一次函数知识点与范例

1、第十四章 一次函数14.1 变量与函数1、变量与常量的意义在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）。数值始终不变的量为常量。友情提醒：在某一个变化过程中，变量、常量都可能有多个。常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）。例1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？1、在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量 m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度L（单位：cm）？2、用总长为60m的篱笆围成矩形场

2、地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；3、某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.4、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式.2、函数的概念一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。注意：1、对函数概念

3、的理解，主要应该抓住以下三点：有两个变量；一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应。2、函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。3、自身先改变的是自变量,随之而变的是函数。例1、判断下列变量之间是不是函数关系：（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高。例2、一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。（1）写出表示y与x的函数关系式。（2）指出自变量x的取值范围。（3）汽车行驶

4、200km时，油箱中还有多少汽油？解：（1）y=50-0.1x （2）0x500 （3）x=200, y=303、函数的表示方法函数的表示方法为解析法、列表法和图形法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。解析法：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，该等式简称解析式优点：函数关系清楚，容易由自变量的值，求出对应的函数值（反之也可），便于利用解析式来研究函数的性质。列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系。如：银行的利息表，三角函数表，平方根表。 优点：不用计算，就可求出函数值。图像法：用图像表示两变量之间的关系如：医务室的身高图，气象台的气温变化图。我国人口出生率变化的曲线图。优点：形象直

5、观地表示出函数的变化情况。例1 一水库的水位在最近5消耗司内持续上涨，下表记录了这5个小时水位高度.由记录表推出这5个小时中水位高度y(单位米)随时间t （单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；据估计这种上涨的情况还会持续2个小时，预测再过2个小时水位高度将达到多少米？解：（1）y=0.05t+10 (0t7)（2）当t=5+2=7时，y=0.05t+10=10.35预计2小时后水位将达到10.35米。4、函数图象的意义一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。例1 下面的图象反映的过程

6、是小明从家去菜地浇水，有去玉米地锄草，然后回家。其中x表示时间，y表示小名离家的距离。根据图象回答问题：菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？；小明给菜地浇水用了多少时间？菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？小明给玉米锄草用了多少时间？玉米地离小名家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？5、画函数图像的一般步骤1、列表: 2、描点: 3、连线:。6、函数自变量的取值范围：【三招确定“函数自变量取值范围”】一个函数关系式的自变量取值是有一定范围的，自变量取值范围必须使关系式或题中条件有意义。那么如何才能准确地确定自变量的取值范围呢?下面介绍三种方法:第一招: 必须使含自变

7、量的代数式有意义.解析式是整式时,自变量取值范围是全体实数.例如:指出下列各函数的自变量取值范围: y = x2-1 ；y = 3x -2； y =-5x . 解:这三个函数式中,右边的式子都是含自变量x的整式，所以它们的自变量取值范围是全体实数。解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数.例如: 确定下列函数的自变量取值范围:y= ； y= ； y = 解：这三个函数式中，右边的式子都是含自变量x的分式，所以分母不为零时，函数有意义。所以中的x0；中的x-1；中的x1且x-1解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数.例如：确定下列函数的自变量取值范围:y=； y= ；

8、y = ； y=解： x2； 全体实数 ； 即 x0且x1； 全体实数含有零指数、负整指数幂的函数,自变量的取值范围是使底数不为零的实数.例如：确定下列函数的自变量取值范围: y= ； y= 解： x-20， x2 ; 即x-1且x0第二招:必须使实际问题有意义. 例如：一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q（升）与行驶路程s（千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。解：Q = 40 -0.4s 0s10自变量取值范围为0s10第三招:必须使图形存在.例1：A、B、C、D四个人做游戏A、B、C三人站在三个不同的点上构成一个三角形且BAC=40

9、6;，D在ABC内部移动，但不能超越ABC。则D与B、C构成一个三角形，则BDC的度数的取值范围是_. 解:40°BDC180°例2 :已知等腰三角形的周长为20cm， 请写出底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。解：y= 20- 2x 5 x10 例3：已知等腰直角ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米,AC与MN在同一直线上,开始时点A与点N重合.让ABC以每秒2厘米的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠三角形部分的面积y(cm2)与时间t(秒)之间的函数关系式为_.自变量t 的取值范围是_.分析:在移动的过程中,重

10、合部分的三角形也为等腰直角三角形AN=2t , 则MA= 20-2t, 所以解析式可求.由0MA20可确定自变量取值范围解: y= , 自变量t 的取值范围是0t10 14.2一次函数1、正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数例1、写出下列函数的关系式。（）圆的周长L随半径r的大小变化而变化。（）铁的密度为78g/cm3铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化。（）每个练习本的厚度为05cm一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化。（）冷冻一个0的物体，使它每分钟下降2物体的温度（）随冷冻时间t（分

11、）的变化而变化。2、正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx当K>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k），因为两点可以确定一条直线。例2、汽车由天津驶往相距120千米的北京，（千米）表示汽车离开天津的距离，t（小时）表示汽车行驶的时间。如图所示 汽车用几小时可到达北

12、京？速度是多少？ 汽车行驶小时，离开天津有多远？ 当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？ 解法一：用图象解答： 从图上可以看出4个小时可到达 速度=30（千米时） 行驶小时离开天津约为30千米 当汽车距北京20千米时汽车出发了约33个小时 解法二：用解析式来解答： 由图象可知：与t是正比例关系，设S=kt，当t=4时S=120 即120=k×4 k=30S=30t 当t=1时 S=30×1=30（千米） 当S=100时 100=30t t=（小时） 以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点3、一次函数的意义一般地，形如y=kx+b（k、b是常数

13、，k0）的函数，叫做一次函数当b=0时，y=kx+b即y=kx所以说正比例函数是一种特殊的一次函数例、下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？（1）y=-8x （2）y= （3）y=5x2+6 （4）y=-05x-1例、一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加米（1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系它是一次函数吗？（2）求第25秒时小球的速度例、汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围y是x的一次函数吗？解答：（1）（4）是一次函数；（1）又是正比例函数（1）v=2t，它是一次函数

14、（2）当t=25时，v2×25=5所以第25秒时小球速度为5米秒函数解析式：y=50-5x自变量取值范围：0x10y是x的一次函数4、一次函数的性质一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b的绝对值个单位长度而得到（当b0时，向上平移；当b 0时，向下平移）。规律：当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降性质：当k>0时，y随x增大而增大当k<0时，y随x增大而减小b决定直线y=kx+b与y轴交点的坐标（0，b）当b>0时，交点在原点上方当b=0时，交点即原点

15、当b<0时，交点在原点下方例直线y=2x-3与x轴交点坐标为_，与y轴交点坐标为_，图象经过第_象限，y随x增大而_例分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限？（1）k>0 b>0 （2）k>0 b<0 （3）k<0 b>0 （4）k<0 b<0解答：（15，0） （0，-3） 三、四、一 增大（1）三、二、一 （2）三、四、一 （3）二、一、四 （4）二、三、四例3、若函数y=mx-（4m-4）的图象过原点，则m=_，此时函数是_函数若函数y=mx-（4m-4）的图象经过（1，3）点，则m=_，此时函数是_函数例4、若一次函数y=

16、（1-2m）x+3图象经过A（x1、y1）、B（x2、y2）两点当x1< x2时，y1> y2，则m的取值范围是什么？答案：例31 正比例 一次 例4解：当x1<x2时，y1>y2，y随x增大而减小据一次函数性质可知：只有当k<0时，y随x增大而减小 故1-2m<0 m>.b=0k > 0经过一、三象限y随x的增大而增大k < 0经过二、四象限y随x的增大而减小b>0k > 0经过一、二、三象限y随x的增大而增大k < 0经过一、二、四象限y随x的增大而减小b<0k > 0经过一、三、四象限y随x的增大而增大k

17、 < 0经过二、三、四象限y随x的增大而减小5、确定一次函数的解析式待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。 例1、已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式分析：求一次函数解析式，关键是求出k、b值因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得设这个一次函数解析式为y=kx+b因为y=k+b的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以解之，得故这个一次函数解析式为y=2x-1。结论：用待定系数法确定一次函数y=kx+b的

18、解析式的一般步骤是：(l)设所求函数解析式的一般式. (2)将已知条件转化为关于k、b的方程或方程组. (3)解所建立的方程及方程组(4)将所求出的k、b代人一般式，求出解析式.例1. 已知一次函数y=3x-b的图象经过点P(1,1),则该函数图象必经过点( )A.(-1,1) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2)2. 若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，求 b的值3点M（-2，k）在直线y=2x+1上，求点M到x轴的距离d为多少?一次函数(三)例1 小芳以200米分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米分，又匀速跑10分钟试写出这段时间里她跑

19、步速度y（米分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟写y随x变化函数关系式时要分成两部分画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围解：y=我们把这种函数叫做分段函数在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际例2 城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡从城往、两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从城往、两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元现乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨怎样调运总运费最少？通过分析思考，可以发现：，运肥料共涉及4个变量它们都是影

20、响总运费的变量然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来： 若设x吨，则： 由于城有肥料200吨：，200x吨 由于乡需要240吨：，240x吨 由于乡需要260吨：，260200+x吨 那么，各运输费用为： 20x 25（200-x） 15（240-x） 24（60+x） 若总运输费用为y的话，y与x关系为：y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x） 化简得：y=40x+10040 （0x200）由解析式或图象都可看出，当x=0时，y值最小，为10040因此，从城运往乡

21、0吨，运往乡200吨；从城运往乡240吨，运往乡60吨此时总运费最少，为10040元若城有肥料300吨，城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？解题方法与思路不变，只是过程有所不同： x吨 300-x吨 240-x吨 x-40吨反映总运费y与x的函数关系式为：y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）化简：y=4x+10140 （40x300）由解析式可知：当x=40时 y值最小为：y=4×40+10140=10300因此从城运往乡40吨，运往乡260吨；从城运往乡200吨，运往乡0吨此时总运费最小值为10300吨如何确定自变量x的取值范围是40x300的

22、呢？由于城运往乡代数式为x-40吨，实际运费中不可能是负数，而且城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在40吨到300吨之间总结:解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量间的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数这样就可以利用函数知识来解决了14.3用函数观点方程（组）与不等式 1、一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值例1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒