上证180指数的时间序列分析

1、word上证180指数的时间序列研究基于ARIMA模型和GARCH模型姓 名： 陈蓉蓉、杨芷、胡赛龙 学 号： 14212778、14212774、14212775 专 业： 2022应用统计 教 师： 张俊玉 2022年12月21日目 录第一局部：根底背景11.1 上证180指数11.2 ARIMA模型11.3 GARCH模型3第二局部：对上证180指数进行ARIMA建模分析52.1 数据的平稳性检验52.2 白噪声检验72.3 模型识别82.4 模型比拟112.5 残差白噪声检验122.6 模型预测12第三局部：对上证180指数进行GARCH建模分析153.1 原始数据的时序图153.2

2、序列p的柱状图153.3 序列p的平稳性检验163.4 序列p的白噪声检验173.5 模型定阶173.6 模型残差是否存在条件异方差193.7 正态-GARCH滞后阶数选择213.8 模型及其预测22附录：arima模型原程序26.word第一局部：根底背景1.1 上证180指数股票作为一种重要的理财方式越来越为社会群众接受。股票在交易市场上作为交易对象，同其他所有商品一样，有着自己的市场行情和市场价格。不同的是，由于股票的价格受到诸如公司经营状况、市场供求关系、银行利率和参与者的心理因素多方面影响，其波动随着时间存在着很大的不确定性。上证180指数是上海证券交易所对原上证30指数进行调整和更

3、名得到，其样本股选取了所有A股股票中最具市场代表性的180种股票，入选的股票均是一些规模大、流动性好、行业代表性强的股票。该指数不仅在编制方法的科学性、成分选择的代表性和成分的公开性上有所突破，同时也恢复和提升了成分指数的市场代表性，从而能更全面地反映股价的走势，自2002年7月1日起正式发布。作为上证指数系列核心的上证180指数的编制方案，其目的是在于建立一个反映上海证券市场的概貌和运行状况、具有可操作性和投资性、能够作为投资评价尺度及金融衍生产品根底的基准指数。基于上证180指数的以上特性，对其的分析研究以及预测具有明显的实际意义。时间序列作为一种良好的拟合模型及预测方法，在金融、股票、气

4、象预报等众多领域发挥了不可替代的作用。基于此，本文采用ARIMA模型和GARCH模型对上证180指数进行实证研究分析，一是检验这两种模型的有效性，二是为投资者的决策提供一定的依据。1.2 ARIMA模型ARIMA模型是由AR模型和MA模型以及两者的合成ARMA模型的根底上开展而来的。(1) AR模型(auto regression model) 具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，记为AR(p)：(2) MA模型(moving average model) 具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型，记为MA(q)：(3) ARMA模型(auto regression moving averag

5、e model) 具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，记为ARMA(p,q)： 假设，该模型称为中心化ARMA(p,q)模型。(4) ARIMA模型Autoregressive Integrated Moving Average Model 以上的3个模型都是针对平稳时间序列的，而现实生活中很多绝大局部序列都是非平稳的，因而对非平稳序列的分析更普遍更重要。对非平稳时间序列的分析方法通常是将其分为确定性时序和随机时序。常用确实定性时序方法包括趋势分析、季节效应分析和综合分析，在此不再详细展开赘述。事实上，许多非平稳序列差分后会显示出平稳序列的性质，称之为差分平稳序列。对差分平稳序列可以用A

6、RIMA模型拟合，ARIMA模型的结构如下所示：式中： ； ，为平稳可逆ARMA(p,q)模型的自回归系数多项式； ，为平稳可逆ARMA(p,q)模型的移动平滑系数多项式； 为零均值白噪声序列。1.3 GARCH模型(1) ARCH模型Autoregressive conditional heteroskedasticity model在介绍GARCH模型之前，有必要介绍下ARCH模型，即自回归条件异方差模型。其相关性质如下：条件：在时间序列中，给出不同的时点的样本对于不同时点的观测值，得到残差的方差是不同的，故方差随时间给出的条件而变化，即异方差；自回归：残差平方服从AR(p)过程；其中：是

7、一个白噪声，其无条件方差是一个常数，但的条件方差随时间而变化。ARCH模型对参数的限制非常严格，随着ARCH阶数的增加，其对参数的限制更为复杂，在实际的回归过程中，很难满足这样的条件，现在ARCH模型主要是用来检验金融时间序列是否具有条件异方差效应，即ARCH检验。(2) GARCH模型Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity ModelARCH(q)模型是关于的分布滞后模型，为防止的滞后项过多，可采用的滞后项的方法，对于 ARCH(q)式，可给出如下形式：，用GARCH(1，1)表示。其中成为ARCH项，称为GARCH

8、项，表示的条件方差。上式应该满足的条件是：，当，上式变为：所以GARCH模型可以看成是无限阶的ARCH模型。 GARCH模型允许条件方差依赖自身的前期，一般是含有q个ARCH项和p个GARCH项，即：GARCH(p,q):GARCH模型中的参数约束：第二局部：对上证180指数进行ARIMA建模分析由之前的介绍可知，ARIMA模型的实质就是差分运算与ARMA模型的组合。进一步的，在对时间序列进行ARIMA模型建模时，遵循如下的建模步骤：图 2.1：ARIMA模型建模步骤示意图对上证180指数的ARIMA建模，选取了上证指数180从2022年1月2日到2022年12月3日的指数序列，除去周末股市停

9、盘等其他意外状况没有的数据外共225个数据数据来源于wind资讯作为时间序列进行分析，其中前210个数据用于建模，后15个数据用于模型的预测检验。2.1 数据的平稳性检验 首先，绘制数据的时序图以及自相关ACF图和偏自相关PACF图如下：图 2.2：原时间序列时序图及ACF和PACF图由上图可知，可直观地看到该指数的时序图有明显的上升趋势，自相关系数下降地十分缓慢也充分证明了这一点,即原始序列不平稳。因此对数据做一阶和二阶差分，一阶差分仍然未满足平稳性要求，得到二阶差分的时序图如下：图 2.3: 二阶差分的时序图直观上，可以看出二阶差分后的数据已是平稳数据，为了增加说服力，接着对二阶差分数据采

10、用ADF检验和单位根检验来判断该时序的平稳性。图 2.4：ADF检验结果图图 2.5：单位根检验结果图以上两种检验结果都显示了不能接受原假设“存在单位根的结果，因此拒绝该序列存在单位根的原假设，即二阶差分序列是平稳序列。2.2 白噪声检验在证明了上述二阶差分数据为平稳序列后，对其进行白噪声检验。白噪声检验又称为纯随机检验，假设检验的检验定理为Barlett 定理，统计量有Q 统计量和LB 统计量，两者均渐进服从卡方分布。原假设H0为“该序列为白噪声序列，即拒绝原假设时认为序列为非白噪声序列，接受原假设时为不能显著拒绝其的纯随机假定。在R语言中，关于白噪声检验的函数Box.test()只能针对一

11、个特定的阶数进行检验，通过程序对1-12阶延迟皆进行检验，并整合到一个表格，结果如下：图 2.6：白噪声检验结果示意图由上图可知，1-12阶延迟的p值都远小于临界值，显著性十清楚显，因此拒绝原假设，认为该序列是非白噪声序列。综上，在对原时间序列进行二阶差分后，得到了一个平稳且非白噪声序列，根据之前的ARIMA模型建模过程图，此时可以对该序列进行ARIMA模型的拟合。2.3 模型识别 方法1：利用ACF和PACF定阶ARMA模型的根本识别过程如下表所示：表 2.1：ARMA(p,q)模型识别依据模型自相关系数偏自相关系数AR(p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾首先利

12、用该时间序列的ACF和PACF对模型的参数p、q进行定阶，ACF和PACF图如下所示：图 2.7：二阶差分序列的ACF和PACF图由上图可知，该序列的ACF图1阶截尾，PACF图拖尾，因此初步判定该时间序列模型为MA(1)，即原始时间序列为ARIMA(0,2,1)模型。对原始时间序列进行ARIMA(0,2,1)拟合，结果如下列图所示：图 2.8: ARIMA(0,2,1)对原始时间序列拟合结果由此可得，模型为：，此时ma1的系数值小于1，说明该模型所代表的序列是平稳的。进一步用tsdiag()函数对模型的参数进行检验得到下列图。图2.9：ARIMA(0,2,1)模型的参数检验结果图中第二行的A

13、CF 检验说明残差没有明显的自相关性，第三行的Ljung-Box 测试显示所有的P-value>0.1，说明残差为白噪声，由此可知模型合格。 方法2：选择最小AIC时的p、q对p=03，q=03进行全组合并做ARIMA模型拟合，得到各个p、q值所对应的模型AIC值如下列图所示：图2.10：不同的ARIMA模型的AIC值可见当p=2，q=3时模型的AIC值最小为2211.504，因此对原时间序列进行ARIMA(2,2,3)拟合，结果如下列图所示：图2.11：ARIMA(2,2,3)对原始时间序列的拟合结果由此可得模型为：同样对模型进行tsdiag()函数检验，得到的检验图如下所示。下列图的

14、第二行和第三行同样可以得到同样的结论，即该模型的参数是合理的。图2.12：ARIMA(2,2,3)模型的参数检验结果2.4 模型比拟上述2个模型中，第一个模型是较为简单的，但其中p、q确实定有很大的主观因素，因此在对原始数据的拟合性上会较差些；第二个模型的依据是最小AIC原那么，对p和q的值同时进行循环得到最小AIC值时的p、q值作为模型的参数，因此对原始时间序列的拟合性会比第一个模型好。2.5 残差白噪声检验在模型识别中运用了两种函数对时间序列进行模型拟合，在此同样分别对两种方法的残差做白噪声检验。残差的白噪声检验是验证模型是否充分提取了原时间序列所包含的信息。假设残差通过白噪声检验，那么说

15、明所拟合的模型合理。与原序列一样，用Box.test()对ARIMA(0,2,1)和ARIMA(2,2,3)模型做残差白噪声检验，两者皆使用LB统计量做检验。结果如下表所示：表2.2：ARIMA(0,2,1)和ARIMA(2,2,3)模型的残差白噪声检验结果ARIMA(0,2,1)模型残差检验结果ARIMA(2,2,3)模型残差检验结果由上表可知，无论哪一种模型的残差都通过了白噪声检验，因此可以接受上述两种模型。需要特别指出的是，在使用Box.test()对残差进行白噪声检验时，需要对其中的参量fitdf赋值fitdf=p+q，表示对残差的自由度限制。此外，尽管在AIC原那么上，会认为ARIM

16、A(2,2,3)模型更加适宜，进一步用模型对原始数据进行预测来探究这种适宜性是否对预测能力同样适用。2.6 模型预测及解释确定以上模型后，对原始时间序列向前做15次向前1步预测，得到的预测结果以及真实值的情况比拟表，以及相应的走势图如下所示：表 2.3: 15次1步预测值及真实值比拟表日期真实值法1预测值误差率日期真实值法2预测值误差率2022/11/135672.325700.3270.49%2022/11/135672.325676.5120.07%2022/11/145675.975680.8570.09%2022/11/145675.975693.3930.31%2022/11/175

17、637.865684.3690.82%2022/11/175637.865689.310.91%2022/11/185571.045645.1061.33%2022/11/185571.045625.1520.97%2022/11/195557.205576.6850.35%2022/11/195557.205583.7410.48%2022/11/205561.845562.470.01%2022/11/205561.845564.4770.05%2022/11/215674.555567.089-1.89%2022/11/215674.555554.772-2.11%2022/11/245

18、819.735681.846-2.37%2022/11/245819.735699.039-2.07%2022/11/255891.795830.336-1.04%2022/11/255891.795844.827-0.80%2022/11/265998.585904.272-1.57%2022/11/265998.585891.443-1.79%2022/11/276081.396014.561-1.10%2022/11/276081.396026.934-0.90%2022/11/286222.956100.625-1.97%2022/11/286222.956114.562-1.74%2

19、022/12/16230.726252.1170.34%2022/12/16230.726236.9180.10%2022/12/26490.726257.364-3.60%2022/12/26490.726265.773-3.47%2022/12/36564.296556.693-0.12%2022/12/36564.296555.234-0.14%图 2.13：15次1步预测值及真实值比拟图上表中，误差率的计算公式为误差率=预测值-真实值/真实值，因此误差率的正负代表了预测值比真实值大小。通过上表可以发现，两种方法的预测能力相差不大，在个别数据上的误差率甚至只有0.01%。计算两种方法的1

20、5次1步平均误差率可知，ARIMA(0,2,1)的平均误差率为-0.68%，ARIMA(2,2,3)的平均误差率为-0.67%，相差不大。由此说明了以上两个模型在预测能力上都有较强的准确性。上图的趋势首先说明了未来15日内股市呈总体上涨趋势。两种方法的预测值始终保持相对平衡的状态。同时可以看出，两种方法在前期的预测效果都比拟好，而在后期的偏离较前期有所变大。查阅相关资料新闻可以了解到，11月下半月到12月初上证股市的行情一路看好，主要的利好原因包括以下三点：、2万亿地方养老金入市，A股或迎来万亿元级别的“活水；、保监会下发征求意见稿，保险投资再松绑，有望为A股输血4000亿元。历史上2022年

21、8月份的险资松绑，曾引发了沪指20%以上的涨幅，这也是有利于多头的信号。、十八届三中全会的改革内容公布，将会刺激市场之中更多的题材热点进入新一轮的上涨周期，也会引导市场主力资金逐渐逢低进行战略性布局，从而势必会对市场带来更多的投资时机，后市应该要更加乐观才对。鉴于市场上的利好因素如此之多，从而造就了这一段根本稳步上涨的股市行情。第三局部：对上证180指数进行GARCH建模分析3.1 原始数据的时序图 数据是选取上证180指数于2022年1月2日到2022年12月3日的指数值，共1682个观测值，其中以前1672个观测值作为训练集建立序列p，对序列p建立GARCH模型，将后10个数据作为测试集检

22、验所建立的GARCH模型的预测准确度。序列p的时序图如下所示：图3.1：原始序列的时序图3.2 序列p的柱状图 从图中可以看出上证180指数序列表现出了尖峰厚尾的特点，而且其均值Mean为5989.035，标准差Std. Dev.为1337.104，偏度Skewness为1.769241，大于0，说明序列分布有长的右拖尾。峰度Kurtosis为7.818608，高于正态分布的峰度值3，说明序列具有尖峰和厚尾的特征。图3.2：原始序列的柱状图3.3 序列p的平稳性检验 采用ADF检验和单位根检验来判断该序列的平稳性，检验的结果如下所示： 图3.3：ADF检验结果图 ADF检验的p值为0.0203

23、9，单位根检验的p值为0.0188，均是小于临界值0.05的，因此拒绝该序列存在单位根的原假设，原始序列p是平稳序列。图 3.4：单位根检验结果图3.4 序列p的白噪声检验 图3.5：原始序列的白噪声检验结果 对序列p进行白噪声检验的结果如上图所示：1-12阶延迟的p值都为0，显著性十清楚显，因此拒绝原假设，认为该序列是非白噪声序列。综上，原时间序列是一个平稳非白噪声序列，因此可以对序列p进行建模。3.5 模型定阶(1) 模型参数估计通过序列p滞后12阶的自相关系数和偏自相关系数图可以看出：自相关图显示出拖尾的性质而偏自相关图除一阶在两倍标准差范围之外，其余的都在两倍标准差范围以内波动，呈一阶

24、截尾，因此根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性。综合自相关系数和偏自相关系数的性质为拟合模型定阶为AR1。图3.6：原始序列的自相关图和偏自相关图拟合的模型的表达式为：AR(1)模型：估计的模型为：t=4.299 457.431从下表可以看出常数项和的系数的p值均接近0，因此参数估计的假设检验均显著。对数似然值为-10345.65，AIC=12.38498，SC=12.39147。图3.7：AR1模型的参数估计3.6 模型残差是否存在条件异方差(1) 方程残差下列图是该回归方程残差的时序图，可以发现波动的聚集性：波动在一些时间段内非常小，而在另一段时间非常大，较大的波动出现往往随后会出现较

25、大的波动，即波动是相关的，这说明残差序列存在ARCH效应。图3.8：回归方程残差的时序图图3.9：回归方程残差的柱状图(2) 残差平方的自相关和偏自相关系数图 从下列图可以看出，各阶所对应的Q统计量的值均较大，而p值均为0，说明残差平方存在自回归，因此也进一步验证了残差序列具有ARCH效应。图3.10：残差平方的自相关和偏自相关系数图(3) ARCH LM检验： 对估计的模型进行条件异方差的ARCH LM检验，得到在滞后阶数p=3时的ARCH LM检验结果如下，p=0，拒绝原假设，验证了残差序列是存在ARCH效应的。图3.11：模型的ARCH LM检验结果3.7 正态-GARCH滞后阶数选择(

26、1) 首先选取参数项最少的模型GARCH1，1进行拟合，得到的拟合结果如下列图所示。从图中可以看到各参数的估计效果较好，p值均较小较显著。图3.12：GARCH(1,1)的参数估计结果(2) GARCH(2,1) 从表中可以看出参数估计中残差平方的滞后一阶和二阶的系数均不显著。图3.13：GARCH(2,1)的参数估计结果(3) GARCH1,2从表中可以看出参数估计中常数项和方差的滞后二阶系数均不显著。图3.14：GARCH(1,2)的参数估计结果综合三个模型最终选择GARCH1,1模型，其AIC=11.91306，SC=11.92280。3.8 模型及其预测(1) 模型方程模型的表达式均值

27、方程为：t=4.299 457.431方差方程为： z =2.588834(7.214355(187.0538)对数似然值为-9950.364，AIC为11.91306，SC为11.92280，方程中的各项的系数是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC值和SC值均都变小了，这说明GARCH1,1)模型能够更好的拟合数据。参数的约束条件均值方程AR1平稳的条件是，拟合的<1,所以满足平稳性条件；方差方程中的，因此也满足约束条件。模型解释 上证180指数成份股选择所有A股股票中180只最具价值特征的个股组成，成分股呈现出“三低一高市盈率低、市净率低、市现率低、股息收益率高的特征。上证

28、180价值指数的样本规模大，具备较高的市场代表性。从2022年到2022年的指数的时序图可以看出，2022年整体呈递减的趋势，这主要是由于金融危机所造成的，在之后的6年里的波动较平稳，都围绕6000左右波动。上证180价值指数的波动率一般小于其他中小市值指数，比拟适合追求低风险、稳定收益的个人投资者，以及追求长期稳定收益、有战略配置需求的机构投资者。(2) 模型拟合图图3.15：GARCH(1,1的拟合图(3)残差白噪声检验图3.16：GARCH(1,1)残差的白噪声检验结果通过滞后12阶的白噪声检验结果可以看出，各阶的p值均大于0.05，因此接受原假设，认为模型拟合后的残差是白噪声序列，模型

29、提取的比拟充分。(4)模型预测 样本外多步预测： 对预设范围内的10个值进行预测，选择的是动态预测，预测结果如下：即从表中的相对误差可以看出前期的预测值与真实值的相对误差较小，然而后期的预测值的相对误差较大，说明了模型只适合于短期的预测，对于长期的预测，误差较大。10步的平均相对误差为6.387%。表3.1：10步预测对原始数据的预测值与真实值比拟时间真实值预测值相对误差2022/11/205,561.845557.68450.07%2022/11/215,674.555558.16412.05%2022/11/245,819.735558.63884.49%2022/11/255,891.7

30、95559.10865.65%2022/11/265,998.585559.57377.32%2022/11/276,081.395560.0348.57%2022/11/286,222.955560.489610.65%2022/12/16,230.725560.940610.75%2022/12/26,490.725561.38714.32%2022/12/36,564.295561.828915.27% 预测值及预测方差的时序图 根据模型得到的预测值如下两图所示： 图3.17：预测值及预测方差的时序图图中的预测区间的范围随着时间的增加而扩大，预测的方差的值也随着时间的增加呈上升趋势，进一

31、步说明了后期的预测值的误差较大，模型只能进行短期预测。假设要进行长期预测可以引入后期的真实值，这样可以使得预测的精确度更高。样本外一步预测 表3.2：一步预测对原始数据的预测值与真实值比拟时间真实值预测值相对误差2022/11/205,561.845557.68450.07%2022/11/215,674.555558.16412.05%2022/11/245,819.735673.83932.51%2022/11/255,891.795817.54071.26%2022/11/265,998.585888.86681.83%2022/11/276,081.395994.56911.43%20

32、22/11/286,222.956076.53572.35%2022/12/16,230.726216.65400.23%2022/12/26,490.726224.34494.10%2022/12/36,564.296481.69681.26%样本外一步预测是每次只进行一步预测，每次预测的时候都引入前期的真实值，最终的平均相对误差为1.709%，这说明了运用模型进行短期预测的效果较好。附录：arima模型原程序#1、读入数据shangzheng=read.csv("e:/shangzheng2022.csv",T)head(shangzheng)install.packa

33、ges("tseries")library(tseries)shangzhengts=ts(shangzheng)head(shangzhengts)#2、平稳性判别par(mfrow=c(2,2)plot(shangzhengts)acf(shangzhengts);pacf(shangzhengts)par(mfrow=c(1,1)#差分平稳,平稳性检验shangzhengtsdiff2=diff(shangzhengts,differences=2)plot(shangzhengtsdiff2)#单位根检验H0：假设原序列有单位根无单位根序列平稳install.pac

34、kages("fUnitRoots")library(fUnitRoots)adfTest(shangzhengtsdiff2) unitrootTest(shangzhengtsdiff2)#3、白噪声检验result=0;lag=0;LB=0;p=0for(i in 1:12) Btest=Box.test(shangzhengtsdiff2,type="Ljung-Box",lag=i) lagi=i LBi=Btest$statistic pi=Btest$p.value (result=cbind(lag,LB,p)#4、模型拟合及残差白噪声检

35、验#法1:看acf和pacfacf(shangzhengtsdiff2);pacf(shangzhengtsdiff2) #ma(1)(ARIMA=arima(shangzhengts,order=c(0,2,1),method="CSS")tsdiag(ARIMA) #模型检验 #残差白噪声检验resid1=ARIMA$residuals res.result=0;res.lag=0;res.LB=0;res.p=0 for(i in 1:12) Btest=Box.test(resid1,type="Ljung-Box",lag=i,fitdf=1) res.lagi=i res.LBi=Btest$statistic res.