2015届高考数学全程复习知识点同步学案：第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 命题及其关系、充要条件

1、第 3 讲命题及其关系、充要条件1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题若原命题为“若 p，则 q”，则其逆命题是若 q，则 p；否命题是若綈 p，则綈 q；逆否命题是若綈 q，则綈 p(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件(1)“若 p，则 q”为真命题，记作：pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件(2)如果既有 pq，又有 qp，记作：pq

2、，则 p 是 q 的充要条件，q 也是 p 的充要条件做一做1设 a，b 是向量，命题“若 ab，则有|a|b|”的逆命题是()A若 ab，则|a|b|B若 ab，则|a|b|C若|a|b|，则 abD若|a|b|，则 ab答案：D2命题“若4，则 tan1”的逆否命题是()A若4，则 tan1B若4，则 tan1C若 tan1，则4D若 tan1，则4答案：C3(2014高考浙江卷)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为菱形”是“ACBD”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 A.当四边形 ABCD 为菱形时，

3、 必有对角线互相垂直， 即 ACBD.当四边形 ABCD中 ACBD 时，四边形 ABCD 不一定是菱形，还需要 AC 与 BD 互相平分综上知， “四边形 ABCD 为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件1辨明两个易误点(1)易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论(2)注意区别 A 是 B 的充分不必要条件(AB 且 BA)； 与 A 的充分不必要条件是 B(BA 且 AB)两者的不同2充要条件常用的三种判断方法(1)定义法：直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假(2)等价法：利用 AB 与綈 B綈 A，BA 与綈 A綈 B，AB 与綈

4、 B綈 A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 AB，则 A 是 B 的充要条件做一做4 “在ABC 中，若C90，则A、B 都是锐角”的否命题为：“_”解析：原命题的条件：在ABC 中，C90，结论：A、B 都是锐角否命题是否定条件和结论即“在ABC 中，若C90，则A、B 不都是锐角”答案：在ABC 中，若C90，则A、B 不都是锐角5 “1x2”是“x0，则函数 f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若 a0，则 ab0”的否命题是“若

5、a0，则 ab0”；命题“若 x，y 都是偶数，则 xy 也是偶数”的逆命题为真命题解析：对于，若 log2a0log21，则 a1，所以函数 f(x)logax 在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是“若 xy 是偶数，则 x、y 都是偶数”，是假命题，如 134 是偶数，但 3和 1 均为奇数，故不正确综上可知正确的说法有.答案：考点二_充分条件、必要条件的判断(高频考点)_充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点常以选择题、填空题的形式出现，作为一个重要载体，考查的数学知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面高

6、考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题(1)(2014高考广东卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，则“ab”是“sin Asin B”的 ()A充分必要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D非充分非必要条件(2)(2015郑州市第二次质量预测)函数 f(x)x|xa|b 是奇函数的充要条件是()Aab0Bab0Ca2b20Dab(3)给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数

7、f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件； “m3”是“直线(m3)xmy20 与直线 mx6y50 互相垂直”的充要条件；设 a， b， c 分别是ABC 三个内角 A， B， C 所对的边， 若 a1， b 3， 则“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_.充要条件解析(1)由正弦定理， 知 ab2Rsin A2Rsin B(R 为ABC 外接圆的半径)sinAsinB故选 A.(2)f(x)为奇函数且 xR，故 f(0)0b0.又 f(x)f(x)，即x|xa|x|xa|，得|xa|xa|，|xa|xa|恒成立，需 a0.综上可知，ab0，即 a2b20，故选

8、 C.(3)对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan1是等比数列，但当数列anan1为等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列 1，3，2，6，4，12，8显然不是等比数列，而相应的数列 3，6，12，24，48，96是等比数列，因此正确；对于，当 a2 时，函数 f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正确；对于，当 m3 时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有 m3，也可能 m0.因此不正确；对于，由题意得basin Bsin A 3，若 B60，则 sin A12，注意到 ba，故 A30，反之，当 A30时，有 sin B32，由于 ba，所以 B6

9、0或 B120，因此正确综上所述，真命题的序号是.答案(1)A(2)C(3)规律方法充要条件问题的解题策略：(1)判断指定条件与结论之间的关系解决此类问题应分三步：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，从结论推条件；确定条件和结论是什么关系(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性(3)充要条件与命题真假性的交汇问题依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可2.(1)已知 p：“a，b，c 成等比数列”，q：“b ac” ，那么 p 是 q 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既

10、不充分也不必要条件(2)(2015北京东城区质检)若集合 Ax|x25x40， Bx|xa|4Ca1Da1解析：(1)选 D.若 a，b，c 成等比数列，则有 b2ac，所以 b ac，所以充分性不成立当 abc0 时，b ac成立，但此时 a，b，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件(2)选 A.由题意知 Ax|1x4，Bx|1ax1a，若 BA，则1a4，1a1，解得 2a3，所以必要性不成立反之，若 2a4 是命题为真的充分不必要条件考点三_充分条件、必要条件的应用_已知集合 Mx|x5，Px|(xa)(x8)0(1)求实数 a 的取值范围，使它成

11、为 MPx|5x8的充要条件；(2)求实数 a 的一个值，使它成为 MPx|5x8的一个充分但不必要条件解(1)由 MPx|5x8，得3a5，因此 MPx|5x8的充要条件是a|3a5(2)求实数 a 的一个值，使它成为 MPx|5x8的一个充分但不必要条件，就是在集合a|3a5中取一个值，如取 a0，此时必有 MPx|5x8；反之，MPx|5x8未必有 a0，故“a0”是“MPx|55.实数 a 的取值范围为(5，)规律方法利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验其思维方式是：(1)若 p 是

12、q 的充分不必要条件，则 pq 且 qp；(2)若 p 是 q 的必要不充分条件，则 pq，且 qp；(3)若 p 是 q 的充要条件，则 pq.3.已知 p：12x1， q： (xa)(xa1)0， 若 p 是綈 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_解析：綈 q：(xa)(xa1)0axa1.由 p 是綈 q 的充分不必要条件知：a12且 a110a12.答案：0，12,学生用书 P9)方法思想等价转化思想在充要条件中的应用已知 p：2x10，q：x22x1m20(m0)，且綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，求实数 m 的取值范围解綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，p 是

13、 q 的充分而不必要条件，由 q：x22x1m20(m0)，得 1mx1m，设 q：Qx|1mx1m，p：Px|2x10，p 是 q 的充分而不必要条件，PQ，m0，1m0，1m2，1m10，即 m9 或 m9.m9.名师点评本题将“綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件”转化为“p 是 q 的充分而不必要条件”；将 p、q 之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用1.(2013高考山东卷)给定两个命题 p、q.若綈 p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是綈 q 的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必

14、要条件解析： 选 A.由 q綈 p 且綈 pq 可得 p綈 q 且綈p， 所以 p 是綈 q 的充分不必要条件2已知命题 p：x22x30；命题 q：xa，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则a 的取值范围是()A1，)B(，1C1，)D(，3解析：选 A.由 x22x30，得 x1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件故 a1.1命题“若 x2y2，则 xy”的逆否命题是()A “若 xy，则 x2y，则 x2y2”C “若 xy，则 x2y2”D “若 xy，则 x2y2”解析：选 C.根据原命题和逆否命

15、题的条件和结论的关系得命题“若 x2y2，则 xy”的逆否命题是“若 xy，则 x2y2” 2设集合 AxR|x20，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：选 C.由题意得 ABxR|x2，CxR|x2，故 ABC，则“xAB”是“xC”的充要条件3下列命题中为真命题的是()A命题“若 x1，则 x21”的否命题B命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题C命题“若 x1，则 x2x20”的否命题D命题“若 x21，则 x1”的逆否命题解析：选 B.对于选项 A，命题“若 x1，则 x21”的否命题为“若 x1，则 x21”

16、 ，易知当 x2 时，x241，故选项 A 为假命题；对于选项 B，命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题为“若 x|y|，则 xy”，分析可知选项 B 应为真命题；对于选项 C，命题“若 x1，则 x2x20”的否命题为“若 x1，则 x2x20” ，易知当 x2 时，x2x20，故选项 C 为假命题； 对于选项 D， 命题“若 x21， 则 x1”的逆否命题为“若 x1， 则 x21，故选项 D 为假命题综上可知，选 B.4命题“若ABC 有一内角为3，则ABC 的三内角成等差数列”的逆命题()A与原命题同为假命题B与原命题的否命题同为假命题C与原命题的逆否命题同为假命题D与原命题同为真命

17、题解析：选 D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC 的三内角成等差数列，则ABC 有一内角为3” ，它是真命题5在斜三角形 ABC 中，命题甲：A6，命题乙：cos B12，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A.因为ABC 为斜三角形，所以若 A6，则 B3且 B2，所以 cos B12且 cos B0；反之，若 cos B12，则 B3，不妨取 B6，A4，C712，满足ABC为斜三角形，所以选 A.6与命题“若 aM，则 bM”等价的命题是_解析：原命题与其逆否命题为等价命题答案：若 bM，则 aM7有下列几个命题：“若 ab，

18、则 a2b2”的否命题；“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；“若 x24，则2x2”的逆否命题其中真命题的序号是_解析：原命题的否命题为“若 ab，则 a2b2” ，错误原命题的逆命题为：“若 x，y 互为相反数，则 xy0”，正确原命题的逆否命题为“若 x2 或 x2，则 x24” ，正确答案：8 已知： xa，： |x1|1.若是的必要不充分条件， 则实数 a 的取值范围为_解析：xa，可看作集合 Ax|xa，：|x1|1，0 x2，可看作集合 Bx|0 x2又是的必要不充分条件BA，a0.答案：(，09(2015河南开封调研)已知命题 p：“若 ac0，则一元二次方程 ax2

19、bxc0 没有实根”(1)写出命题 p 的否命题；(2)判断命题 p 的否命题的真假，并证明你的结论解：(1)命题 p 的否命题为：“若 ac0，则一元二次方程 ax2bxc0 有实根”(2)命题 p 的否命题是真命题证明如下：ac0b24ac0一元二次方程 ax2bxc0 有实根该命题是真命题10指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件？(1)p：ab2，q：直线 xy0 与圆(xa)2(yb)22 相切；(2)p：|x|x，q：x2x0；(3)设 l，m 均为直线，为平面，其中 l，m，p：l，q：lm.解：(1)若 ab2，则圆心(a，b)到直线 xy0 的距离 d|ab|2 2r，所

20、以直线与圆相切反之，若直线与圆相切，则|ab|2，ab2，故 p 是 q 的充分不必要条件(2)若|x|x，则 x2xx2|x|0 成立反之，若 x2x0，即 x(x1)0，则 x0 或 x1.当 x1 时，|x|xx，因此，p 是 q 的充分不必要条件(3)llm，但 lml，p 是 q 的必要不充分条件.1已知向量 a(sin，cos)，b(cos，sin)，且 a 与 b 的夹角为，则“|ab|1”是“60”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 C.由条件可知|a|b|1，若|ab|1，则(ab)21，即 a2b22ab1，所以 112cos1，即 cos12，故60.同理，若60，则|ab|1 也成立故“|ab|1”是“60”的充分必要条件2(2015浙江省名校联考)一次函数 ymnx1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()Am1，且 n1Bmn0，且 n0Dm0，且 n0，1n0，n0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为 nm30”是“sin A12”的充分不必要条件；“函数 f(x)tan(x)为奇函数”的充要条件是“k(kZ)”其中真命题的序号是_(把真命题的序号都填上)解析：“若 x2x60，则 x2”的否命题是“若 x2x60，则 x30”是“sin A12”的必要不充分条件