2020届山西省大同四中联盟体高三3月模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、第1页共 23 页2020 届山西省大同四中联盟体高三 3 月模拟考试数学（理）试题一、单选题1 已知集合A x|x25x 60,B x|x 3k 1,k Z，则AI B等于（）A 2,3, 4B.1,2,3C 2,5D 1,4【答案】D【解析】对集合A, B进行化简，分别得到两个集合表示的内容，然后取交集【详解】集合A中：x25x 6 0,解得1 x 6,集合B中：x 3k 1,k Z，即x . 5, 2,1,4,7,10所以A B 1,4故选 D 项【点睛】本题考查了集合的基本概念，集合的运算，解二次不等式，属于简单题2 .已知复数 z 满足：（2+ i） z= 1-i13A .i551

2、.C.i3【答案】B【解析】把等式变形，根据复数的运算先求出【详解】1i（1 i）（2 i）由（2+ i） z= 1 i，得 z=2i（2 i）（2 i）故选：B.【点睛】 本题考查复数的运算法则、共轭复数的定义3 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（）其中 i 是虚数单位，则 z 的共轭复数为（）13B. + i551 .D. - i3z,再根据共轭复数的定义得出答案11第2页共 23 页由于为等差数列，故2an1a411a211a61，即2a443，解得a4【点| x |C . f(x) =x【答案】B【解析】 模拟执行程序框图可得其功能是输出的函数为奇函数，并且此

3、函数存在零点,【详解】 由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数，选项 A、C 中的函数虽然是奇函数，但在给定区间上不存在零点，故排除A、C.选项 D 中的函数是偶函数，故排除 D.故选：B.【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，考查了函数的性质及其应用，属于基础题4 .数列an中，a22,a61?JUL 590 -J1是等差数列，则a4等an1111A. 一B.-C. D .-2346【答案】A【详解】A.f(x戸丁2 x 2,x 0B. f(x) =2x1D. f(x) = 0n(x2+ 1)【解根据1为等差数列可得an12a41a211厂，由此求得a4的值.第3页共 23 页本小题考查

4、等差数列的基本性质：若an为等差数列，且m n p q，则有amanapaq，利用这个性质，列方程，可求得 的值.5某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）721214A B C D 2552525【答案】D【解析】分两种情况讨论得到该选手能进入第四关的概率【详解】5432第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以P Y _ 2?-,16 5 55第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关,543 34所以R （1） .655 5 2

5、554 3543314所以该选手能进入第四关的概率为1.65 5655525故选 D【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率和公式,解掌握水平和分析推理能力0的表面积为（）32A B.323【答案】D【解析】根据正三棱柱的结构特征，结合球的截面性质求得球的半径，即可得球的表面积【详解】 根据对称性，可得球心0到正三棱柱的底面的距离为2,球心0在底面ABC上的射影为底面的中心0-,-,-,-，只有通6552意在考查学生对这些知识的理6 .已知正三棱柱ABCA1B1C1的顶点都在球0的球面上,AB 2,AA 4，则球C 64 n64D 3第4页共 23 页2,32.3则OA2323第5页

6、共 23 页xlg|x 1|x的函数图象是(f(x)igx 1 x1ig1 x 0 x1,ig 1 x x 0【详解】去绝对值可得f (x)当x 1时，y ig当0 x1时，yxig x 1ig xig 1ig 1x 1单调递增,ig 1 x单调递由球的截面的性质可得OA2002OA2所以球0的表面积为S 4 0A2643故选:D【点睛】本题考查了三棱柱与外接球的关系，外接球表面积的求法，属于基础题所以有0A437 函数f(X)【解析】首先去绝对值化得函数为的单调性即可得出选项)第6页共 23 页第7页共 23 页当x 0时，y ig 1 x单点递增，且y o,综上只有A符合，故选：A【点睛】

7、本题主要考查函数的性质与图像，需熟记对数型函数的性质，属于中档题【答案】结果 详解：如图所示，连结 MN ,ouuuv,BM2MA,ClN 2NA,则BCCOM1的值为【解分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终8.在如图的平面图形中，已知C.6第8页共 23 页uuuv由BMuuu/uuu/2MA,CNuuv2 NA可知点M , N分别为线段AB, AC上靠近点A的三等分uuv则BCuuuv uuu/ uuuv3MN 3 ON OM由题意可知:uuuv22OM 1uuuy uuu/1，OM ON 1 2 cos1200结合数量积的运算法则可得:uuuv uuuiv

8、 uuu/ uuuv uuuv BCOM 3 ON OM OMuuuv uuuv uuuv23ON OM 3OM3 36.本题选择 C 选项.9第9页共 23 页点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,tan tan即5tan1 tan tan4425tan丄575tan当5tan即tan5时等号成立tan5因此tan22sin21 cos42，即cos22coscos5同时要注意数量积运算律的应9 .已知o,0, ,sin 222A .辽B.乜35【答案】A【解析】将已知等式变为sintan5tan，利用两

9、角和差公式可得得 tan 1 的氾围，从而求得cos的最小值3 . sin2,cos的最小值为12C.D .-233sin2tan4ta n，展开可求得1 5ta n2，利用基本不等式求因为sin 23 . sin,2即sin则sincoscossin32有sincos5cossin3 .sin2sincos cos sintan5ta n丄4ta ntan2那么1 5ta n2用.【详第10页共 23 页5第11页共 23 页又0,cos 0cos523本题正确选项：A【点睛】本题考查两角和差正弦公式、正切公式的应用，基本不等式求最值问题，关键在于能够将已知角进行拆解，从而得到tan ;求解

10、最值问题时，常用方法是构造出基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果10 已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,SD所成的角的余弦值为（）1A -3B.2C 3D -333【答案】C【解析】试题分析：设AC、BD的交点为0,连接EO,贝U AEO为AE,SD所成的1 2 22(2a)(于)爲12 ( a) ( a)22【考点】异面直线所成的角.2 2xyn11 已知双曲线 21（a0,b0），过原点作一条倾斜角为 一直线分别交双曲ab3线左、右两支 P, Q 两点，以线段 PQ 为直径的圆过右焦点 F，则双曲线离心率为（）A 、2 1B.31C 2D 、5【

11、答案】B角或其补角；设正四棱锥的棱长为a，则AE3a,EO2如。A牛，所以cos AEOAE2OA2EO22AE OA（3、2（訂故 C 为正确答案.第12页共 23 页【解析】求得直线PQ的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得P,Q两点坐标的关系，根据FQFP列方程，化简后求得离心率第13页共 23 页【详解】设P Xi,% ,Q X2,y2，依题意直线PQ的方程为y、3x，代入双曲线方程并化简得x2a2b22 23 严2我需，故2 Jca b洛x 0 X2门2,y1b 3aY23x1x23a bb23a2，设焦点坐标为F c,0uuvUUIV0，即FP FQxc, y1X2c, y2b

12、46a2b23a40,两边除以a4得-4，由于以PQ为直径的圆经过点0，即4xiX22小c 0，即0，解得F，故3 2.3.1，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点,考查圆的直径有关的几何性质,考查运算求解能力，属于中档题12.设x表示不大于实数x的最大整数，函数f (x)ln2x lnxex(ax1,x1),x(x的方程f(x) 1有且只有 5 个解，则实数a的取值范围为(A.(, 1)B.(, e)C.(, 1【答案】A【解析】 根据分段函数的解析式，先讨论当x0 时，函数零点的个数为三个,当 xW0寸，函数的零点的个数为2 个，利用导数结合数形结合分析得解【详解】首先，确定在

13、 x 0 上，方程 f(x)=1的解若关于e再讨论n 0,1,2,3,4, L 时，在x e(n,en)上,e(n1)(n 1) ln x所以由取整意义有lnx=-( n+1).又n2ln2x (n1)2,n2n f (x)n23n 1,即在xe(n 1,en)上，恒有n2n f (x)n23n1,第14页共 23 页第15页共 23 页2 2n n 1f(x) 1 n3n,取 n=0,1f (x) 1 0,令x e1, f (e1)1,此时有一根x e1,当 n 时，恒有 f(x)-1 1,此时在x e(n 1,en)上无根.n n 1nn 1在x e ,e )上，e x e，n In x

14、n 1ln x n,又n2In2x (n 1)2,2 2nn 1f(x)(n1) n 1,所以在x en,en 1)上，恒有n2n 1 f (x) n2n,n2n2f(x) 1n2n 1.2n=1 时，在e,e )上，有2f(x)-11,n=2 时，在e2,e3)上，有0 f(x) 15,f (x)1,即ln2x n 11,Inx 7n ,x en 2,所以此时有两根，x=e3, x e2.这样在(0,+ )上，f(x)=1,有三根，x1=e1, x2e3,x3e2在x (,0上，f(x)ex(ax 1),显然f (0)1,有一根x4=0,所以在f- ,0)上，f(x)=1有且仅有一根，第16

15、页共 23 页又 x-时，由洛必达法则”第17页共 23 页lim f (x) lim ex(ax 1) 0.的最小值为_【答案】8【解析】运用重要不等式，结合椭圆的定义可以直接求解即可【详解】2 2PFj |PF22（当且仅当PF1PF2时取等号）故答案为：8【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了重要不等式的应用，考查了数学运算能力214 .已知函数f x 2ln x ax 3x，若x 2是函数f x的极小值点，贝U实数a的值为_ .1【答案】丄2【解析】求出函数y f x的导数f x，由题意得出f 2 0，求出实数a的值，在（-,0）上，f(x)疋先增后减，f (x)=ex(ax a1),f

16、 (x)= 0得a1x0a1或 a0.a又在（ -/1)上f（x）单调递增,aa 1即ea(a) 0,a0 又 a1,a1.f (x)0故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题,和分析推理能力，难度较大意在考查学生对这些知识的理解掌握水平、填空题X213.已知 P 为椭圆y 1上任意一点,4Fi,F2是椭圆的两个焦点2则PFi2PF2由|PFi| |PF2|222PF1PF22a28第18页共 23 页并验证x 2为函数y f X的极小值点，综合即可得出实数a的值.【详解】Q f x2ln x2ax 3x，定义域为0,，且f X-2ax 3,x由题意得f 24a 2 0，解得a1

17、，此时，f xx3 -x23x 22xx令f x 0，得x 1或x 2，列表如下:x0,111,222,f x00f xZ极大值极小值Z所以，函数y f x在x 2处取得极小值1故答案为：丄.2【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，对于可导函数而言，导函数在极值点处的函数值为零，同时还应对极值点处导数的符号变化进行分析，考查运算求解能力，属于基础题2x y 10,15.设x,y满足约束条件x y 0,若目标函数z ax by a 0,b 0的最大x 0,y 0,值为1,则14的最小值为 _a b【答案】9【解析】 【详解】试题分析：试题分析：由zaxby a 0,b0得y x -,bb平移直

18、线azyx -,由图象可知，bb当yax b过A 1,1时目标函数的最大值为b1，即z_141a b 1，则一-(ab)a b a b14b4a5 2b 4a5 49，当且仅当b缠,即b 2a1时，取abVa bab2第19页共 23 页14等号，故的最小值为9.a b【考点】1、利用可行域求线性目标函数的最值；2、利用基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题含参变 量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增 加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手

19、，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.116.设数列an满足 ai=1，且 an+i- an=n+1 (n N),则数列一 的前 10 项的和为an20【答案】2011【解析】试题分析：数列 满足.，且一. - +1)-：-一.当-.时，上式也成Sn2三、解答题2-当再工?时,数列的前项的和【考2nn 1.数列?的前 10 项的和为 一S11.故答案为20TL(1)数列递推式；(2)数列求和.第20页共 23 页17 .在ABC中，角代B, C对边分别为a, b, c，且满足be 1, a be be(1) 求ABC的面积；第21页共 23 页1(

20、2)若cosBcosC，求ABC的周长.4【答案】(1) 1! (2) 342b c，利用余弦定理求得A 60，结合bc 1利1-SABCbcsinA2T b2c2ABC的周长为a b点睛：解三角形时，有时可用正弦定理, 有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的 式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要 考虑两个定理都有可能用到.18 如图，在四面体ABCD中，E,F分别是线段AD,BD的中点，ABD BCD 90o,EC ,2，AB BD 2，直线EC与平面ABC所成的角 等于30

21、o.(1) 证明：平面EFC平面BCD;(2) 求二面角A CE B的余弦值.A【解析】分析：(1)由a2bc用三角形面积公式求解即可;(2)根据诱导公式以及两角和的余弦公式可求得sinB sinC3，由正弦定理可得4a 1，由余弦定理可得b c2，从而可得结果.详解：(1) b2c2a2bc, 1cosA，即A 60,2(2) /cosAcos sinB sinC cosB cosC由题意，cosBcosC,sinBsinCasinAbcsin BsinCa2b c22bc 1第22页共 23 页1【答案】(i)见证明；(n)-.3【解析】(i)先证得EF FC，再证得EF BD，于是可得E

22、F平面BCD，根 据面面垂直的判定定理可得平面EFC平面BCD. (n)利用几何法求解或建立坐标 系，利用向量求解即可得到所求.【详解】(i)在Rt BCD中，F是斜边BD的中点，1所以FC -BD 1.2因为E,F是AD,BD的中点，1所以EF -AB 1，且EC 2,2所以EF2FC2EC2,所以EF FC.又因为AB BD , EF / / AB,所以EF BD,又BD FC F,所以EF平面BCD, 因为EF平面EFC, 所以平面EFC平面BCD(n)方法一：取AC中点M，连ME，则ME/CD,第23页共 23 页因为CE1AD .2,2所以CD AC.又因为CD BC,AC BC C

23、,所以CD平面ABC,所以ME平面ABC因此ECM是直线EC与平面ABC所成的角.故AC 2MC 2EC cos30o6, 所以CD BC 2.过点B作BN AC于N，则BN平面ACD,过点B作BH EC于H，连接HN，则BHN为二面角A CE B的平面角.因为BE BC EC . 2，所以BHBE HN，BH2BN2f，因此二面角A CE B的余弦值为13方法 如图所示，在平面 BCD 中，作 x 轴丄 BD，以 B 为坐标原点，BD , BA 所在直线为 y轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz因为CD BC 2（同方法一，过程略）则C 1,1,0,A 0,0,2,E 0,1,1且BNAC

24、3所以cos BHNHN 1BH 3第24页共 23 页所以cos m,v：1CE B的余弦值为-3【点睛】利用几何法求空间角的步骤为作、证、求 ”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用. 利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系.19 为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于 2018 年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160 度以下 洽 2160 度)，执行第一档电价 0.5653 元/度；第二

25、阶梯电量：年用电量2161 至 4200 度(含 4200 度)，执行第二档电价 0.6153 元/度；第三阶梯电量：年用电量4200 度以上，执行第三档电价0.8653 元/度某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取1 0 户 ， 统 计 其 同 一 年 度 的 用 电 情 况 ， 列 表 如 下 表 :用户编号12345678910年用电量(度)1000126014001824218024232815332544114600由图形得二面角A CEB为锐角,UJVuuv所以CE= 1,0,1,BEuuv0,1,1,AE0,1, 1,设平面ACE的法向量mXi,y乙,uuvv山AEm 0刚y1则

26、uuvv，即CE?m 0Xi0，取X1z 01Zi1,得m 1,1,1设平面BCE的法向量nX2, y2,Z2JJvv山BEn 0则Juvv,CE n 0即y2X2z20z 0，取X21,得n1, 1,1因此二面角A第25页共 23 页【答案】（1） 2822.38 元（2）见解析（3） k = 4.【解析】（1）根据各编号为 10 的用户所用电量，并结合每档的电价可得所用的电费.（2） 由题意得X的所有可能取值为 0, 1, 2，3，4,然后分别求出X的每个值的概率可得分布列，然后可得期望.（3）由题意X B 10,-，故5k10 k23P X kC1k0,k 0,1,2,3L ,10,由此

27、列出不等式，解不等式可得k55的范围，从而可得k的值.【详解】（1）因为第二档电价比第一档电价多 0.05 元/度，第三档电价比第一档电价多 0.3 元/度, 编号为10 的用电户一年的用电量是 4 600 度，则该户本年度应交电费为 4 600 0.565 3+ （4 200 - 2 160） .05 + （4 600 4200） .3= 2822.38（元）.取 0, 1, 2, 3, 4.c：c6C0故X的分布列为X01234p183411421735210（2）设取到第二阶梯电量的用户数为X，可知第二阶梯电量的用户有4 户，贝 yX可PX 0浑丄PX 1C1014CC3crc；c23C

28、107c：c0C：0121018所以E X 01 -1421c 3c 4182 -3 -4 -7352105（3）由题意可知从全市中抽取X B 10,-，可知5k10 kP X kC；0-55k0,1,2,10 户的用电量为第一阶梯，满足第26页共 23 页故k 4.【点睛】本题考查离散型随机变量的的分布列，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新，对于此类考题，要注意认真审题，对二项分布的正确判读是解题的关键，属于一般难度题型.220 .已知抛物线 C:y=2px 经过点P(1, 2).过点 Q (0, 1)的直线 I

29、与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N .(I)求直线 I 的斜率的取值范围；uuuvuuu/ uuivuuv1 1(n)设 O 为原点，QM QO,QN QO，求证：为定值.【答案】(1)取值范围是(-卩-3)U(-3, 0)U(0,1)(2)证明过程见解析【解析】【详解】分析：(1)先确定 P,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l 的斜率的取值范围，最后根据 PA, PB 与 y 轴相交，舍去 k=3, (2)先设 A (X1, y1), B (x2,2k 41y2),与抛物线联立，根据韦达定理可得X1X2

30、,X1X2 再由kkuuuv uuv uuiv LUVQM = QO,QN = QO得=1yM,1y”.利用直线 PA, PB 的方程分别得点 M , N 的纵坐标，代入化简-可得结论.详解：解：(I)因为抛物线 y2=2px 经过点 P (1 , 2),所以 4=2p,解得 p=2，所以抛物线的方程为y2=4x.k23k 12C105C1055由k10 kk 1k23k 12C10C10555& /口1722解得一k55Q k N*所以当k4时概率最大，3511 k35k10 kk 1第27页共 23 页由题意可知直线 I 的斜率存在且不为 0,设直线 I 的方程为 y=kx+1(k

31、0.第28页共 23 页, y 4x +22由得k x 2k 4 x 10.y kx 122依题意2k 44 k210，解得 k0 或 0k x1x12，利用基本不等式得出2ln(、.芯)2，然后构造 G（x） Inx ，利用导数分析函数y G x的单x调性，证明出G(. NX?)G，结合单调性得出x1X216.第31页共 23 页X1所以InX2X1设G(X)InX2，则G (X)丄4 0，G(X)2InX在(0,)单调递增,XXXX又G(4) In 4-2In 212 0.690.51，42G(.,XiX2)In X1X221 In 42GW，XLX24X24,因此XLX216.【点睛】化能力，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题InX2In x1x2x1x2Xi即In X1X2x1x2X2X2X-IX2X1X2XX2X2XiX2,Xi不妨设0X|X2，则1，又令hXXi2X1InX,X1，X1所以hX在 1,上单调递增，hXh 10,所以In X|X2X1X2X2X1In邑X1X2XLXXiIn匹Xi2XLX2又InXLX2XLX2InX,X4 .X1X2XLX22In( X1X2)X1X2 所以2In( X1X2)4XLX22，即In( X1X2)本题考查了利同时考查利用导数证明不等式，考查了等价转第3