异面直线所成角练习

1、1 如图，在正方体 ABCD - ABCiDi中，异面直线 AiD与BCi所成的角为A. 30 °【答案】【解析】试题分析：如图所示,45 °60 °90 °BiC,Bi连接则 BC/ AD, Bi C± BC,. AD丄 BC,. AD与 BC所成的角为 90°. 故选：D.考点：异面直线及其所成的角2 已知平行六面体=Z Ai AD= 1 20 ° ,ABCD- ABGD中，底面 ABCD是边长为 则异面直线 AG与AiD所成角的余弦值（的正方形，AA = 2,Z AAB)【答案】B【解析】.147.155 105试题分

2、析：设向量 AB =a, AD =b, AA =c ,贝卩 ACa b c,AD -c ,cos ： AC1, A1D卫7-D DA AG GA A试卷第1页，总14页考点：空间向量的集合运算及数量积运算。3正方体 ABCD - ABCiDi 中，E,F,G,H 分别是 AA, AB , BBi, BQ 的中点，贝U 直线EF与GH所成的角是（）A. 30°B 45°C 60° D 90°【答案】C【解析】 试题分析：由三角形中位线可知 EF -）A1B,GH BG，所以异面直线所成角为.A1BC1 , 大小为60°考点：异面直线所成角4在正方

3、体ABCD-ABCiDi中，E是BCi的中点，则异面直线 DCi与BE所成角的 余弦值为（）A.2 5B.迅C .10 D2.55555【答案】B【解析】试题分析：取BC中点F ,连结FD,FC1，则.DCF为异面直线所成角，设边长为2,G F = 5, DG = 8, DF = 一 5 cos/ DC1F考点：异面直线所成角5 如图，正四棱柱ABCD -ABCD，中（底面是正方形，侧棱垂直于底面）,AA -3AB，则异面直线A B与AD 所成角的余弦值为（C'CA、9 B10【答案】A【解析】10试题分析：连结bc',异面直线所成角为 a'bc',设 AB =

4、1 ,在 a'bc'中AC'二 2, AB 二 BC 二 109cos_ABC 二一10考点：异面直线所成角6 .点P在正方形ABCD所在平面外，PA丄平面ABCD , PA二AB，则PB与AC所成的角是A. 60B. 90C. 45D. 30【答案】A【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为p所以PB与AC所成的角就是.FEA，由题意可知：EF二AE = AF二、2 , 所以.FEA =60考点：异面直线的位置关系.7.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-ABQiU中，M是棱CD的中点，则A,M与DC!所成角的余弦值为(<2<2A.

5、_B C.66【答案】A【解析】试题分析：以 D为原点，分别以 DA,DC,DDi为x, y, z轴的正半轴建立空间直角坐标1系 D-xyz ,由棱长为 1 ,贝 V D(0,0,0), Ai(1,0,1),M (0,?,0), Ci(0,1,1),所以、1010d.10试卷第3页，总14页试卷第#页，总14页0 +1 _ 1故选A.A, M = (-1, ,-1),DC1 = ( 0 , 1 ,故 cos < A1M , DC1 >=2=2口2考点：空间向量所成角的余弦值8.在正方体ABCD -AB1C1D1中，E、F分别为AB、bc中点，则异面直线EF与AB所成角的余弦值为B3

6、3421A.1 BC.D .2322【答案】D【解析】试题分析：联结AC、BC 贝y BAC即为所成的角。-JB1AC为等边三角形，所o 1以 cosB! AC = cos60 =2考点：异面直线所成的角9 .在正方体 ABCD- A B Ci D中，点P在线段 AD上运动，则异面直线 CP与BA所的0 角的取值范围是（）【答案】D【解析】如图，连结 CD'，则异面直线CP与BA'所成的角031等于/ D'CP,由图可知，当P点与A点重合时，0 =-3当P点无限接近D'点时，0趋近于0.由于是异面直线，故 0工0.选D考点：空间几何体，异面直线所成角10 .如图

7、，正方体 ABCDAB1C1D1，则下列四个命题： P在直线BC1上运动时，三棱锥 A-D尸C的体积不变； P在直线BC1上运动时，直线 AP与平面ACD1所成角的大小不变; P在直线BG上运动时，二面角 P-AD1-C的大小不变；M是平面A1B1C1D1上到点D和G距离相等的点，贝U M点的轨迹是过D1点的直线其中真命题的个数是【答案】C【解析】 试题分析： BC1 /平面AD1 , BG /上任意一点到平面AD1C的距离相 等，所以体积不变，正确.P在直线BG上运动时，直线AB与平面AD1C 所成角和直线AG与平面AD1C所成角不相等，所以不正确.当P在直线 BG上运动时，AP的轨迹是平面

8、PAD1，即二面角P - ADj - C的大小不受影 响，所以正确. M是平面AjBiGDi上到点D和G距离相等的点，二M点 的轨迹是一条与直线DCi平行的直线，而DDi二DiCi,所以正确，故答案为：C .考点：异 面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题11.如图，正方体 ABCD-ABGD中，AB的中点为 M DD的中点为 N,则异面直线 BM与 CN所成的角是（）.0QQQA. 0 B. 45 C. 60 D. 90DiCl【答案】D【解析】试题分析：解：取 AA的中点E，连接EN , BE交B1M于点O ,Ct则 EN / BC，且 EN = BC.四

9、边形BCNE是平行四边形.BE/CN.BOM就是异面直线B1M与CN所成的角,而 Rt=BB<|M 二 Rt=ABEABEh/BBjM , . BMB/AEB, BOM -90° 故选 D.考点：异面直线所成角12 如图，直四棱柱ABCD-A1BC1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AAjf 2 ,则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于 【答案】6°°【解析】试题分析：由直四棱柱 ABCD-A1BC1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA=-. 2可得BD1 =2,由ABPAB 知艺ABD1就是异面直线AB与B。的夹角，且AB 1cos ABD1,所以

10、 ABD1 =6° ° ,即异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于BD1260°.考点：1正四棱柱；2异面直线所成角13 .如果直线AB与平面相交于B,且与内过点B的三条直线BC, BD, BE所成的角 相同，则直线 AB与CD所成的角=.【答案】900【解析】试题分析：因为，直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同，所以，直线 AB在平面内的射影应是BC, BD夹角的平 分线，同时也应是 BD,BE夹角及BC, BE的平分线，因此，直线 AB在平面内的射影是点B，即AB _ :，而CD :，所以AB _ CD，直线AB与CD所成

11、的角为90°考点：直线与直线、直线与平面的位置关系14 .平行六面体 ABCAiBCD中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则DBi和GA所成角大小为【答案】arccos6【解析】DB1 =AB+AA AD,AG = AB +AD ,DB! GA = -2 -AB AA -AD (AB AD) = AB ABAD+ AA AB+AA ADAD AB - 2AD-2- ' -DB1 = AB1 AA - ADAB,2+“2 . .AD +2AB1 AA1-2AB AD -2AA AD=8, DB；设DBi和GA所成角大小为日cos日=cos<

12、 DB1,C1 A| > =DR G ADB； iGAj 226 6 arccos 6 6试卷第7页，总14页试卷第#页，总14页考点：1.向量的加法和减法；2.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角;15 已知四面体 ABCD中，DA = DB=DC=3J2，且DA, DB , DC两两互相垂直,点O是 ABC的中心，将 DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与直线BC所成角的余弦值的最大值是 试卷第#页，总14页【答案】【解析】试题分析：当OA/BC时，直线DA与直线BC所成角最小，对应的余弦值最大，即cos._OAD ；易知：AB =AC =BC =6, 0A

13、 =63 = 2 3 , cos OAD = °A = 2 3-3DA 炭 23考点：异面直线所成的角16如图所示， ABCD - AB.GD,为正方体，给出以下五个结论： BD/平面CBQ ； AG丄平面CRD,； AC,与底面abcd所成角的正切值是、一 2 ； 二面角c b,d1 g的正切值是 2 ； 过点A且与异面直线 AD和CB,均成70。角的直线有2条.其中，所有正确结论的序号为 .【答案】【解析】试题分析：如下图，正方体 ABCD- ABCD中，由于BD/ BiD，由直线和平面平行的判定定理可得BD/平面CBD，故正确.由正方体的性质可得 BiD丄AC, CG丄BiD,

14、故 BD丄平面 ACCiA, 故 BiDi丄AG . 同理可得BiC丄AG.再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AG丄平面CBD，故正确.AC与底面ABCD所成角的正切值为 CC = - = ，故不正确.AC 722取 Bi D 的中点 M 则/ CMC即为二面角 G- B D- G的平面角， Rt CMC中，tan /GMG= - - - ' 2，故正确.C1 M . 22如下图，由于异面直线 AD与CB成45°的二面角，过 A作MN/ AD PQ/ CB,设MNW PQ确定平面 a，/ PAM=45，过 A 在面a上方作射线 AH,则满足与 MN PQ成70°的

15、射线 AiH有4条：满足/ MAH=Z PAH=70的有一条，满足/ PAH=Z NAH=70 的有一条，满足/ NAH=Z QAH=7C° 的有一条，满足QAH=Z MAH=70的有一条.故满足与MN PQ成70°的直线有 4条，故过点 A与异面直线AD与CB成70°角的直线有4条，故不正确.试卷第9页，总1 4页试卷第#页，总1 4页故答案为.考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定17 .如图，正方体 ABCD-Ai B C D中，E, F分别是正方形 ADDA和ABCD勺中心，G是CC的中点。设GF, C E与A

16、B所成的分别为:-，贝y« :!-二试卷第#页，总1 4页试卷第#页，总1 4页【答案】-2【解析】试题分析：取正方形 Bi C CB的中点为点 0,连结0G，0E,取BC的中点为点 A，连结GH, FH，通过分析可知 0C 1 / GH , 0E / FH得平面C 1 EO/平面GFH ,设正方形边长为 2，在厶GFH中，GH 2, FH -1 ,2:,cos：313,C 1 EO试卷第#页，总1 4页_:21OE =2, GE = 6, 0G »2，则 sin 一：J6J3=;所以JT试卷第11页，总14页试卷第#页，总14页18 .如图所示，在三棱柱 ABC A1B1

17、G中,EF和BG的夹角是答案为：3.考点：直线与平面所成角，面面平行问题。AA丄底面 ABC AB= BC= AA,/ ABG= 90°,【答案】兀3【解析】试题分析:如图所示,建立空间直角坐标系由于AB=BG=AA 不妨取 AB=2,贝U E (0 ,1 , 0), F (0, 0, 1), G (2 , 0 , 2). EF = (0 , - 1, 1), BG1 = ( 2 , 0 , 2).cos注F,BG匸上士一 _2_ J .异面直线ef和BG的夹角为】故| EF | | BG11V8 23试卷第#页，总14页试卷第#页，总14页考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面

18、直线及其所成的角.19 .如图，在直三棱柱 ABC -ABG 中， ACB = 90°, AA =2,AC 二 BC =1 ,则异面直线 A B与AC所成角的余弦值是 试卷第#页，总14页试卷第#页，总14页【答案】上66试卷第#页，总14页【解析】 试题分析：由于 AC / AC1，所以.BAiCi （或其补角）就是所求异面直线所成的角，在.BAG 中，AB = 6 ,AO=1，BG= 5，cos.BAG= 61 二56 .2亦16考点：异面直线所成的角.20.在正三棱柱 ABC - AB.G中，各棱长均相等，BC,与B,C的交点为D，则AD与平面BB.C.C所成角的大小是 .【答

19、案】6C0【解析】试题分析：如图所示取 BC中点E,连接AE, DE易得AD与平面BB,C,C所成角为.ADE，设正三棱柱棱长为 2,则等边三角形 ABC边上的中线 AE =, DE =1，直角三角形中.ADE =60°考点：直线与平面所成的角21.如图，直三棱柱 ABC-ABQ 中，AB= AC= 1 , AA = 2，/ BiAiCi = 90°, D 为 BB 的中 点，则异面直线 GD与AC所成角的余弦值为 .【答案】-1515【解析】试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与 另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于9

20、0 ）本题中我们就可以把试卷第13页，总14页CE/ C D,然后在 ACE中求出.ACE，就可得出题中要求的角.考点：异面直线所成的角.22 .四棱锥P ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则 CD与PA所成角的余弦值为.【答案】-2.5【解析】试题分析：正方形ABCD中，CD/ AB,aZ PAB或其补角就是异面直线CD与PA 所成的角， PAB 中，PA=PB= 5 , AB=2 ,/ cos /“c PA2+AB2_PB25+4_5 J5PAB=.2PA AB2 汇 J5><25考点：1.余弦定理的应用 ；2.异面直线及其所成的角23 .如图所示，正方形 ABCD中, E、F分别是AB AD的中点，将此正方形沿 EF折成直 二面角后，异面直线 AF与BE所成角的余弦值为1【答案】丄2【解析】试题分析：过F做FH /DC，过A做AG _ EF，连接GH , 在三角形AGH中，AH I：0*'、3，AFH即为异面直线AF与BE所成角.设正方形ABCD的边长为2,则在JAFH中，AF =1, FH =2, AH二3 ,1 1 cos AFH ，故答案为一 2 2考点：异面直线所成的角的计算试卷第15页，总14页cos_ DAEAD 2AE 325 .有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB与CD所