两角差的余弦公式

1、“两角差的余弦公式”教学设计一、教学内容解析 三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上， 是前面所学三 角函数知识的继续与发展， 是培养学生推理能力和运算能力的重要素材 两角差 的余弦公式是 三角恒等变换 这一章的基础和出发点， 公式的发现和证明是本 节课的重点，也是难点由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式的基础 上，通过角的变换得到另一个公式我们可以用“随机、自然进入”的方式选择 其中的一个作为突破口 教材选择两角差的余弦公式作为基础， 其基本出发点是 使公式的证明过程尽量简洁明了， 易于学生理解和掌握， 同时也有利于提高学生 运用向量解决相关问题的意识和能

2、力教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进 行探究，并从简单情况入手得出结果 这样的安排不仅使探究更加真实， 也有利 于学生学会探究、思维发展由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题， 并且可以用不同的途径与方 法解决问题， 因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台， 教师要注 意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析、处理问题，寻找解决问题的 思路二、教学目标解析 1掌握两角差的余弦公式，并能简单运用这个公式求解教材上的练习和习 题2全体学生能理解“探求结果，证明结果”这一常用的探究的步骤；多 数学生能在两角差余弦公式的探究过程中体会以退求进、割补思想、分

3、类讨论、 观察联想等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性3能理解怎样运用向量解决问题，充分认识和感受向量的工具价值；课堂 上能乐于思考和主动探究，并有愉悦的情感体验三、教学过程设计（ 一）提出问题问题 1：观察诱导公式 ， ， ， 我们会发现：当角 变成 +或者 + 时，其 正弦、余弦的三角函数值都与角 的正弦、余弦有关，那大家有没有想过当角 变 成 或者 + 时，其正弦、余弦与 、 的正弦、余弦又有怎样的联系呢？ 设计意图 引导学生从联系的角度与变换的角度自然地提出接近研究水 平的问题，增强学生的问题意识不直接提出先研究 cos( - ) ，是为了使探究更 真实、更自然；

4、 不用教材上的实际问题情境而改为开门见山直奔主题， 是为了不 让学生在情境的理解上花过多的时间，同时离本节课的主题更近( 二)探究问题1明确探究的思路与步骤问题 2：我们应该用怎样的思路和方法进行探究？学生可能会说： 把探究分为两个步骤， 一是探求表示结果； 二是对结果的正 确性加以证明 设计意图 引导学生搞清楚探究的大背景、大思路，学会从宏观到微观、 理性地、有条理地思考和探究问题，避免盲目性2猜想结果问题 3：同学们第一反应这个结果可能是什么？如果有学生提出 sin( + )=sin +sin ，cos( + )=cos +cos ，则引导学生取特 殊值进行验证， 同时分析错误的原因： 正

5、弦、余弦函数名与角之间并不是相乘关 系，因此类比乘法分配律在思维方法上是错误的 设计意图 让学生体验如何用反例进行反驳，同时搞清错误的原因，避 免以后犯类似的错误问题 4：对这个问题，老师也曾猜想 ， , 其中 都是常数但最后发现都不 成立那我们该怎么办呢？引导学生以退求进，先讨论 、 、 + 都是锐角的情况 设计意图 进一步强化学生的猜想与探究意识，同时让学生感受或学会思 维受阻时如何“拐弯”问题 5：当 、 、 +都是锐角时，我们又该怎么办？ 引导学生在直角三角形或单位圆中构造这些角进行讨论问题 6：怎样用 、 的三角函数来表示 sin( + ) ，cos( +)?引导学生构造如下直角三角

6、形，并用割、补的方法得到 sin( +)= =sin cos +cos sin ， cos( +)= =cos cos sin sin 设计意图 让学生感受如何化陌生问题为熟悉问题，如何通过作辅助线， 用“割补法”寻找量与量之间的联系问题 7：那上面两个式子是否对任意角 、 都成立呢？ 引导学生再用非锐角的特殊角或任意角进行验证， 而教师借助事先设计的多 媒体软件，由学生提出任意角进行验证3证明结果问题 8：数学是严谨的，数学结论必须经过严格的逻辑证明现在初步结果 已经出来， 目标和方向已经明确 请大家仔细观察上面两式的构成要素和结构特 征，看看从中会得到什么样的启发？产生怎样的联想？或有什么

7、新的发现？ 设计意图 让学生通过观察，联想到 , 终边与单位圆的交点分别为A(cos ,sin ),B(cos ,sin ), 同时发现 的右边与向量数量积公式的坐标表示 十分 相近，进而联想到 =这样有助于强化“为什么想到”和“怎样想到”，凸显数学思维的自然性 与合理性，并突破思维难点，同时再现“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”这 种真实的探究过程问题 9：如何证明 ？ 设计意图 引导学生关注两个向量的夹角 与 是的联系与区别， 并通过观察 和讨论搞清楚 ，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识，感受 数学思维的严谨性问题 10：时间关系，我们把两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公

8、式的 证明与探究留给大家课外去完成 刚才我们经历了完整、 曲折的探索过程， 回顾 来看，大家有什么启发和感悟？教材为什么要先提出求 cos( - ) ？ 设计意图 引导学生从探究思路、数学思想方法、所用到的数学知识等方面进行回顾与反思，强化学生的思维发展，突出向量的工具价值问题11:两角差的余弦公式有什么特点：引导学生总结公式的特点：左边是两角差的余弦，右边同名三角函数的积 的和.(三) 巩固应用例1利用差角余弦公式求cos15 °的值.引导学生用15° =45° -30。，和15° =60° -45。两种方法求解.巩固练习求值：(1) cos15 ° cos105° +sin15 ° sin 105 ° =.(2) cos( +21° )cos( -24 ° )+sin( +21° )sin( -24 ° )=例2已知是第三象限角，求cos(-)的值.设计说明如果学生基础比较好，这两个例题可以让学生独立完成.同时在完成例2后提出，如果去掉这一条件，又该怎么办？(四) 回顾小结1 .学生小结：引导学生从学到了什么知识、怎