于零，故m 0.m 0,则memxIn

12、x 0在0,1上恒成立；当x 1时,f (x)0等价于memxInx,因为x 1，所以mxemxelnxIn x.设g(x) xex(x 0),由g (x) ex(1 x),显然g(x)在(0,)上单调递增，因为mx0,lnx 0,所以mxemxelnxlnx等价于g(mx) g(ln x),即mx ln x,则ln xm -.xln x /c、1 ln x ,c、设h(x)(x0),则h (x)2(x0).xx又y COSX在n,0上单调递增，且n3n0,n n3,2nn nn0则03230，22,故030第13页共 18 页令h (x) 0,解得X e易得h(x)在(0,e)上单调递增,在

13、(e,)上单调递减,11从而h(x)maxh(e)，故mee故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，利用函数单调性是解决本题的关键，考查了学生的推理能力，属于基础题二、填空题3x y 2 013 .若实数 x, y 满足约束条件x y 2 0，则 z x 2y 的最大值为 _ x 4y 4 0【答案】3【解析】 作出可行域，可得当直线 z x 2y 经过点A(1,1)时,z 取得最大值，求解即可.【详解】3x y 2 0作出可行域(如下图阴影部分)，联立 ，可求得点A1,1,x y 2 0当直线 z x 2y 经过点A(1,1)时，Zmax12 13.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结

14、合的数学思想，属于基础题故答案为：3.第14页共 18 页214 .若函数f (x) x2为奇函数，则ax21第15页共 18 页【答案】-2 【解析】由 f(x)是定义在R上的奇函数，可知对任意的x,f ( x) f (x)都成立，代入函数式可求得a的值.【详解】2由题意，f(x)的定义域为R,f(x) X2二;X21 J,2x1 2x1f(x)是奇函数，则f ( x)f(x),即对任意的x,x21a2ax21x都成立2x12x1aa故1尹1，整理得a 2 0，解得a 2.故答案为：2.【点睛】本题考查奇函数性质的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题【详解】11故答案为：5【点睛】15

15、.记等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，a?bz【答案】11【解结合等差数列的前n项和公式，可得壬13a713b713 q213 bl耳32ai3,求解即可由题意，S1313a7工31也,?7b713azS33 13 513 711本题考查了等差数列的前n项和公式及等差中项的应用，考查了学生的计算求解能力，属第17页共 18 页于基础题.16在平面五边形ABCDE中，A 60,AB AE 6,3,BC CD，且BC DE 6将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120，则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积是 _ .【答案】252【解析】

16、设ABE的中心为，矩形BCDE的中心为。2，过作垂直于平面ABE的 直线li，过。2作垂直于平面BCDE的直线12，得到直线li与12的交点O为几何体ABCDE外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解【详解】设ABE的中心为Oi，矩形BCDE的中心为02，过Oi作垂直于平面ABE的直线li，过O2作垂直于平面BCDE的直线 J，则由球的性质可知，直线li与12的交点O为几何体ABCDE外接球的球心，取BE的中点F，连接OiF,O2F，由条件得OiF O2F 3，OiFO2i20，连接 OF ,因为OFOiOFO2，从而OO 3 3，连接OA，则OA为所得几何体外接

17、球的半径，在直角AOOi中，由OiA 6?OO-i3 3，可得OA2OO；QA227 36 63，即外接球的半径为R OA , 63，故所得几何体外接球的表面积为S 4 R2252.故答案为：252./ / * rB,E r/y/、m第 i0 页共 i8 页第19页共 18 页【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键， 着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题.三、解答题17.在VABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c.已知 a= 3b，且(a b c)(si nA sin

18、 B si nC) csi nC 2a si nB.(1) 求cosC的值；(2) 若VABC的面积是22，求VABC的周长.【答案】(1)cosC3; (2)2 2、3 2& 3【解析】(。由正弦定理可得，(a b c)(a b c) c22ab,化简并结合 a = 3b，可求得a,b,c三者间的关系，代入余弦定理可求得cosC;(2)由(1)可求得sinC,再结合三角形的面积公式，可求出a,b,c,从而可求出答案.【详解】(1)因为(a b c)(sinA sinB sinC) csinC 2asinB,所以(a b c)(a b c) c22ab,整理得:a2b22c2.因为 a

19、= 3b,所以4b22c2,所以c -2b.a2b2c23b2b22b2、3由余弦定理可得cosC.2ab2 3b23(2)由(知cosC-，则sinC -1coEC6,33A一因为VABC的面积是22,所以一absi nC 2、2,2即-.3b2 2、2,解得b 2,则a 23, c 2、2.23故VABC的周长为：2 2,32三.【点睛】，考查了三角形面积公式的应用，属本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用3第21页共 18 页于基础题.18 .已知首项为2 的数列an满足an 1n 12nan2n 1(1)证明：数列nan2n是等差数列.(2)令 bnann，求数列bn的前n项和

20、Sn.【答案】(1)见解析；(2)Sn2n 1【解析】(1) 由原式可得(n 1)an 12nann 12,等式两端同时除以2n 1，可得到(n 1)an 12* 1nan“无1，即可证明结论;(2)由(1)可求得啤的表达式，进而可求得an，bn的表达式，然后求出bn的前n项2和Sn即可.【详解】(1)证明：因为 a叮，所以(n1)an12nan2n 1所以(n 1)an1nann 1n2 21,从而冲口2n 12,所以号1,故数列罗是首项为1,公差为 1 的等差数列.(2)(1)可知nan2nn，则an2，因为bnann所以bn2nn,则Snb2b3bn(2 1)22223322232n(1

21、L n)2 1 2nn(n 1)21n2【点睛】2* 12.本题考查了等差数列的证明考查了等差数列及等比数列的前n项和公式的应用，考查了学生的计算求解能力，属于中档题19.已知函数f(x)Ta b sinxCOSX，且f (0)1, fn1.(1)求 f(x)的解析式;3第22页共 18 页第23页共 18 页2(2)已知g(x) x 2x m 3(1 m 4)，若对任意的xi0,n，总存在(2)分别求得 f (x)和g(x)的值域，再结合两个函数的值域间的关系可求出【详解】解得a 1,b3,21，解得1 m 3,故m的取值范围是1,3.2【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了二次函数及

22、三角函数值域的求法计算求解能力，属于中档题.X2 2,m，使得f xiX2成立,求m的取值范围.【答案】(1)f(x) 2sin；(2)1,3【解析】(1)由f (0)7t1,f31，可求出a,b的值，进而可求得 f (X)的解析式;m的取值范7C(1)因为f (0)1, f31,所以f(0)1一a 3 b23 3a2 2故f(x)乜2运iinxcosx、3 sinxcosx2sin x(2)因为x 0,n,所以x5n石，所以sin xf(x)1,2,g(x)x22xm 3图象的对称轴是x 1.因为14, 2 x m,所以g(x)ming(1) m 4,g(x)maxg(2) m 5,考查了学

23、生的4，点E为AD第24页共 18 页20如图，底面ABCD是等腰梯形，AD/BC,AD 2AB 2BC的中点，以BE为边作正方形 BEFG，且平面BEFG平面ABCD.(1)证明：平面 ACF 平面 BEFG .(2)求二面角A BF D的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)sin35【解析】(1)先证明四边形ABCE是菱形,进而可知AC BE,然后可得到AC平面BEFG ,即可证明平面 ACF 平面 BEFG ;(2)记 AC,BE 的交点为 0,再取 FG 的中点 P以 0 为坐标原点，以射线 0B,0C,0P 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系0 xyz

24、,分别求出平面 ABFuru ru r m n和 DBF 的法向量m, n,然后由cos m, n -u_i，可求出二面角A BF D的余弦值， |m| n|进而可求出二面角的正弦值 【详解】(1) 证明：因为点E为AD的中点，AD 2BC,所以AE BC,因为AD/BC,所以AE/BC,所以四边形ABCD是平行四边形，因为AB BC,所以平行四边形ABCE是菱形，所以AC BE,因为平面BEFG平面ABCD,且平面BEFG平面ABCD BE,所以AC平面BEFG .因为AC平面ACF，所以平面 ACF 平面 BEFG .(2) 记 AC,BE 的交点为 0,再取 FG 的中点 P由题意可知

25、AC,BE,OP 两两垂直，故以 0为坐标原点，以射线 OB,OC,OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.因为底面 ABCD 是等腰梯形,AD /BC,AD 2AB 2BC 4,所以四边形 ABCE 是菱第25页共 18 页形，且BAD 60,所以A(0, ,3,0), B(1,0,0), E( 1,0,0), D( 2.3,0), F( 1,0,2),uuuuuuuuu则AB (13,0), BF ( 2,0, 2), BD ( 3,3,0),设平面 ABF 的法向量为第26页共 18 页设平面 DBF 的法向量为nx2, y2,z2,v uuv

26、n BD3x2、3y20“r则vuuv，不妨取X21,则n （1,3,1）n BF2x22z20ir r._册Lr rm nV3J105故cos m, n -tr_r|m | n| 77 7535本题考查了面面垂直的证明，考查了二面角的求法，利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法，属于中档题21 .已知函数f（x） mex2x m.(1)当m 1时，求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(2)若f (x) 0在(0,)上恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)y x；( 2)2,)【解析】(1)m 1,对函数y f (x)求导，分别求出f(0)和 f(0),即可求

27、出 f(x)在点(0, f (0)处的切线方程；(2)对 f(x)求导,分m 2、0 m 2和m 0三种情况讨论 f (x)的单调性，再结合f (x)0在(0,)iv uuirm ABi,则m（3, i,、3）,记二面角A BFvuuivm BF0，不妨取yi，故sin.7035D的大小为【点睛】第27页共 18 页上恒成立，可求得m的取值范围.【详解】(1)因为m 1,所以f(x) ex2x 1,所以f (x) ex2,则f (0) 0, f (0)1,故曲线y f (x)在点(0, f(0)处的切线方程为y x.(2)因为f (x) mex2x m,所以f (x) mex2,当m 2时,f (x) 0在(0,)上恒成立，则 f (x)在(0,)上单调递增从而f (x)f(0)0成立，故m 2符合题意；222当0 m 2时，令f (x) 0,解得0 x In，即 f(x)在0,ln上单调递减，mm2则f Inf (0) 0,故0 m 2不符合题意；m3当m 0时,f (x) mex2 0在(0,)上