图像重建的分块迭代算法

1、图像重建的分块迭代算法赵双任1,扬新铁21多伦多DTI 成像行2西北工业大学摘 要:图像重建和重新投影(Reconstruction and Re-projection的迭代算法已在投影视野受限(Limited Field of View, LFOV的情下使用。该情况下投影数据被截断。此处投影采用的平行光束,扇形光束或锥形光束。该迭代算法对消除由于投影数据某处被截断所产生的截断膺像(Truncation Artifacts非常有效。最近发现该算法不仅对消除截断膺像有效而且对消除条纹状膺像也有一些效果。条纹状膺像是在投影数据未被截断情况下由滤波反投影(Filterred Backprojecti

2、on, FBP 算法所产生的膺像。条纹状膺像与一个完整扫描所含的投影数及一个投影内的点数有关,该数目越小膺像就越严重。此发现引起了如下猜想,即该迭代算法或许也适用于投影数据未被截断的情况。本文对该迭代算法也做了进一步改进,使它更有利于减小条纹状膺像。主要的改进是把图像划分成较小的区域,以及剔除原迭代算法中用于数据被截断时的外插(Extrapolation技术。本文投影数据采用平行光束。迭代算法包含两个或者更多个图像重建过程。第一个过程采用FBP算法。第二次图像重建过程中第一次重建的图像被切成小块;每一小块图像都被重新投影并再次重建;最终合并成一个完整图像。分块迭代算法的计算结果与FBP 算法的

3、以及传统的迭代法的结果做了比较。关键词:膺像,断层扫描,迭代,图像重建,投影,视野,截断,平行光束,CT一.简介对平行光束扇形光束和锥形光束的CT(Computer Tomography系统已经有许多图像重建算法1-7。如果探头宽度足够大,物体全部落在CT 探头的视野之内,测量所得到的投影数据是完整的。相反如果物体的一部分落在CT 探头的视野之外,测量所得到的投影数据在探头的边界处被截断。由截断了的投影数据所得的重建图像包含截断膺像(Truncation Artifacts。将局部断层扫描(Local Tomography方法8-12,图像重建再投影(Reconstruction and Re

4、projection的方法13-16和外差(Extrapolation方法17-19相结合,文献20研究了探头的视野受限,投影数据被截断的情况下的图像重建问题,并建立了一个新颖的迭代算法。该算法将物体分成两部份。一部分为感兴趣的区域,另一部分是感兴趣之外的区域。感兴趣的区域刚好全部落在探头视野之内,该区域的图像重建是探头视野受限情况下所关注的。该迭代算法由至少两次图像重建构成。第一次采用FBP方法包括对在探头之外未知投影数据进行外差。用FBP算法得到感兴趣区域之外部份的图像。将该部分图像再次投影。将原投影数据与再次投影数据相结合。使用由此所得的投影数据对感兴趣的区域进行第二次图像重建。该算法对

5、减少截断膺像非常有效。最近发现,其实该算法也对投影数据未被截断的情况起作用。跟据这一发现,本文将该迭代算法进一步改造,使之更适应投影数据未被截断的情况。原算法中适用投影数据被截断部份比如外差方法被剔除。原算法中感兴趣的区域为圆形,改造后成成为方形。原算法中只有一块感兴趣的区域。改造后图像所在区域被分成许多子区域。这些子区域都是感兴趣的区域。迭代算法被用于每一个子区域。子区域内的图像最终被拼接成整块图像。由此构成所谓分块迭代算法。与FBP方法比较,分块迭代算法的抑制膺像作用很显著。但因为其他迭代算法也对膺像有一定抑制作用。本文还将分块迭代算法与一种传统迭代算法进行了比较。此处提到传统迭代方法是一

6、种常见的线性方程迭代解法。尽管传统迭代方法对抑制膺像也有贡献,但分块迭代算法的抑制膺像作用要更上一层。二.传统的图像重建迭代算法设X 为二维物体,或称原像。p 为测量的或仿真的投影数据,此处假定CT探头宽度足够大因此投影数据未被截断。P 为平行光束投影算子或Radon变换1。投影数据与投影算子之间关系为X P =p (1 如果X 已知,上式可对投影数据进行仿真。若X 未知,一般X 可由滤波反投影(FBP方法1求得(p R =X 0 (2 此处(0X 是对原像的重建。为与后面迭代算法保持一致,此处采用上标0表示第零次迭代。R 为FBP 图像重建算子,它先对投影数据进行滤波,再将滤波后的数据反投影

7、。FBP 算法求得的解已广泛在临床使用。对此本文不再赘述。值得一提的是FBP 算法所得的解(0X 仍含有一些膺像。该膺像呈条文状且与一个完整CT 扫描所包含的投影数目及每一个投影上的点数及有关。投影数目和投影上的点数越少,膺像越严重。减少膺像的办法之一是迭代算法。为了同本文后面要讲述的分块迭代算法有所区别,称其为传统迭代算法。下面对传统迭代算法作简单叙述。该算法把上述结果式(2重新投影(1p (01X P =p (3再从投影数据减去重新投影得到两者之差称为投影误差d p(1p p =p d (4 再对投影误差进行图像重建,得到图像的改进量d Xd d p R =X(5 将第一次重建的图像与图像

8、改进量相加便得传统迭代解 (d X +X =X 01 (6将上面式(3-6步骤合并得(001PX p R +X =X (7 考虑到迭代可能不至一次,该式可改写为 (11n n n X P p R +X =X (8式(2与式(8结合给出传统的图像迭代算法。该算法同解线性方程组时在已知近似解算子进一步求精确解的迭代算法一样。这种算法并没有什么奇特之处。此处给出它的目的是为了提供对下面分块迭代算法的一个参考。三. 图像重建的分块迭代算法由于CT探头视野宽度不足可引起投影数据被截断。对截断的投影作FBP图像重建可产生严重截断膺像。文献21提出了抑制截断膺像的迭代算法。对上述迭代算法稍加改造,可得到分块

9、迭代算法。分块迭代算法适用于投影数据未被截断的情况。下面详细讲述分块迭代算法。为了讨论方便先定义分块算子i T 。i T 可从整块图像中切出一小块感兴趣的区域。iT 的定义为(9 =i i i ROI x if ROI x if x T 01(其中x 是图像中的一个像素点。ROI(Region of Interest 表示感兴趣的区域;i ROI 为第i 块感兴趣的区域,本文假定它是方形或矩形。例如原图像可以被分成3X3=9 块。设i X 是第i 块感兴趣区域上的图像,i X 可表示为X T =X i i(10 感兴趣区域i ROI 以外处的图像可表是为 X T (I =Y i i (11 此

10、处I 为恒等算子,即满足X I =X 。i Y 是从图像X 中挖去i X 后的图像。分块迭代的关键是将感兴趣区域i ROI 以外的区域上的图像重新投影 (i PY =p 1 (12再从测量投影数据中减去重新投影得到两者的差d p(1p p =p d (13 再将此进行图像重建得到对应图像的差d Xd d p R =X (14 值得一提,此差含义与式(5不同。此处图像的差d X 在i ROI 以外的区域与式(5相同。但在i ROI 区域上同式(6或式(10有些接近,是对X 的图像的某种重建。考虑上述原因,不妨利用分块算子i T 切去i ROI 以外的图像得到在第i 块感兴趣区域内图像(d i i

11、 X T =X 1(15再将所有分块区域上的图像拼接起来可得到一个总的图像 (N =i i X =X111(16 以上给出了分块迭代算法的步骤。合并以上步骤,并用0(X 取代式(10中的X 得(011X T (I P p R T =Xi N =i i (17 式中0(X 由式(2定义。式(2和式(17构成分块迭代算法。由此算法重建的图像在块与块之间的边界处有一接缝。为了消除接缝,对上述公式作适当改进(X T P(I R(p T =X+i N =i i 011 (18此处+i T 称为加边分块算子,其定义为MARGIN+(ROI x if MARGIN+(ROI x if =(xT i i +i

12、 01(19MARGIN 是边缘的意思,上述算子对感兴趣区域增加一圈边缘。边缘的宽度可考虑为2到10个像素。由式(18可消除块与块之间的接缝。考虑到迭代可能不至一次,式(18可进一步改写为 (11n +i N =i i n X T P(I p R T =X(20将此式展开 (11111n +i N =i i n N =i i N =i i n X RPT T +RPIXT Rp T =X(21 考虑一个整块图像切块后在拼接起来应与原图像完全相同。即如果X 为整块图像则有 XT =X N =i i 1 (22 式(21中前两项Rp 和(1n RPIX 都是一整块图像,对此可应用式(22简化。最后

13、一项中(1n +i X RPT 是N 个不同的图像因此不能简化。由此式(21化为(111n n +i N =i i n PX p R +X RPT T =X(23定义一个分块投影重建算子+i N =i i RPT T =K 1 (24 该算子对图像作如下处理,(1对图像进行分块,并考虑适当边缘,即作+i T 算子运算;(2作投影运算,即作P 算子运算;(3图像重建比如FBP 算法,即作R 算子运算;(4用分块运算i T 切除感兴趣区域以外的图像;(5合并分块,即N =i 1的运算。利用式(24,式(23可改写成(11n n n X p R +KX =X (25式(2和式(25构成分块迭代算法。

14、式(25同式(8非常相似。式(25中仅在第一项中多了分块投影重建算子K ,它是该算法的关键。四.结论本文提出了用于CT 图像重建的分块迭代算法。并将该算法与FBP 算法和传统迭代算法作了比较。可以肯定,分块迭代算法的膺像总体上比其它两种算法小,因此是一种非常有前途的图像重建算法。参考文献1 A. C. Kak and Malcolm Slaney, Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, 19882 L. A. Feldkamp, L. C. Davis, and j. W. kress, Practical co

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