利用导数研究函数(单调性

1、§3.5 利用导数研究函数(单调性、极值和凸性)一、与函数的单调性有关的一些结论定理3.11(单调的充分必要条件) 若函数在有限闭区间上连续,在上可导,则在上递增(或递减)当且仅当在上成立(或).证: “仅当”.假定在上递增.,当时,有,故,即在上成立.“当”.假定在上成立.,使得.这说明,即在上递增.定理3.12(严格单调的充分条件) 若函数在有限闭区间上连续,在上成立(或),则在上严格递增(或严格递减).反之,结论可能不正确.证: ,使得.这说明,即在上严格递增.定理3.13(严格单调的充分条件) 若函数在有限闭区间上连续,在上除去有限个点后成立(或),则在上严格递增(或严格递减

2、).反之,结论可能不正确.证:设,在上成立,故在上严格递增,从而在上严格递增.定理3.14(严格单调的充分必要条件) 若函数在有限闭区间上连续,在上可导,则在上严格递增(或严格递减)当且仅当同时成立(1) 在上有(或)；(2) 开区间,.证: “仅当”.假定在确保了(1)成立；开区间,因为在上不是常数,故,即(2)成立.“当”在上递增,即,有.若,则是常数,从而,与(2)相矛盾,故.命题 (有实用价值) 设函数都在有限闭区间上连续,在上可导,并且在上成立(或),那么(1) 若,则(或)；(2) 若,则(或).证: 函数在上递增(或严格递增).(1) ,有(或),故(或).(2) ,有(或),故

3、(或).例1(必须记住) ,总成立不等式.证: 函数 在上连续,在上可导,并且,总有.于是, .二、与函数的极值有关的一些结论定理3.15(极值的充分条件)设是开区间上的连续函数,.那么(1) 若在上成立(或),在上成立(或),则是在上的最大值(或严格最大值)；(2) 若在上成立(或),在上成立(或),则是在上的最小值(或严格最小值).证: 显然.定理3.16(简单情形下极值的充分条件) 设是函数的驻点,并且存在,那么(1) 若,则是的严格极大值；(2) 若,则是的严格极小值；(3) 若,则各种情形都可能出现.证: (1) ,故,使得当时成立.于是,在上成立；在上成立.这说明是在上的严格最大值

4、,即是的严格极大值.(2) 与(1)的证明类似.(3) 说明各种情形都可能出现.求有限闭区间上连续函数的最大值和最小值的方法 设函数在有限闭区间上连续,在上可导.若在上只有有限个驻点,则；.练习题3.5() 2(3,4),3,4,5,6,7,8,9(3),11,13,15.问题3.5() 4,8,10.三、与函数的凸性有关的一些结论定义3.6 设是区间上的函数.若,总成立不等式,则称是区间上的凸函数(或严格凸函数).注意 是区间上的凸函数(或严格凸函数),区间是区间上的凸函数(或严格凸函数).凸函数的几何意义 是区间上的凸函数(或严格凸函数) ,以和为端点的开线段总是位于(或严格位于)的图像的

5、上方.证: 使得；反之亦然.于是.注记3. 函数是开区间上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当同时成立(1) 在上连续；(2) ,总成立不等式.证: “仅当”.假定是开区间“当”.假定(1),(2)成立.由(2)的几何意义和的连续性,以和为端点的开线段总是位于的图像的上方.这表明是上的凸函数.注记3. 设是以为左、右端点的区间,那么函数是上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当同时成立(1) 是上的凸函数(或严格凸函数)；(2) 当时,；当时,.证: “仅当”.假定是上的凸函数.由凸函数的定义便知(1)成立.由定理3.19的推论知,和都存在.固定. ,有；,有.“当”.假定(1),(2)成立.由凸函数的

6、几何意义,以和为端点的开线段总是位于的图像的上方.这表明是上的凸函数.定理3.17(Jensen不等式)若是区间上的凸函数,则,总成立不等式 .当是区间上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当.证: 不妨设 ,显然.这说明不等式的左边有意义.对应用数学归纳法.(1) 当时,故.(2) 假定当时结论成立,要证当时结论也成立.令,则,故由归纳法假定便得到 .当是区间上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当,即.定理3.18 (Jensen不等式的另一形式) 若是区间上的凸函数,则,总成立不等式 .当是区间上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当.定理3.19 是区间上的凸函数(或严格凸函数)固定的,函数

7、在上递增(或严格递增).证: .假定是上的凸函数.,下述三个不等式,和恰有一个成立.由凸函数的几何意义即知.假定固定的,函数在上递增.,当时,总成立.这说明以和为端点的开线段总是位于的图像的上方.故是区间上的凸函数.推论 设是开区间上的凸函数,那么(1) 若,则；若,则.(2) 若,则；若,则.证: 仅证(1).当时,对固定的,在递增,故.当时,只需考虑不在上递增的情形.取,使得.因为在上递增,故,从而.定理3.20 设是以为左、右端点的区间.若函数在上连续,在上可导,则是上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当在上递增(或严格递增).证: 仅证严格的情形.“仅当”.假定是上的严格凸函数.,和,分别

8、对和应用定理3.19便有 .令,得到.这说明在上严格递增.“当”.假定在上严格递增.,记.则当时,使得,故.当时,使得,故.这说明在上严格递增,从而是上的严格凸函数.定理3.21 设是以为左、右端点的区间.若函数在上连续,在上2阶可导,则是上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当在上成立(或在上成立,并且都有).证: 例2(几何平均不大于算术平均) ,有不等式.等号成立当且仅当.证: 在上成立,故是上的严格凸函数,从而,.例3(算术平均不大于均方根) ,有不等式.等号成立当且仅当.证: 在上成立,故是上的严格凸函数,从而.练习题3.5() 17,19(2,3,4),20,21,22,23.问题3.5

9、() 1,2,3,9.§3.6 LHospital法则LHospital法则可以认为是连续型的Stolz定理；Stolz定理也可以认为是离散型的LHospital法则.定理3.22和3.23(型)设在的去心邻域上可导,并且在的去心邻域上处处不取零值.若,则 .将“”换成“,”后,结论仍然成立.证: 设是足够小的常数.当时,在上应用Cauchy中值定理知,使得 .故；同理,.对于“”的情形, 有 .推论1(型) 设在的去心邻域上阶可导,并且在的去心邻域上处处不取零值.若 ,则 .将“”换成“,”后,结论仍然成立.定理3.24 (型) 设在的去心邻域上可导,并且在的去心邻域上处处不取零值.若,则 .将“”换成“,”后,结论仍然成立.证: 仅证和,并且是的情形.(1). ,使得当时成立.故当 时, 在应用Cauchy中值定理知,使得 ,从而 .故 ,即；同理,.(2). ,使得当时成立.故当 时, 在应用Cauchy中值定理知, 使得,从而 .故 ,即；同理,.推论2(型) 设在的去心邻域上阶可导,并且 在的去心邻域上处处不取零值.若 ,则 .将“”换成“,”后,结论仍然成立.注记 易将“型,型,型,型,型”的极限化成“型”或“型”的极限,再利用LHos