新课标八年级数学竞赛培训第13讲：勾股定理

1、精选优质文档-倾情为你奉上新课标八年级数学竞赛培训第13讲：勾股定理 新课标八年级数学竞赛培训第13讲：勾股定理一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1（2001重庆）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边ABD，连接DC，以DC为边作等边DCEB、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=_2如图所示，在ABC中，AB=5cm，AC=13cm，BC边上的中线AD=6cm，那么边BC的长为_cm3如图，设P是等边ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB的度数是_4如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为_5

2、若ABC的三边a、b、c满足条件：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为_6（2001山东）如图，AD是ABC的中线，ADC=45°，把ADC沿AD对折，点C落在C处，则BC与BC之间的数量关系是BC=_BC7（2008扬州）如图，ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为ABC内一点，将ABP绕点A逆时针旋转后与ACP重合，如果AP=3，那么线段PP的长等于_8如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，ADBC于D，则AD=_9如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且ABC=90°，则四

3、边形ABCD的面积是_cm2二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）10如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（）A等于1米B大于1米C小于1米D不能确定11若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上都不对12（1999广西）如图，在四边形ABCD中，A=60°，B=D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）A4B5C2D13如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成

4、一个直角三角形三边的线段是（）ACD、EF、GHBAB、EF、GHCAB、CD、GHDAB、CD、EF14在锐角三角形ABC中，a=1，b=3，那么第三边c的变化范围是（）A2c4B2c3C2cD2c15如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）ABCD16ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，这三边的高依次为ha、hb、hc，若aha，bhb，则这个三角形为（）A等边三角形B等腰非直角三角形C直角非等腰三角形D等腰直角三角形17如图，RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于

5、G，则CF与GB的大小关系是（）ACFGBBGB=CFCCFGBD无法确定18（2003山东）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A13B19C25D169三、解答题（共12小题，满分0分）19如图，已知P是ABC边BC上一点，且PC=2PB，若ABC=45°，APC=60°，求：ACB的大小20如图，在RtABC中，ACB=90°，C

6、DAB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h求证：21一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由22如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形（1）使三角形三边长为3，；（2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为423已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM24如图，在RtABC中，A=90°，D为斜边BC中点，DEDF，求证

7、：EF2=BE2+CF225如图，已知ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=8，CF=6（1）求证：AEDCFD；（2）求DEF的面积26在ABC中，AB=AC（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP求证：BPCP=AB2AP2；（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论（不必证明）27如图，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，E、F分别是

8、BC上两点，若EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由28如图，ACB=90°，AD是CAB的平分线，BC=4，CD=，求AC的长29（2003烟台）（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图（1）它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）30如图，在四边形AB

9、CD中，ABC=30°，ADC=60°，AD=DC证明：BD2=AB2+BC2新课标八年级数学竞赛培训第13讲：勾股定理参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1（2001重庆）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边ABD，连接DC，以DC为边作等边DCEB、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=1考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理。分析：由等腰直角三角形ABC中，AB=，由勾股定理可知AC=AB=1，再证ADCBDE，从而推出BE=AC=1解答：解：等腰直角三角形ABC中，AB=，AC=AB=1，等边AB

10、D和等边DCE，AD=BD，CD=ED，ADB=CDE，ADC=BDE，ADCBDE，BE=AC=1点评：解决本题的关键是利用三角形全等得到所求线段的转化2如图所示，在ABC中，AB=5cm，AC=13cm，BC边上的中线AD=6cm，那么边BC的长为cm考点：勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析：延长AD到E，使DE=AD=6，连接CE，可证ABDECD，利用勾股定理的逆定理可求AEC=90°，再利用勾股定理，即可求出CD的长，进而求出答案解答：解：延长AD到E，使DE=AD=6，连接CE，BD=CD，ADB=CDE，ABDECD，CE=AB=5，AC2=AE2

11、+CE2即132=122+52，AEC为直角三角形，即E=90°，DEC为直角三角形，CD=，BC=2CD=2（cm），故填点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和勾股定理的逆定理即可解决问题3如图，设P是等边ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB的度数是150°考点：旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理。专题：计算题。分析：将BPC绕点B逆时针旋转60°得BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，则BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，BPE=60°，在AEP中，AE=

12、5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到APE为直角三角形，且APE=90°，即可得到APB的度数解答：解：ABC为等边三角形，BA=BC，可将BPC绕点B逆时针旋转60°得BEA，连EP，如图，BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，BPE为等边三角形，PE=PB=4，BPE=60°，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，AE2=PE2+PA2，APE为直角三角形，且APE=90°，APB=90°+60°=150°故答案为150°点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，

13、对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理4如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为考点：勾股定理。专题：计算题；因式分解。分析：设斜边为y，另一直角边为x，则存在y2x2=19972，题目中要求x、y为整数，根据因式分解可以求出x、y的数值即可解题解答：解：设斜边为y，另一直角边为x，则存在y2x2=19972，即（y+x）（yx）=19972，x，y均为整数得，解得x=，故答案为点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了因式分解的解题方法，本题

14、中运用因式分解法计算x、y是解题的关键5若ABC的三边a、b、c满足条件：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式。专题：计算题。分析：首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高解答：解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，（a5）2+（b12）2+（c13）2=0，a5=0，b12=0，c13=0，a=5，b=12，c=13，52+122=132，ABC是直

15、角三角形，这个三角形最长边上的高为：5×12÷13=故答案为：点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长6（2001山东）如图，AD是ABC的中线，ADC=45°，把ADC沿AD对折，点C落在C处，则BC与BC之间的数量关系是BC=BC考点：翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形。分析：设BD=x，则BC=2x；根据折叠的性质可得，找出对应的边角即可求出解答：解：BD=CD=x，BCD=ADC=45°，可得CDB=90°；故BC=BC点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类

16、问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系7（2008扬州）如图，ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为ABC内一点，将ABP绕点A逆时针旋转后与ACP重合，如果AP=3，那么线段PP的长等于考点：旋转的性质；等腰直角三角形。分析：根据旋转的性质可知PAP是等腰直角三角形，腰长AP=3，则可用勾股定理求出斜边PP的长解答：解：ABP绕点A逆时针旋转后与ACP重合，PAP=BAC=90°，AP=AP=3，PP=3点评：本题考查旋转的性质和直角三角形的性质旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等8如图，已知AB=13，

17、BC=14，AC=15，ADBC于D，则AD=12考点：勾股定理。专题：计算题。分析：由题意知，BD+DC=14，设BD=x，则CD=14x，在直角ABD中，AB是斜边，根据勾股定理AB2=AD2+BD2，在直角ACD中，根据勾股定理AC2=AD2+CD2，列出方程组即可计算x的值，即可求得AD的长度解答：解：BC=14，且BC=BD+DC，设BD=x，则DC=14x，则在直角ABD中，AB2=AD2+BD2，即132=AD2+x2，在直角ACD中，AC2=AD2+CD2，即152=AD2+（14x）2，整理计算得x=5，AD=12，故答案为 12点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运

18、用，考查了学生的方程思想，本题中设BD=x，并且在直角ABD和直角ACD中根据勾股定理计算BD是解题的关键9如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且ABC=90°，则四边形ABCD的面积是36cm2考点：勾股定理；三角形的面积。专题：计算题。分析：连接AC，求证ACD为直角三角形，则ABC的面积=ACAD，ABC面积=ABBC，四边形ABCD的面积等于ABC和ACD面积之和解答：解：连接AC，ABC=90°，AC=5cm，AC2+AD2=CD2，ACD为直角三角形，ACD面积=×AC×AD=30cm2，ABC

19、面积=×AC×BC=6cm2，故四边形ABCD的面积为36cm2，故答案为 36点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中判定ACD是直角三角形是解题的关键二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）10如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（）A等于1米B大于1米C小于1米D不能确定考点：勾股定理的应用。专题：应用题。分析：根据题意画出图形，利用勾股定理求出底端到墙的距离BE与BF的长，滑动的距离即BFBE的值解答：解：如图，AC=EF=10米，AB=8

20、米，AE=1，求CF；B=90°，由勾股定理得，BC=6米，又AE=1，BE=7，EF=10，由勾股定理得，BF=，即7，61故选B点评：此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，做此题时要注意弄清题意，明白是要求梯足又向后移了多少即CF的长，而不是BF的长11若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上都不对考点：三角形。分析：如图，分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况求解解答：解：如图：（1）当AB是30°角所对的边AC的

21、2倍时，ABC是直角三角形；（2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，ABC是钝角三角形所以三角形的形状不能确定故选D点评：解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定12（1999广西）如图，在四边形ABCD中，A=60°，B=D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）A4B5C2D考点：解直角三角形。专题：计算题。分析：分析题意构造一个直角三角形，再根据三角函数求解解答：解：如图，延长AD，BC交于点E，则E=30°CD=3，sinE=sin30°=CD：CE=1：2，CE=6，BE=

22、8，tanA=tan60°=BE：AB=8：AB=，AB=故选D点评：本题通过作辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的概念来求解13如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）ACD、EF、GHBAB、EF、GHCAB、CD、GHDAB、CD、EF考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。专题：网格型。分析：设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形解答：解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=1

23、2+22=5，GH2=22+32=13因为AB2+EF2=GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH故选B点评：考查了勾股定理逆定理的应用14在锐角三角形ABC中，a=1，b=3，那么第三边c的变化范围是（）A2c4B2c3C2cD2c考点：三角形三边关系。分析：题中已知ABC是锐角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，从而可以分两种情况进行分析，从而确定第三边c的变化范围解答：解：当C是最大角时，有C90°cc当B是最大角时，有B90°b2a2+c291+c2c2第三边c的变化范围：2c故选D点评：此题主要考查学生对三角形三边关系的理

24、解及运用，关键是确定最大角15如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）ABCD考点：勾股定理的应用；轴对称的性质。专题：计算题。分析：所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，找到对称轴中一点，使其到各顶点的最远距离相等即可求得覆盖本图形最小的圆的圆心，计算半径可解此题解答：解：如图，得，解得：a=，r=故最小半径为r=故选 D点评：本题考查了正方形各边相等，且各内角均为直角的性质，考查了勾股定理的运用，本题中构建a、r是解题的关键16ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，这三边的高依次为ha、hb、hc，若aha，bh

25、b，则这个三角形为（）A等边三角形B等腰非直角三角形C直角非等腰三角形D等腰直角三角形考点：等腰直角三角形；勾股定理。专题：计算题。分析：分别分析当a=ha时，A最大可能度数，B的最大可能度数，再利用勾股定理即可求出答案解答：解：当a=ha时，A最大可能度数为45°，所以当ahaha时，A45°，同理B45°，故C=180°AB90°，等号当且仅当ABC为等腰直角三角形时成立，故选D点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和勾股定理的理解和掌握，此题要分析各个角的最大度数，所以给此题增加了难度，是一道难题17如图，RtABC中，ACB=90&#

26、176;，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（）ACFGBBGB=CFCCFGBD无法确定考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：用观察和作图的方法可以猜测CF=GB下面只要证明CF=GB即可由条件ACB=90°，AF平分CAB，想到FHAB，垂足为H，连接EH，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG，故有CF=EH=GB，从而得证要证明菱形CEHF，只需证明两对边平行，临边相等，根据菱形的定义即可证明要证平行四边形EHBG，两对边平行即可关于证明EHBC，只需证明AHE=B

27、，通过在RtACD与RtACD中，证明ACD=B、AHE=ACD即可得解答：解：过F做FHAB且交于点H，连接EH，在ACF与AHF中AF平分CAB交CD于E，又AF=AF，ACFAHF，AC=AH，同理在ACE与AHE中，ACEAHE，可知CE=EH，ACE=AHE，在RtACD中，CAD+ACD=90°，在RtABC中，CAB+B=90°，又CAD与CAB为同一角，ACD=B，AHE=B，EHBC，CDAB，FHAB，CDFH，四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，CF=EH，EH=GB，CF=GB故选B点评：本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与

28、判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质难点在于恰当添加辅助线FH、EH，根据题意证明菱形CEHF，平行四边形EHBG此类题学生丢分率较高，需注意18（2003山东）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A13B19C25D169考点：勾股定理。分析：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和

29、，从而不难求得（a+b）2解答：解：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（131）=25故选C点评：注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系三、解答题（共12小题，满分0分）19如图，已知P是ABC边BC上一点，且PC=2PB，若ABC=45°，APC=60°，求：ACB的大小考点：轴对称的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：根据轴对称，角平分线和等边三角形的判定与性质，作C关于AP的对称点C，连接AC、BC、PC，求得BA平分CBC，CA平分MC

30、P，从而求得ACB的大小解答：解：作C关于AP的对称点C，连接AC、BC、PC，则有PC=PC=2PB，APC=APC=60°可证BCP为直角三角形（延长PB到D，使BD=BP，则PD=PC，又CPB=60°，则CPD是等边三角形，由三线合一性质有CBBP，CBP=90°，因为ABC=45°，所以CBA=45°=ABC，所以BA平分CBC所以A到BC的距离=A到BC的距离又因为APC=APC，所以PA平分CPC所以A到PC距离=A到PC（即BC）的距离所以A到BC的距离=A到PC的距离所以A是角平分线上的点，即CA平分MCP所以ACP=MCP=

31、75°=ACB点评：本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质和等边三角形的判定与性质，有一定难度，作出辅助线是本题的关键20如图，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h求证：考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。专题：证明题。分析：要证明，只需证明即可，在直角ABC中根据BD2+CD2=BC2求证解答：证明：在直角ABC中，ACB=90°，CDAB，则ACBADCCDB，=，即=，h2（+）=+=+=1，点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，解本题的关键是求证=，即=，使得+=+21一个直角三角形的边长都是整数，它的

32、面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由考点：一元二次方程的整数根与有理根；勾股定理的逆定理。专题：应用题；分类讨论。分析：假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解解答：解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则，a、b、c均为正整数，ab；不妨设ab，则有a+b+=，两边平方，并整理得a2bab2+2ab=0，消去ab，得ab+2=0，即（a4）（b4）=8，又8=1×8=2×4，解得，则c=13；，解得，则c=10；综

33、上所述，符合条件的直角三角形存在，其边长分别是5、12、13；6、8、10共有2个这样的直角三角形点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组22如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形（1）使三角形三边长为3，；（2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4考点：作图复杂作图。专题：网格型。

34、分析：（1）本题中实际上是长为2宽为2的正方形的对角线长，实际上是长为2宽为1的矩形的对角线的长，据此可找出所求的三角形；（2）可先找出一个直角边为2的等腰直角三角形，然后据此画出平行四边形解答：解：（1）三角ABC为所求；（2）四边形DEFG为所求点评：关键是确定三角形的边长，然后根据边长画出所求的三角形23已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM考点：线段垂直平分线的性质。专题：证明题。分析：先根据垂直平分线的性质，判定AM=BM，再求出B=30°，CAM=90°，根据直角三角形中30

35、度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM=AM=CA即CM=2BM解答：证法1：如答图所示，连接AM，BAC=120°，AB=AC，B=C=30°，MN是AB的垂直平分线，BM=AM，BAM=B=30°，MAC=90°，CM=2AM，CM=2BM证法二：如答图所示，过A作ADMN交BC于点DMN是AB的垂直平分线，N是AB的中点ADMN，M是BD的中点，即BM=MDAC=AB，BAC=120°，B=C=30°，BAD=BNM=90°，AD=BD=BM=MD，又CAD=BACBAD=120°90°=30

36、76;，CAD=C，AD=DC，BM=MD=DC，CM=2BM点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等24如图，在RtABC中，A=90°，D为斜边BC中点，DEDF，求证：EF2=BE2+CF2考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，由于DF=DF，EDF=FDG=90°，DG=DE，可得出EDFGDF，所以EF=FG，同理证出BE=CG，所以要证明EF2=BE2+CF2，只需证明FG2=FC2+CG2即可解答：证明：延长ED到G，使DG=DE，

37、连接EF、FG、CG，如图所示：DF=DF，EDF=FDG=90°，DG=DEEDFGDFEF=FG又D为斜边BC中点BD=DC又BDE=CDG，DE=DGBDECDGBE=CG，B=BCGABCGGCA=180°A=180°90°=90°在RtFCG中，由勾股定理得：FG2=CF2+CG2=CF2+BE2EF2=FG2=BE2+CF2点评：本题考查勾股定理的应用，关键在于找出相应的直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法25如图，已知ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，E、

38、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=8，CF=6（1）求证：AEDCFD；（2）求DEF的面积考点：全等三角形的判定；勾股定理。专题：计算题；证明题。分析：（1）由ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，可得：AD=DC，EAD=C=45°，ADBC即CDF+ADF=90°，又DEDF，可得：EDA+ADF=90°，故EDA=CDF，从而可证：AEDCFD；（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即EDF为等腰直角三角形，在RtAEF中，运用勾股定理可将EF的值求出，进而可求出DE、DF的值，代入SEDF=DE2进行求解解答

39、：（1）证明：在RtABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，DAC=BAD=C=45°，ADBC，AD=DC，又DEDF，ADDC，EDA+ADF=CDF+FDA=90°，EDA=CDF在AED与CFD中，EAD=CDF，AD=CD，EAD=C，AEDCFD（2）解：由（1）知：AE=CF=6，同理AF=BE=8EAF=90°，EF2=AE2+AF2=62+82=100EF=10，又DE=DF，DEF为等腰直角三角形，DE2+DF2=EF2=100，DE=DF=，SDEF=×=25点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理

40、，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等26在ABC中，AB=AC（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP求证：BPCP=AB2AP2；（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论（不必证明）考点：勾股定理的应用。专题：证明题；探究型。分析：（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，可知BP=CP，AB2AP2=BP×BP；（2）成立，过点A作ADBC于D，依然

41、利用勾股定理，借助于平方差公式即可证明；（3）画出图形，利用勾股定理，AP2AB2=DP2BD2=2DCCP+CP2=BCCP+CP2=BPCP解答：解：（1）AB=AC，P是BC的中点，APBCAB2AP2=BP2=BPCP；（3分）（2）如图所示：成立，过点A作ADBC于D，AB=AC，BD=CD在RtABD中，AB2=AD2+BD2在RtAPD中，AP2=AD2+PD2得：AB2AP2=BD2PD2=（BD+PD）（BDPD）=PCBP；（3）如图所示：如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做ADBC，交BC于D，AB=AC，ADBC，BD=CD，在RtABD中，AB2=AD2+BD

42、2，在RtADP中，AP2=AD2+DP2，AP2AB2=（AD2+BD2）（AD2+DP2）=PD2BD2，又BP=BD+DP，CP=DPCD=DPBD，BPCP=（BD+DP）（DPBD）=DP2BD2，AP2AB2=BPCP结论：AP2AB2=BPCP点评：本题主要考查勾股定理的应用，以及等腰三角形性质的掌握27如图，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由考点：旋转的性质；勾股定理。专题：开放型。分析：将ABE绕点A顺时针旋转90°得ACG，根据旋转的性质得AG=AE

43、，CG=BE，1=B，EAG=90°，FCG=ACB+1=ACB+B=90°，根据勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；再根据EAF=45°，易证得AGFAEF，则有FG=EF，即可得到BE、CF、EF之间的数量关系解答：解：BE、CF、EF之间的数量关系为：EF2=BE2+FC2理由如下：BAC=90°，AB=AC，将ABE绕点A顺时针旋转90°得ACG，连FG，如图，AG=AE，CG=BE，1=B，EAG=90°，FCG=ACB+1=ACB+B=90°，FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；又EAF=45°，而EAG=90°，GAF=90°45°=45°