2020届湖南省株洲市高三一模数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2323 页2020 届湖南省株洲市高三一模数学(文)试题、单选题1 i1 1 .已知复数z，其中 i i 为虚数单位2 iA A .迈3B B.卫3【答案】C C【解析】 直接利用复数的除法运算求得复数【详解】则|z()C C .迈D D .上55z z,再根据模的定义即可求得复数的模解：Q z1i2i1 i2 i13zi2 i2 i55即：J1232怖| y555故选 C C.【点睛】本题考查复数模的求法，是基础的计算题2 2.设集合I I：. . I I ，则()A A . (1,2)(1,2)B B. 1,21,2C C. (1,2(1,2D D . 1,2)1,2)【答

2、案】C C【解析】由已知，:/- ：.：所以，选.【考点】绝对值不等式的解法，对数函数的性质，集合的交集.3 3 .已知a、b为实数，则log3a log3b是 a a b b 的( )条件A A .充分不必要C C 充要条件【答案】A A【解析】求出log3alog3b的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. .B B 必要不充分D D.不充分也不必要故选：B.B.第 2 2 页共 2323 页【详解】第3 3页共 2323 页由log3a log3b得a b 0，此时 a a b b 成立, 由 a a b b，此时当a、b有负数时，Iog3a log3b不成立，即Tog

3、3a log3b”是“a a b b ”的充分不必要条件，故选：A.A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键，考查推理能力，属于基础题. .4 4.已知向量a、b满足，r a43, |t1, a a b b，则r r a2b( )A A. 73B B.C. 77D D.3【答案】C C【解析】可先得出a b 0，从而进行数量积的运算即可求出r r出a 2b的值. .【详解】Qa a b b，a b 0，且a运， 因此，a 2b 77. .故选：C.【点睛】 本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题5 5

4、 .等差数列an的前n项的和是Sn,ai1,S99S3，则an()A A.nB.2n 1C C.3n 2D D.2 n【答案】B B【解析】设等差数列an的公差为d，由a11,S99S3，可得9 36d 9 3 3d解得d，再利用等差数列的通项公式即可得出结果. .【详解】设等差数列an的公差为d , Q 3 1,S99S3,9 36d 9 3 3d，解得d 2. .因此，an12 n 1 2n 1. .r r22rr2a 2ba 4ab4b 3 4 7,2r b2 ra7,从而可得故选：B.B.第 2 2 页共 2323 页【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的求解，涉及等差数列求和公式的应

5、用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 双曲线的离心率e故选：B.B.【点睛】 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题 7 7 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（6 6.已知双曲线方程2 2X9 b1，其焦点3，则双曲线的离心率A A .辽2B.,2【答【解求出双曲线的焦点到条渐近线的距离，可得求出c，即可求出双曲线的离心率 【详双曲线方程2&1的一条渐近线为bx ayX2Q双曲线方程92令1的焦点到一条渐近线的距离为第5 5页共 2323 页【详解】本题考查根据三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题正视

6、图3侧视图俯视图B B.24C C.60D D.80【答【解判断几何体的形状，禾U用三视图的数据求解几何体的体积即可几何体的直观图如图，是多面体EF ABCD，是长方体的一部分,几何体的体积为：132114 3 3 24. .3 2【点第6 6页共 2323 页8 8 如图，AB是圆0直径,C、D是弧AB的三等分点，M、N是线段AB的三等unm分点，若AB 12，贝yMDumrNC第7 7页共 2323 页A A .26B B.20C C. 1616D D.12【答案】A A【解析】根据向量加法的三角形法则， 把要求向量数量积的两个向量转化为两个向量和的形式，根据向量数量积的运算律，展开代入向

7、量的模长和夹角，得到结果 【详解】ujuruuuuuruurLOT uuuQ MDMOOD，NCNOOC，UULVUUUV uuuv uuuvuuu/uuu/uuuv uuuv uuuu uuvuu/ uuu/ uuuv uuvMD NCMOODNOOCMONOMO OCODNOOD OC1114 2 62 66 626. .222故选：A.A.【点睛】本题考查向量的三角形法则，考查向量的数量积，考查两个向量的夹角，是一个把向量 化未知为已知的问题，题目比较新颖 2上x9 9 .函数f x|-一的图象大致是（）31第8 8页共 2323 页第9 9页共 2323 页【答案】D D【解析】 根据

8、题意，分析函数的奇偶性，排除 除 C C,即可得答案. .【详解】X2根据题意，函数f X一，其定义域为31函数y f X为非奇非偶函数，排除 A A、B B ；又由X时，f X 0，排除 C.C.故选：D.D.【点睛】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性以及单调性，考查推理能力，属于中等题 A A 图象关于点,0对称12C C 在0,一上递增61010 若将函数X 2sin X6 图象上各点的横坐标缩短到原来的-(纵坐标不2变)，再向下平移一个单位得到的函数g X的图象，函数g X(A A、B B,进而分析函数值的变化趋势，排-，则2第1010页共 2323 页B B .最小正周期是

9、 i iD D.在0,6上最大值是1第1111页共 2323 页【答案】C C【解析】 根据三角函数的图象变换关系求出函数y g x的解析式，结合三角函数的性质分别进行判断即可 【详解】1若将函数f x2sin x 图象上各点的横坐标缩短到原来的-（纵坐标不变），6 2得到函数y 2sin 2x舌的图象,A.A.20，则函数g x关于，1对称， 故 A A 错误，12612B.B.函数的周期T22-，故 B B 错误，C.C.当x 0,时，2x，此时函数6 6 2y g x为增函数，故 C C 正确,6D.由C知当x 0,时，2x,，此时函数y g x无最大值，故D错6 6 6 2误，故选：C

10、.C.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象变换法则求出函数的解析式，以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大1111.梅赛德斯- -奔驰（Mercedes-BenzMercedes-Benz ）创立于 19001900 年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化 已知该商标由 1 1 个向下平移一个单位得到的函数y g x的图象，贝y g x2sin2x -6圆形和 6 6 个全等的三角形组成（如图），点O为圆心,OAB 15，若在圆内任取一第1212页共 2323 页点，则此点取自阴影部分的概率为（）第1313页共

11、 2323 页【答案】D D【解析】分别求出圆与阴影部分的面积，作商即可得到结果【详解】故选 D.D.【点睛】本题考查几何概型的面积概型，合理求出阴影部分的面积是解题的关键，考查学生的计6；3 94由已知可得AOB60，贝V ABO 105o. .又sin 15sin 4530sin 105sin 45604.6则SAOB-482所以阴影部分的面积为/6 .2厂S 24,3 36PS 166.3 94A.不妨设OA 4，则由正弦定理可得圆O的面积为S 16OB OAsin150第1414页共 2323 页算能力，属于中档题 11X1212.已知exln x e a对任意xxA A.(0,e 1

12、)C C.( ,e 1)(0,1)恒成立，则实数a的取值范围为(B B .(0,e 1D D .( ,e 1第1515页共 2323 页【答案】D D_ 1 1 1【解析】先由题意得到exIn a a e，令t，得到eInt at a e对x xx任意t (1,)恒成立；令h(t) etInt at a(t 1)，对函数求导，用导数的方法研究其单调性，分别讨论a e 1，a e 1两种情况，即可得出结果 【详解】1由exIn x e1 xa可得x11:eI nax1-axe,令t1,t 1,x由题可得：etIn t ata e对任意t (1,)恒成立；令h(t)etIntat a(t1)，则h

13、(t)t1e - ta(t1),所以h (t)et!0在tt21上显然恒成立，所以h(t)在(1,)上单增，所以h(t) h(1)e 1 a当ae 1时，对t (1,)恒成立，所以h(t)h(1) e，符合题意 当ae 1时，1 h (t)在(1,)上递增可知，to(1,)使得h t0且x1,to时，h(t) 0,x to,时,h(t)0 所以h(t)在1,to上单减所以h(t) h(1)e，综上ae 1. .故选 D D【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记导数的方法研究函数单调性，最值等,属于常考题型 二、填空题131313 .若x 0,y 0，且xy 3，则一一的最小值为

14、_. .x y【答案】2【解析】由已知结合基本不等式即可直接求解最值. .【详解】第1616页共 2323 页131 3Q x 0,y0，且xy3，则2 2,xy.x y1当且仅当一3且xy3, 即x1,y y 3 3 时取等号，xy13因此，的最小值为2. .x y故答案为：2. .【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题1414 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 两颗星的星等与亮度满足E1，其中星等为 m mk的星的亮度为 E Ek(k=1,2k=1,2). .已知太阳的星等是T26.7 7,E2【答案】101010.1【详解】【点睛】则直线L的斜率

15、是【答案】m2-m1%2天狼星的星等是-.45.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为【解析】将m21.45, m26.7代入m2-m1jg5旦即可求得. .E2两颗星的星等与亮度满足m2m1|lgf，令m22E21.45,m126.7,lg旦2m2m1E2526.7)10.1,旦E210.110本题考查了对数的运算， 属基础题. .21515 .已知抛物线E : y2px p0的焦点为F,过点F的直线L与抛物线E交于A、B两点，且直线L与圆x -2p2交于C、D两点,且|AB 3 CD,第1717页共 2323 页2【解析】根据圆的性质，求得CD,设直线L的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛

16、物线的焦点弦公式，即可求得AB，根据题意即可求得直线L的斜率. .第1818页共 2323 页故答案为:【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及抛物线的焦点弦公式的应用, 转化思想，计算能力，属于中档题21616 .正项等比数列an满足：a21,a864，则数列4n a.的前n项和是【答案】n22n 3 2n 16【解析】先设正项等比数列an的公比为q q 0，然后根据等比数列的通项公式及 题干可计算出首项 印和公比 q 的值，即可计算出数列an的通项公式，再计算出数列4n a.的通项公式，再连续两次运用错位相减法可计算出数列4n a.的前n项和. .【详解】由题意，设正项等比数

17、列an的公比为q q 0，则a8a2q6q664，解得q= 2,a1a21，an12n12n2,n N*. .q 22令bn4n2an, 则bn4n22n 2n22n. .设数列4n2an的前n项和为Tn,则Tn122122223223n22n,1从这5天中任选2天，记这2天药用昆虫的产卵数分别为m、n，求 事件m,n均不小于24”的概率？【详圆x I y2p2的圆心为F导0，半径为P，所以CD 2p,设直线L的斜率为k，则直线L的方程为y代入y22px可得k2x2k22 px设A x-i, y-i、B X2, y2，则X1k22所以ABx1x2p2p 1I?X2k22p，解得k考查第1919

18、页共 2323 页2Tn12222223n 122nn22n 1两式相减，可得Tn11 221221222322223n2n 12n2n2* 11 213 225 232n 1 2nn22n 1,2，可得2Tn1 223 232n3n22n 12n12n2n2,，可得Tn1 212 222 232n2n2 n 21n 12n 1 22n2n21n 22 2n 112* 1228 1 222nn2n12 28 -n2n 1 21 2n22n 3 2n 16. .故答案为：n22n 3 2n 16. .【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，以及连续两次运用错位相减法求数列的前n项和,考查了方程思

19、想，转化和化归思想，换元法的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力，属中档题 三、解答题1717 为响应国家 精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下功夫，在精准 扶贫上见实效 根据当地气候特点大力发展中医药产业，药用昆虫的使用相应愈来愈多，每年春暖以后到寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采取各种药用昆虫 已知一只药用昆虫的产卵数y(单位：个)与一定范围内的温度x(单位：c)有关，于是科研人员在3月份的 3131 天中随机选取了5天进行研究，现收集了该种药物昆虫的5组观察数据 如表：日期2日7 7 日15日22日30日温度C101113128产卵数y/个222429251616立线性回归

20、方程，再对被选取的2组数据进行检验 1若选取的是3月2日与3月30日这2组数据，请根据3月 7 7 日、15日和22日这三组 数据，2 科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建第2020页共 2323 页求出y关于x的线性回归方程？2若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问中所得的线性回归方程是否可靠？nX X X X y yiy y附公式：y $x $，b b 丄. .X XiX Xi 13【答案】（1 1）丄；（2 2）$25X4；是可靠的 10y【解析】（1 1）用列举法求出基本事件数，

21、计算所求的概率值；（2 2）由数据计算平均数和回归系数，写出y关于X的线性回归方程；根据线性回归方程计算X 10、8时$的值，再验证所得到的线性回归方程是否可靠 . . 【详解】（1 1）依题意得，m、n的所有情况为：22,24、22,29、22,25、22,16、24,29、24,25、24,16、29,25、29,16、25,16，共有10个，设m、n均不小于24 ”为事件A，则事件A包含的基本事件为：24,29、24,25、29,25共有3个，33P A，即事件A的概率为；1010（2 2）由数据得X12，y 263_X Xyiy$ -3- 22.5，ay26 2.5 124，人xi 1

22、y y 关于X的线性回归方程为$2.5X4；由知，y关于X的线性回归方程为$2.5X4，当x 10时，$2.5 10 421，且21222，当x 8时，$2.5 8 416，且16 162. .因此，所得到的线性回归方程是可靠的. .【点睛】本题考查了线性回归方程与古典概型的概率计算问题，是中档题第2121页共 2323 页1818 .已知三角形ABC中，2acosA c cosB b cosC. .(1) 求A;(2) 若a 7,sinB sinC13辽，求三角形ABC的面积 14【答案】(1 1)A 60o；( 2 2)10、3. .【解析】(1 1)通过正弦定理化简已知条件，利用两角和的

23、正弦公式与二倍角公式即可求A;(2 2)利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果【详解】(1 1)三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,2acosA c cosB b cosC,由正弦定理可知2sin AcosA sin BcosC sinCcosB，可得sin2A sin B C,2sin AcosA sin A,1Q 0oA 180o,sisi nAnA 0 0 ,可得cosA，因此，A 60o；2(2 2)根据正弦定理得c14，得b14sin.33B,c14sin C,3si nB si nCsi nA因为sin B sinC生3，所以b c 13.14由余弦定理

24、得72b2c22bccos60b2c 3bc，得bc40. .可得SABC1bcsi nA 103. .2【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中等题. .1919 .已知四棱柱ABCD AB1GD1的所有棱长都为 2 2,且第2222页共 2323 页AAB AAD BAD 60（2 2）求直线BCi与平面AAC所成的角 的正弦值. .【答案】（1 1）详见解析；（2 2）上色.6【解析】（1 1）要证平面AAC平面AiBD，转化为证明BD平面AAC，通过证明BD AC及AO BD可得；（2）连接OCi，由（1 1）可得

25、BCQ为直线BCi与平面AiAC所成的角，在BCiO中求角 的正弦值 另外可以用向量法求线面角 【详解】（1 1）证明：设AC与BD的交点为0，连接A0，因为AB AD，AABAAD，AA AA1，所以AAB AAD，所以A1B A,D，又因为0是BD的中点，所以AO BD，另由BD AC且ACI A0 0，所以BD平面AAC，而BD平面ABD，所以平面AAC平面ABD. .第2323页共 2323 页（2 2）（法一）连接OG，由（1 1 ）知BD平面A1AC,所以BCiO为直线BCi与平面AAC所成的角故AD12AAsin602 2所以BC1AD12 3立如图所示空间直角坐标系,G 0,孚

26、2用3uuir所以AAUUUT，AC- uuuu0,2,3,0，BC1设平面A1AC的法向量为nx,y,z，在菱形ADDA中，A AD60，又因为 BADBAD 6060，所以OB1,平面ABCD，分别以OB、0C、OZ为x、y、z z 轴，建依题意，得A 0,、3,0，A0，33 2虫，B 1,0,0，3C 0, 3,0（法二）过0作直线0Z所以sin第2424页共 2323 页2 32 6Mryz 0小r所以33，令x 1，则y z 0，即n 1,0,0,2、3y 0所以sinuuun rBC1nuuuu_r-BC1n本题考查面面垂直的判定以及空间线面角的求解，其中关键是要找到线面角的平面

27、角, 考查了学生空间想象能力，是中档题 2 22020 椭圆C：笃 占1 a b 0的离心率是 ,且以两焦点间的线段为直径的圆a2b22的内接正方形面积是2. .(1 1)求椭圆C的方程；(2)过左焦点F1的直线L与C相交于A、B两点，直线m:x 2,过F,作垂直于L的直线与直线m交于点T，求 團 的最小值和此时的直线L的方程 |AB|【答案】X22TF1、2(1 1) -y21； (2 2)1的最小值为，此时直线L的方程为X1. .2；()AB2【解析】(1 1)由离心率及圆内接正方形的面积和a、b、c之间的关系可求出椭圆的方程；(2 2)由(1 1)可得左焦点F1的坐标，设直线L的方程与椭

28、圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB的值，再由题意设m的方程，令x即直线BC1与平面A,AC所成的角【点睛】即求出了T的坐标，进而求出TF|的值，求出所以TF1AB比值的表达式，由均值不等式2求出T的纵坐标,第2525页共 2323 页所以TF1,2所以 的最小值为，此时直线L的方程为x 1 AB2【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中的最值问题， 涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中档题 求出最小值 【详c 2a2(1(1)由题意可得2c si n42a迈，解得a22，b b21 1,所以椭圆的方程为b22X2(2(2)由(1 1)得左焦点Fi1,0

29、，显然直线L的斜率不为设直线L的方程为xkyB X2,y2，联立直线与椭圆的方程ky 12y22o，整理可得22ky 10，2kY1Y2TV，所以弦长y2AB 1 k22Y1Y24Y2-.1 k24k22 k2 242 k22.2 1 k22 k2由题意设直线m的方程为y，令x 2可得YTk，即T 2,k，TF1AB.1 k22、2 1 k22、；2第2626页共 2323 页2121 .已知函数f xxlnx asinx. .第2727页共 2323 页(1)当a 0时，证明：f x x 1；(2)若f x在 丄， 有且只有一个零点，求a的范围. .【答案】【解析】(1(1)证明见解析;(1

30、(1)构造函数 F F(2)(2)171,esi nexln x x 1 x，利用导数可得其最小值大于等于 0 0 ,进而得证;(2)构造函数g xxln x，h x asinx，x1,，则函数e的图象在上有且仅有一个交点，分类讨论即可得出结论【详解】(1)(1)0时,xln x xxlnx xx 0，则F x ln x，0,1时,时，F x 0，所以, 函数x的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,所以, 函数x在x 1处取得极小值，亦即最小值，即F xmin故xln x x 10，即xln x x 1，即得证;(2)依题意，方程xln xasin x在上只有一个解,xlnx，asinx，

31、则函数的图象在上有且仅有个交点,ln x 1上恒成立，故函数上单调递增,(i)当a0时，函数y1在-，单调递增，在e 2单调递减,第2828页共 2323 页1 1.1，又a 0,故.1 esi nesi nee【点睛】 本题考查利用导数证明不等式，考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想，数形结合思想，分类讨论思想以及推理论证能力，属于难题.1 asin exmax0，如图,显然，此时满足函数y g1的图象在 -e上有且仅有合题意;(ii(ii )当a0时，f xxln x，显然在上有且仅有一个零点x 1，符合题意；(iii(iii )当0 0 时，函数y单调递减，在,单调递增，且21a sin 0，h xmax0，如图,要使函数的图象在上有且仅有一个交点，只需综上, 实数a的取值范围为1.1，esin e1，即asin -ee2第2929页共 2323 页（1 1）求圆 C C 的直角坐标方程;（2）过直线 J 上的一点M作一条倾斜角为45的直线L2与圆C交于A、B两点，求MA| |MB的最小值. .2o6【答案】（