2020届河南省名校联盟高三尖子生第七次调研考试数学(理)试题(解析版)

1、2020届河南省名校联盟高三尖子生第七次调研考试数学（理）试题、单选题1 1已知集合A x|x 0，集合B2x|x ln x2x 12，则AI BC C0,3D D 2,3x2x 12 03,4，故选： A.A.【点睛】 本题主要考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式的解法，以及具体函数的定义域， 化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养 . .2 2复平面内的两点P 1,2，Q 2,1对应的复数分别为z1，z2，则z1z2（ ）A A5iB B 5i5iC C5 iD D5 i【答案】 B B【解析】 先写出z1，z2，结合复数的乘法运算可求z1z2. .【详解】故选： B

2、.B.【点睛】本题主要考查复数的运算，由点的坐标表示出复数是求解的关键，侧重考查数学运算的 核心素养 . .3 3某自媒体为了了解公众网上购物的情况， 收集并整理了 20182018 年全年每月甲、 乙两个网络购物平台点击量（单位：万次）的数据，绘制了下面的折线图：第 1 1 页 共 2020 页A A 0,4B B4,3【答案】A A【解析】先化简集合B，再求解AI B. .【详解】因为Bx|y ln x2x12 xx| x2x 12 0 x|3x4又A x|x 0，所以AIB 0,4. .依题意z11 2i，z22 i，所以z1z21 2i 2 i2 i 4i 2 5i. .有漏解的情况，

3、侧重考查数学运算的核心素养第 2 2 页共 2020 页根据该折线图，下列结论正确的是（）A A 全年甲平台的点击量要大于乙平台的点击量B B 全年各月甲平台点击量的中位数是2828C C .全年各月乙平台点击量的极差为3838D D. 8 8 月份甲、乙两个平台的点击量相差最多【答案】C C【解析】 结合图表及数据计算出平均数，中位数，极差等，再结合选项可求结果 【详解】计算可知全年甲、乙平台的点击量分别为301301、341341，故选项 A A 错误；全年各月甲平台20 28点击量的中位数是24，故选项 B B 错误；全年各月乙平台点击量的极差为249 11 38，故选项 C C 正确；

4、7 7 月份甲、乙两个平台的点击量相差为3232, 8 8 月份相差3030，故选项 D D 错误 故选：C.C.【点睛】本题主要考查统计图表的识别，明确统计量的求解方法是本题的关键，侧重考查数据处理的核心素养 4 4已知等比数列an的首项为 2 2,前 3 3 项和S36，则其公比q等于（）A A . 1 1B B. -2-2C C. 2 2D D . 1 1 或-2-2【答案】D D【解析】利用首项和公比表示前三项的和，解方程可求公比【详解】2由题意知S3印a2a36, 2 2q 2q 6，解得q 1或q 2. .故选：D.D.【点睛】本题主要考查等比数列的和，利用等比数列的和求解公比时要

5、注意公式的选择，否则会甲22第3 3页共 2020 页【点睛】本题主要考查双曲线的离心率， 利用共用双曲线的渐进线求出双曲线的方程是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养 6 6 灯笼是传统的照明工具，在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆，某庭院挂着一盏表面积为 4 4 平方尺西瓜灯（看成球），灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为 2 2 寸高为 4 4 寸的圆锥，现向该灯笼内任取一点，则该点取自灯焰内的概率为 （注:1 1 尺=1010 寸）（）A A . 0.0040.004B B. 0.0120.012C C. 0.0240.024D D . 0.0360.036【答案】A

6、A【解析】分别计算灯笼的体积和灯笼内的灯焰的体积，结合几何概型的求解方法可求结果 【详解】设该灯笼的半径为R，则4 R24，解得R 1，所以该灯笼的体积4144000V立方尺立方寸，该灯笼内的灯焰的体积333VI-2 4色 立方寸，所以该点取自灯焰内的概率为335 5 与双曲线Ci:1 1 有相同的渐近线，且过点.2,2.3的双曲线C2的离心率是（）A A 卫3B B.153D D 玄3 3【答【解设出双曲线利用所过点求出双曲线C2的方程, 然后求解离心率【详设双曲线x2C2的方程为4k2y3k1，将点2、2,2：3代入得4k121，解得3k所以双曲线C2的方程为2y_6X21，则离心率8故选

7、：D.D.0.004,第4 4页共 2020 页16ViWV 40003故选：A.A.【点睛】本题主要考查几何概型，明确所求事件和事件空间蕴含的几何度量是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养 2 27 7 .过原点的直线I与椭圆C : -y1交于A,B两点，F为椭圆C的左焦点,42卄uur uuu右FA FB的最大值与最小值分别为A A .2 2B B.,2,2C C. 2 2【答案】C C数知识求解最值【详解】依题意，可设A小0Bx,y, ,又F.2,0uuu-，则FAx。、.2, y。,uuufuuu uuu2 x22y，FBx 2 ,y。，所以FA FB因为y2 4x4 xouuu，所

8、以FAuuuFB 2xo22XQy0422因为0 x 4，所以FAFB的最大值与最小值分别为M 0,m 2，所以Mm2Mm2 . .故选：C.C.【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题， 综合了向量数量积的运算， 表示出目标式， 结合目标 式的特点选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养 8 8. “ 20202020 含有两个数字 0 0,两个数字 2 2,“ 21212121 含有两个数字 1 1,两个数字 2 2,则含有两个数字 0 0,两个数字 2 2 的四位数的个数与含有两个数字1 1,两个数字 2 2 的四位数的个数之和为（）A A. 8 8B B. 9 9C C. 1010D D

9、. 1212【答案】B B【解析】 先求含有两个数字 0 0，两个数字 2 2 的四位数，再求两个数字1 1,两个数字 2 2 的M,m，则M m(【解析】设出点A x0, y0,Burn uurx, y,表示出FA FB2 x；y；,利用二次函第5 5页共 2020 页四位数，可得答案【详解】2第一类，含有两个数字 o o，两个数字 2 2 的四位数的个数为C33；第二类，含有两个数字 1 1，两个数字 2 2 的四位数的个数为C4 6，由分类加法计数原理 得，满足题意的四位数的个数为3 6 9. .故选: :B.B.【点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用，注意特殊元素的优先考虑，属于基

10、础题 9 9 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）3A A B B. -2-2C C 0 0D D 2 22【答案】B B【解析】结合程序框图，明确该程序是求数列n 1ancos的前 20192019 项的和，结3合数列的周期性可求和【详解】因为an是以 6 6 为周期的数列，且a1a2a3a6设ann 1cos-，该程序是求数列an的前 20192019 项的和,所以S2019336 0 a2017a2018a2019a1a2a32. .第6 6页共 2020 页故选：B.B.【点本题主综合了数列的性质，明确程序框图的含义是求解的关键,侧重考查逻辑推理的核心素养第7 7

11、页共 2020 页【答案】D D可求单调递减区间【详解】T 2119由图知，周期T满足1，所以T 4，4222又T，所以，则f x Acos x2 221010 .函数f x Acos xA 0,0,0的部分图象如图所示，且13 12C.2,27 112,2【解析】结合图象可得函数的周期，进而可得2 2，结合点的坐标可得-，然后厂,1919因为f一A,所以cos 2223即cos1，所以，所以44因为A 0,所以由2kx2k24711k 1得一x一.22故选：D.D.f xAcos x 24，得4k1x 4k - k Z，取2 2【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解函数解析式,同时求解单

12、调区间， 明确各个参数的求解方法是解决本题的关键，侧重考查直观想象的核心素养1111.已知数列an满足a11,an 13an，则数列4an1anan 1的前 1010 项和SoA A.2,2B B.2f x的一个单调递减区间是(第8 8页共 2020 页【答案】C C称，结合直线与二次函数的交点关系可求实数k的取值范围. .【详解】因为函数f X满足f 1 X f 1 X 0,所以函数f X的图象关于点1,0成中心对称【答案】C C1B B.131012911D D141【解析】先对已知条件变形可得进而可得法可求 SwSw 【详因为an 1話，所以1an 1an所以数列1是首项为an3 3、公

13、差为所以4n 1 4n 3anan11，利用裂项相消4n 1的等差数列,所以4n 1，所以anan所以So111故选：C.【点本题主查数学运算的核心素养1212 .函数f X满足f 1 XA A.2,3 414n14根据条件求解出数列的通项公式是求解的关键,X 0，当X 1时，f X6x侧重考8 若函数x 1有 5 5 个零点,则实数k的取值范围是（2,3 4B B.2,3 4 kD D.k2.3 4【解析】先根据f0得出函数f x的图象关于点1,0成中心对第9 9页共 2020 页函数F x fXkX1有五个零点，即方程f x kX10有五个实数根,第1010页共

14、2020 页即函数y f x的图象与直线y k x 1有 5 5 个交点. .因为直线y k x 1过点1,0，且 f(1)=of(1)=o,只需直线y k x 1与2f x x 6x 8 x 1的图象有 2 2 个交点即可. .故选：C.C.【点睛】问题，结合函数图象容易得出结论，侧重考查数学抽象的核心素养二、填空题r rrr r rrr1313 已知向量 a a 1,11,1 ,b 5,2,c 2a b，则a在c方向上的投影是 _15先求出向量c的坐标，利用公式1故答案为：-. .5【点睛】本题主要考查向量的投影，明确平面向量的投影的求解方法是关键，侧重考查数学运算的核心素养. .将ykx

15、 1代入y2x 6x 8x 1设两个交点为P X,Q X2,y2，则6 k24 8k06 k2，解得k2.38 k6k 1 0，整理得2x6 kx 8 k 0,62k4 8 k0 xX22即% %1X21 04.4.本题主要考查函数的性质及零点问题,零点个【答案】rr可得a在c方向上的投影r2a3,4，则a在c方向上的投影是15. .第1111页共 2020 页x 2y 01414 .已知实数x,y满足x y 5 0，则z x 3y的取值范围是_. .3x y 7 0第1212页共 2020 页【答案】1,11【解析】根据约束条件作出可行域，平移Io找到z x 3y取最值的点，然后可得范围 【

16、详解】由线性约束条件作出可行域，如下图三角形ABC阴影部分区域(含边界)，作直线Io:x 3y 0，平移直线Io，当过点A 1,4时取得最大值z 13 4 11,当过点B 2,1时取得最小值z 2 3 11，所以z x 3y的取值范围是1,11. . 故答案为：1,11. .【点睛】本题主要考查线性规划，利用线性规划求解最值时，准确作出图形是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养 1515.已知函数f xexacosx 1在点A 0, f 0处的切线方程为y kx 4，则a k的值为_. .【答案】3 3【解析】先求导数，结合f (0) k和f 0 2 a 4可得a k的值 【详解】由题知，f

17、 (x) exasinx，因为函数f x exacosx 1在点A 0, f 0处的切线方程为y kx 4，所以f (0)1 k,a k 3. .故答案为：3.3.【点睛】2 a，切点A 0,2 a在切线上，所以2a 1 0 4，所以a 2，所以第1313页共 2020 页本题主要考查导数的几何意义，利用曲线的切线求解参数时，主要从两个方面建立方程第1414页共 2020 页组，一是切点处的导数值是切线的斜率；二是切点既在曲线上又在切线上，侧重考查数 学抽象的核心素养 1616.已知四棱锥P ABCD中，PA平面ABCD,PA 2，底面ABCD是边长为 2 2的正方形，用与直线PA、BD都平行

18、的平面截此四棱锥，截面与AB、AD、PD、PC、PB分别交于F、G、H、M、E,则截面EFGHM面积的最大值为 _ . .【答案】4LZ3【解析】先根据题意明确截面的形状，然后表示出截面的面积，结合二次函数的知识求解最值. .【详解】AF设01，连接AC,BD,AC交BD,FG分别于0,N，连接NM,ABPA平面ABCD, PA BD, PA/平面EFGHM, EF / /PA, MNMN / / /PA/PA ,AB AF 1,EF /GH /MNAB故答案为：乞2. .EF BFPA ABGH /PA, EF 2 1 BD/平面EFGHM，连接EH, -FG/BD,EH /BD,AN FG

19、AO BDAFAB,FG/EH,MN CNAP AC2 AO四边形EFGH为矩形,FGBD2 2，MN2,MNFG,S截面 EFGHMS矩形EFGHSMEH，当32时3时，S截面 EFGHM max4.23第1515页共 2020 页3【点睛】本题主要考查立体图形中的最值问题,动态最值的确定的关键是明确目标的关系式，侧第1616页共 2020 页重考查直观想象和数学运算的核心素养三、解答题(2)利用余弦定理求出AD 1，进而利用面积公式可求【详解】1_(1)Tasi n AcosC csi n 2Ax3b cos A2，二a sin AcosC csin A cos A 3b cos A,由正

20、弦定理得sin A sin AcosC cosAsinC. 3sin BcosA, sin Asi n A C ,3s inBcosA，即si n As in B.3si n BcosA,T0 B, si nB 0, si nA . 3 cosA,显然cosA 0, tan A 0 A , A -. .3(2 2)在ADC中，由余弦定理知，DC2AD2AC22AD AC cos A,即.7 AD2322 3 AD1,2解得AD 1或AD 2(舍), AB 2AD, BD AD 1,S S11 33SBDCSACD13224【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，三角形中边角进行转

21、化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养 1717 .已知a,b,c分别是ABC内角A,B，C所对的边,1asin AcosC csin 2A2, 3b cosA. .(1(1)求角(2(2)已知D是AB上一点，AB2ADAC，CD、.7，AC 3，求 BDCBDC 的面【答案】(1 1)A；( 2 2)3SBDC334【解析】(1 1)利用正弦定理化边为角，可得tan A, 3，进而可得角A；第1717页共 2020 页1818 .在如图所示的多面体中， 四边形ABCD是边长为 2 2 的菱形，BADBAD 6060 ,DM平面ABCD,AN/DM,DM 2,AN 1. .（1 1）证明：

22、AC/平面BMN;（2 2）求直线MC与平面BMN所成角的正弦值 1【答案】（1 1）见解析；（2 2）-4【解析】（1 1）作辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行；（2 2）建立直角坐标系，求出平面的法向量，结合线面角的公式可求【详解】（1 1）证明：设AC与BD的交点为Q，则Q为BD的中点，取BM的中点P，连接PQ，则PQ/DM，又AN/DM，所以PQ/AN，1因为PQ DM 1，AN 1，2所以四边形PQAN是平行四边形，则AQ/PN，因为PN平面BMN，AQ平面BMN，所以AQ/平面BMN，即AC/平面BMN. .（2 2）取AD的中点0，连接BO，贝V BO AD，易得BO、.3，

23、因为DM平面ABCD，所以平面ADMN平面ABCD,所以B0平面ADMN. .建立如图所示的空间直角坐标系，则0 0,0,0,B . 3,0,0,C,C 3,2,03,2,0,M 0,1,2,N 0, 1,1. .UULTLujun所以MB .3, 1, 2,MNUULUl0, 2, 1,MC .3,1, 2设平面BMN的一个法向量为mx,y,z,0，即3X02yy 2zz 0第1818页共 2020 页UULVvMBm贝 yUULUIvMNm第1919页共 2020 页取y 1，得x 3,z 2，所以m .3 1,2设直线MC与平面BMN所成角为uuuir -ULUD LT、I IMC则si

24、ncos（MC,m）、;L|MC【点睛】本题主要考查空间线面平行的证明及线面角的求解，线面平行一般利用线线平行或者面面平行来证明，线面角一般利用法向量进行求解，侧重考查数学运算的核心素养 1919 . .某教辅公司近年重点打造出版了一套高考一轮复习资料，为了调查读者对这套教辅的满意程度，该公司组织了免费送书活动，并邀请了部分接受赠送的读者参与了问卷调查，其相关评分(满分 100100 分)情况统计如下图所示：为了判断今年该套教辅的销售情况，公司将该教辅前五年销售数量和年份情况统计如下：年份代码t1 12 23 34 45 5销售量y(万册)5.65.65.75.76 66.26.26.56.5

25、(1)(1) 求参加问卷调查的读者所给分数的平均分；(2)(2)以频率估计概率，若在参加问卷调查的所有读者中随机抽取3 3 人，记给分在40,50或80,100的人数为X，求X的分布列及数学期望；(3)(3)根据上表中数据，建立y关于 t t 的线性回归方程$. .1 - 443第2020页共 2020 页附：对于一组数据ti，y,i 1,2,3, ,n，其回归直线$ b $的斜率和截距的计n._tit yiy算公式：$_n，$ y $t. .titi 19水【答案】（1 1）65；（ 2 2）X的分布列见解析，E X ；（ 3 3）$0 2盘531107 【解析】（1 1）利用频率分布直方图

26、区间中点代表区间平均数进行求解；（2 2） 利用二项分布的概率求解可求分布列，结合二项分布期望公式可求期望；（3 3）根据公式，分别求解相关量，然后可得直线方程【详解】（1 1）依题意，所求平均分x 35 0.02545 0.15 55 0.265 0.2575 0.22585 0.195 0.050.875 6.7511 16.25 16.875 8.54.7565. .（2 2）随机抽取 1 1 人, 给分在40,50或80,100的概率p3，故X:B3?1010327343173441则P X 0，P X :1C310100010 1010001 23273189327P X 2C；，P

27、 X 310101000101000故X的分布列为:X0 01 12 23 3P34344118927100010001000100039故E X 3 -.10 105.6 5.75_tit yriy20.41（3 3） 由题意可知:t510.30 1 0.2 2 0.5 2.3，5- 2tit22222 1 0 122210，5第2121页共 2020 页 y关于t的线性回归方程为$ o.23t 5.31. .【点睛】本题主要考查二项分布的分布列期望及回归直线方程的求解，综合性较强，难度适中，回归直线求解时要计算准确，侧重考查数据处理的核心素养22020 .抛物线C:x py p 0的焦点为

28、F 0,1，直线I的倾斜角为且经过点F,直线I与抛物线C交于两点A,B. .(1)若AB 16，求角；(2)分别过A,B作抛物线C的切线h,I2，记直线I1,I2的交点为E，直线EF的倾斜角为 . .试探究是否为定值，并说明理由. .2【答案】(1)或；(2 2)为定值，理由见解析33【解析】(1 1)先根据抛物线的焦点确定抛物线的方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式可求角；(2 2)通过导数，表示出切线的斜率，得到点E的坐标，结合斜率公式求出EF的斜率,【详解】2(1)由抛物线x py p 0的焦点为F 0,1,可得p 4,所以抛物线C的方程为x24y. .t$titi 15yiyti2

29、.3106 0.23 3 5.31，进而可得为定值. .设直线I的方程为ykx 1k tan，代入2x 4y，消去x,得y224k2y1y22 4k,所以ABy1y24k22 16,得k23,x3，所以tan(2)设直线l方程为y kx亍tan或32X1x1,一p2X2x2,_,p2第2222页共 2020 页将直线l的方程ykxp代入 x x2pypy，消去y，得x2pkx 0,442则x1X2pk，x-|x2p4 由y2x2求导，得yx,pp所以直线li,I2的斜率分别为ki2x-i则li,I2的方程分别为y-x p所以90为定值. .【点睛】 本题主要考查抛物线中的定值问题，设出直线，联

30、立方程，结合韦达定理，表示出目标式，是这类问题的常用求解方向，侧重考查数学运算的核心素养312121 .已知函数f x x ax,g x In x. .41(1)若函数f x的极小值不小于a，求实数a的取值范围；4(2) 用max m, n表示m,n中的最大值，设h x max f x ,g x x 1，讨论h x零点的个数27【答案】(1 1)a 0； (2 2)见解析4【解析】(1 1)求解导数，讨论a，求出极小值，进而可得实数a的取值范围；(2(2)分类讨论a的值，确定h x max f x , g x x 1的表达式，结合单调性,得出零点个数 【详解】2X1.k22x2ppx；，y2x

31、2x2X2,ppp解组成的方程组，结合 ，得xpk，y_p卫因为F 0,卫，所以kEF444pk2-，所以kEFk 1，所以EF l. .k2第2323页共 2020 页(1)f (x) 3x2a,第2424页共 2020 页当a 0时，f(x)f(x)0 0,函数f x在R上单调递增，无极值，不满足题意;的零点;x的零点;a a 0 0 时，令f (x)0，解得xf f (x)(x)故函数fx在区间上单调递增,故函数f解得(2)274当a 0. .1时,0,即a彳，则h1max f 1 , g0,则x0,即a-，则h 14max f 1 , g0，则x5， 即a4上无零点；彳时，方程21x4

32、xa在 1,1, 上无解，所以函数h x在 1,1,方程x2丄4xa在 1,1,上有一个解，所以函数-或x -a0 0，解得-a x a上单调递增，在区间上单调在区间x有极小值f第2525页共 2020 页当x 1,时，g xIn x0，故只需研究f x在 1,1,上的零点个数,只需研究方程21十xa在1,1,上的解的个数问题. .4x2118x31设t x x，则t x2x4x4x24x2，当x 1,时，t x 0，t x在 1,1,上单调递增， 所以tx t1夕即第2626页共 2020 页1,1,上有一个零点55综上，当a时，函数h x有两个零点；当a时，函数h x有一个零点;44t5当a时，函数h x无零点. .4【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题时，要注意单调性的判定，利用导数研究零点问题时，一般是利用导数得出函数图象的变化趋势，借助图象变化研究零点，侧重考查数学抽象的核心素