年江西省抚州市南城一中高三下学期月月考数学试卷（理科）（解析版）

1、2016-2017学年江西省抚州市南城一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1若复数（1+ai）22i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A0B±1C1D12设全集U=R，集合A=x|x22x30，B=x|x10，则图中阴影部分所表示的集合为（）Ax|x1或x3Bx|x1或x3Cx|x1Dx|x13一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆则该几何体的体积为（）ABCD4下列结论正确的是（）

2、A命题“如果p2+q2=2，则p+q2”的否命题是“如果p+q2，则p2+q22”B命题p：x，ex1，命题q：xR，x2+x+10，则pq为假C若（）n的展开式中第四项为常数项，则n=5D“若am2bm2，则ab”的逆命题为真命题5已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）A7B8C9D106已知、为单位向量，|=|，则在的投影为（）ABCD7已知等差数列an的公差d0，Sn为其前n项和，若a2，a3，a6成等比数列，且a10=17，则的最小值是（）ABCD8为防止部分学生考试

3、时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A150B180C200D2809已知f（x）=sin（x+），其中0，（0，），f（x1）=f（x2）=0，|x2x1|min=f（x）=f（），将f（x）的图象向左平移个单位得G（x），则G（x）的单调递减区间是（）ABCD10双曲线C： =1（a0，b0）的两条渐近线互相垂直，F1，F2分别为C的左，右焦点，P点在该双曲线的右支上且到直线x=a的距离为3，若|PF1|+|PF2|=8，则双曲线的标准方程为（）ABCD以上答案都不对11已知实数x，y满足

4、约束条件，如果目标函数z=x+ay的最大值为，则实数a的值为（）A3BC3或D3或12已知函数f（x）=的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围是（）A（，2）B（，2C22在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：cos（）=，C3：=2sin（1）求曲线C1与C2的交点M在直角坐标系xoy中的坐标；（2）设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值23已知函数f（x）=|2xa|x1|（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）存在x时，使得不等式f（x）0成立，求实数a的取值范围201

5、6-2017学年江西省抚州市南城一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1若复数（1+ai）22i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A0B±1C1D1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值【解答】解：（1+ai）22i=1a2+2ai2i，（1+ai）22i是纯虚数，即a=1故选：D2设全集U=R，集合A=x|x22x30，B=x|x10，则图中阴影部分所表示的集合为（）Ax|x1或x3B

6、x|x1或x3Cx|x1Dx|x1【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算【分析】由阴影部分表示的集合为U（AB），然后根据集合的运算即可【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为U（AB），由x22x30得1x3，即A=（1，3），B=x|x1，AB=（1，+），则U（AB）=（，1，故选D3一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆则该几何体的体积为（）ABCD【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】首先由几何体还原几何体，是下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，由此计算体积【解答】解：由几何体的

7、三视图得到几何体为组合体，下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，所以几何体的体积为2×2×2+=8+故选C4下列结论正确的是（）A命题“如果p2+q2=2，则p+q2”的否命题是“如果p+q2，则p2+q22”B命题p：x，ex1，命题q：xR，x2+x+10，则pq为假C若（）n的展开式中第四项为常数项，则n=5D“若am2bm2，则ab”的逆命题为真命题【考点】21：四种命题【分析】根据四种命题判断A，D，根据命题的真假判断B，根据二项式定定理判断C【解答】解：A：根据命题的否命题，可知命题“如果p2+q2=2，则p+q2”的否命题是“如果p2+q22，则p+q2”；

8、故A错误B：命题p：x，ex1，为真命题，命题q：xR，x2+x+10，为假命题，则pq为真，故B错误，C：由于（）n的展开式中第四项为T4=（）3Cn3x是常数项，故=0，解得n=5，故C正确，D：若am2bm2，则ab”的逆命题为“若ab，则am2bm2，当m=0时则不成立，故D错误，故选：C5已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）A7B8C9D10【考点】EF：程序框图【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（m，n）的值，由题意N*，从而得解【解答】解：模拟

9、执行程序框图，可得：n=2，i=0，m=48，满足条件n48，满足条件MOD（48，2）=0，i=1，n=3，满足条件n48，满足条件MOD（48，3）=0，i=2，n=4，满足条件n48，满足条件MOD（48，4）=0，i=3，n=5，满足条件n48，不满足条件MOD（48，5）=0，n=6，N*，可得：2，3，4，6，8，12，16，24，48，共要循环9次，故i=9故选：C6已知、为单位向量，|=|，则在的投影为（）ABCD【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】对式子|=|两边平方求出，从而可得|和，代入投影公式计算即可【解答】解：|=|，（）2=2（）2，即2+2=44， =|=，

10、 =，在的投影为=故选D7已知等差数列an的公差d0，Sn为其前n项和，若a2，a3，a6成等比数列，且a10=17，则的最小值是（）ABCD【考点】8K：数列与不等式的综合；88：等比数列的通项公式【分析】根据题意，由等差数列的通项公式可得（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），解可得a1、d的值，进而讨论可得a1、d的值，即可得=，令且，解出n的值，解可得n=4时，取得最小值；将n=4代入=中，计算可得答案【解答】解：等差数列an的公差d0，a2，a3，a6成等比数列，且a10=17，（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），a10=a1+9d=17解得d=2，a1=1或d=0，

11、a1=17（舍去）当d=2时，Sn=n+=n2+2n，则=，令且，解可得2+n3+，即n=4时，取得最小值，且=；故选：A8为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A150B180C200D280【考点】D3：计数原理的应用【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有×A3

12、3=90种所以共有150种不同的方法故选：A9已知f（x）=sin（x+），其中0，（0，），f（x1）=f（x2）=0，|x2x1|min=f（x）=f（），将f（x）的图象向左平移个单位得G（x），则G（x）的单调递减区间是（）ABCD【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换；H5：正弦函数的单调性【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f（x）的解析式，利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得G（x）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G（x） 的单调递减区间【解答】解：f（x）=sin（x+），其中0，（0，），f（x1）=f（x2）=0，|x2x1|min=，=

13、，=2，f（x）=sin（2x+）又f（x）=f（），f（x）的图象的对称轴为x=，2+=k+，kZ，=，f（x）=sin（2x+）将f（x）的图象向左平移个单位得G（x）=sin（2x+）=cos2x 的图象，令2k2x2k+，求得kxk+，则G（x）=cos2x 的单调递减区间是，故选：A10双曲线C： =1（a0，b0）的两条渐近线互相垂直，F1，F2分别为C的左，右焦点，P点在该双曲线的右支上且到直线x=a的距离为3，若|PF1|+|PF2|=8，则双曲线的标准方程为（）ABCD以上答案都不对【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的渐近线互相垂直得到双曲线为等轴双曲线，结合双

14、曲线的定义求出|PF2|=4a，利用两点间的距离公式进行求解即可【解答】解：双曲线C： =1（a0，b0）的两条渐近线互相垂直，双曲线为等轴双曲线，则a=b，c=a，则|PF1|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=8，得|PF2|=4aca，即0c4，则a4，得a2，设P（x，y），P点在该双曲线的右支上且到直线x=a的距离为3，x+a=3，得x=3a，代入=1得y2=x2a2=（3a）2a2，由|PF2|=4a得|PF2|2=（4a）2，即（xc）2+y2=（4a）2，即（3aa）2+=（3a）2a2=（4a）2，整理得3a216a+20=0得a=2或a=（舍），则双曲线的方程为，故选

15、：A11已知实数x，y满足约束条件，如果目标函数z=x+ay的最大值为，则实数a的值为（）A3BC3或D3或【考点】7C：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，分类讨论代入目标函数求得a值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组分别解得：A（），B（2，2），C（3，）化目标函数z=x+ay为y=当a0时，由图可知，当直线y=过A或C时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为若过A，则，解得a=3，符合题意；若过C，则，解得a=，不合题意；当a0时，由图可知，当直线y=过B或C时，直线在y轴上的截距最小，z

16、有最大值为若过B，则，解得a=，符合题意；若过C，则，解得a=，不合题意a值为3或故选：D12已知函数f（x）=的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围是（）A（，2）B（，2C【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】由题意，|CM|×，即可求出实数t的取值范围【解答】解：由题意圆C：（x1）2+（y4）2=10和点M（5，t），若圆C上存在两点A，B，使得MAMB，可得|CM|×，（51）2+（t4）220，2t6，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17设等差数列an的前n项和为Sn，且S5=a5+a6=

17、25（1）求an的通项公式；（2）若不等式2Sn+8n+27（1）nk（an+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的通项公式（2）求出Sn，从而3n2+3n+27（1）nk3n，由此能求出实数k的取值范围【解答】解：（1）等差数列an的前n项和为Sn，且S5=a5+a6=25，解得a1=1，d=3，an的通项公式an=1+（n1）×3=3n4（2）a1=1，d=3，=不等式2Sn+8n+27（1）nk（an+4）对所有的正整数n都成立，3n2+

18、3n+27（1）nk3n，（1）nkn+1对所有的正整数n都成立，当n为偶数时，kn+1，设F（n）=n+1，F（n）min=F（4）=4+=k当n为奇数时，kn+1，k（n+1），（n+1）21=7，当且仅当n=，即n=3时，取等号，实数k的取值范围是（7，）18时下，租车已成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来已知甲、乙两人租车自驾到黄山游玩，某小车租车点的收费标准是：不超过两天按照300元计算；超过两天的部分每天收费标准为100元（不足一天部分按1天计算）有甲、乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过两天还车的概率分别为，；2天以上且不超过3天还车的概率分

19、别为，；两人租车时间都不会超过4天（I）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；（II）设甲、乙两人所付租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E（）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（）由甲所付租车费用大于乙所付租车费用，知甲租车3天，乙租车2天或甲租车4天，乙租车2天或3天，由此能求出甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率（2）由已知得可能取值为600，700，800，900，1000，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望E（）【解答】解：（）甲所付租车费用大于乙所付租车费用，甲租车3天，乙租车2天或甲租车4天，乙租车2天或3

20、天，甲、乙不超过两天还车的概率分别为，2天以上且不超过3天还车的概率分别为，两人租车时间都不会超过4天，甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率：P=（2）由已知得可能取值为600，700，800，900，1000，P（=600）=，P（=700）=，P（=800）=+=，P（=1000）=（1）（1）=，P（=900）=1=，的分布列为： 600700 800 900 1000 P E=+=75019如图，在圆柱中，A，B，C，D是底面圆的四等分点，O是圆心，A1A，B1B，C1C与底面ABCD垂直，底面圆的直径等于圆柱的高（）证明：BCAB1；（）（）求二面角A1BB1D的大小；（）求异面直

21、线AB1和BD所成角的余弦值【考点】LM：异面直线及其所成的角；MT：二面角的平面角及求法【分析】（）证明：BC平面A1B1BA，即可证明BCAB1；（）（）以C为原点，以、为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz，不妨设圆柱的高为2，求出平的法向量，即可求二面角A1BB1D的大小；（）求出向量的坐标，即可求异面直线AB1和BD所成角的余弦值【解答】（）证明：因为B1B平面ABCD，且BC平面ABCD，所以BCB1B，又因为在底面圆O中，ABBC，ABB1B=B，所以BC平面A1B1BA，又因为BA1平面A1B1BA，所以BCAB1（）解：（）由圆柱性质知CB、CD、CC1两两垂直以

22、C为原点，以、为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz，不妨设圆柱的高为2则C（0，0，0），O（1，1，0）6分所以平面A1B1B的一个法向量是平面BB1D的一个法向量是所以由图知二面角A1BB1D是锐二面角，所以它的大小是（）由题意得，所以，所以 20已知椭圆，直线经过的右顶点和上顶点（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，过点G（2，0）作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点设直线FM和FN的斜率为k1，k2求证：k1+k2为定值；求FMN的面积S的最大值【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（1）在方程中，分别令x=0，y=0，可得a，b，即可得出（2）设直线MN的方程为y

23、=k（x2）（k0）代入椭圆方程得（1+2k2）x28k2x+8k22=0设M（x1，y1），N（x2，y2），利用斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系即可证明因为MN直线过点G（2，0），设直线MN的方程为y=k（x2），即kxy2k=0代入椭圆方程得（1+2k2）x28k2x+8k22=0由判别式0解得k范围利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）在方程中，令x=0，则y=1，所以上顶点的坐标为（0，1），所以b=1；令y=0，则，所以右顶点的坐标为，所以所以，椭圆的方程为（2）设直线MN的方程为y=k（x2）（k0）代入椭圆方程得（1+2k2）x

24、28k2x+8k22=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则=，所以k1+k2=0，为定值因为MN直线过点G（2，0），设直线MN的方程为y=k（x2），即kxy2k=0代入椭圆方程得（1+2k2）x28k2x+8k22=0由判别式=（8k2）24（2k2+1）（8k22）0解得点F（1，0）到直线 MN的距离为h，则=，令t=1+2k2，则，所以时，S的最大值为21已知函数f（x）=2xlnx（xa）2（1）若f（x）在定义域上为单调递减函数，求函数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得f（x）0恒成立且f（x）有唯一零点，若存在，求出满足a（n，n+1），nZ的n的值；若不存在，请说

25、明理由【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3R：函数恒成立问题【分析】（1）求导，由题意可知：f（x）0恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性与导数的关系，即可求得函数a的取值范围；（2）求导，当a0时，f（x）在；（2）当x（0，1），xlnx0，f（x）=2xlnx（xa）20恒成立，当x（1，+），由（1）可知，f（x）在2=2x0lnx0（1+lnx0）2，设（x）=2xlnx（1+lnx）2，则（1）=10，（e）=2（2e）0，当且x1时，（x）=2（lnx+1）（1）0，则（x）在（1，e）上有唯一零点x0，即满足方程组的x0唯一，且x0（1，e），设u（x）=x1lnx（x1），则u（x）=10，则u（x）在（1，+）上单调递增，则0=u（1）a=u（x0）u（e）=e21，即满足方程组的a（0，1），则n=0，综上所述，存在n=0即a（0，1），使得f（x）0恒成