利用欧拉公式推导三角函数公式

1、第17卷第2期2014年3月高等数学研究S T U D I E S I N C O L L E G E MA T H E MA T I C S V o l .17,N o .2M a r .,2014d o i :10.3969/j林清1,蔡萍2(1.泉州市第九中学数学教研组,福建泉州362000;2.闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000收稿日期:2012-03-01;修改日期:2013-12-12作者简介:林清(1976-,女,福建仙游人,中学一级教师,从事中学数学教学研究.E m a i l :181341630q q.c o m 蔡萍(1979-,女,福建仙游人,硕士,讲师,

2、从事非线性动力学研究.E m a i l :c a i p i n g0596163.c o m 摘要利用欧拉公式推导三角函数的15个相关公式,旨在深化学生对此类公式的理解、记忆和运用.关键词欧拉公式;三角函数公式;复数域中图分类号O 13文献标识码A文章编号1008-1399(201402-0010-03D e r i v a t i o n o f t r i go n o m e t r i c f u n c t i o n f o r m u l a s u s i n g E u l e r s f o r m u l a L I N Q i n g 1,C A I P i n g

3、2(1.T e a c h i n g a n d r e s e a r c h g r o u p o f M a t h e m a t i c s ,Q u a n z h o u n i n t h m i d d l e s c h o o l ,Q u a n z h o u 362000,P R C ;2.S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,M i n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y ,Z h a n gz h o u 363000,P R

4、C A b s t r a c t :F i f t e e n r e l a t e d t r i g o n o m e t r i c f o r m u l a s a r e d e r i v e d b y u s i n g E u l e r 's f o r m u l a i n t h i s p a p e r .W e h o p e t h e s e w i l l h e l p s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d ,r e c a l l ,a n d a p p l y t h e s e f o r

5、 m u l a s .K e yw o r d s :E u l e r s f o r m u l a ,t r i g o n o m e t r i c f o r m u l a ,c o m p l e x d o m a i n 复变函数论里的欧拉公式e i =c o s +i s i n (1将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,并且有着广泛而重要的应用1-3.利用欧拉公式易得c o s =e i +e -i 2,(2s i n =e i -e -i 2i,(3因此,欧拉公式使指数函数和三角函数在复数域中实现了相互转化

6、.近年来,欧拉公式已被广泛应用到初等数学和高等数学中4-7.本文将利用欧拉公式导出部分三角函数公式.1三角函数大降幂高次幂的正余弦函数在计算上给我们带来诸多不便,利用欧拉公式可把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,从而简化计算.1.1余弦大降幂由式(2易得(c o s 2k(=e i +e -i 22k=122k 2kj =0C j 2k (e i 2k -j (e -i j =122k k -1j =0C j2k(e i 2(k -j+2kj =k+1Cj2k(e i 2(k -j +C k 2k=122k k -1j =0C j2k(e i 2(k -j+k -1j =0C2k -

7、j 2k (e -i 2(k -j +C k 2k=122k -1k -1j =0C j2ke i 2(k -j +e -i 2(k -j2+C k 2k 2=122k -1k -1j =0C j2kc o s 2(k -j +C k 2k2,(4特别地,当k =1时,有c o s 2=12(1+c o s 2.(5同理可得(c o s 2k +1=122k kj =0C j 2k +1c o s (2k -2j +1,(6特别地,当k =1时,有c o s 3=14(c o s 3+3c o s .(71.2正弦大降幂由式(3及式(2易得(s i n 2k (=e i -e -i 2i2k=

8、1(2i 2k 2kj =0C j 2k (e i 2k -j (-e -i j =(-1k 122kk -1j =0(-1j C j2k(e i 2(k -j+(-1kC k 2k+2kj =k+1(-1j C j 2k (e i 2(k -j=(-1k122kk -1j =0(-1j C j2k(e i 2(k -j+k -1j =0(-12k -j C 2k -j 2k (e -i 2(k -j +(-1k C k 2k=(-1k22k -1k -1j =0(-1j C j 2ke i 2(k -j+e-i 2(k -j2+(-1k C k2k 2=(-1k22k -1k -1j =0(

9、-1j C j2kc o s 2(k -j +(-1k C k2k 2,(8特别地,当k =1时,有s i n 2=12(1-c o s 2.(9同理可得(s i n 2k +1=(-1k22k kj =(-1j C j 2k +1×s i n (2k -2j +1,(10特别地,当k =1时,有s i n 3=14(3s i n -s i n 3.(11以上所得到的降幂公式(4(6(8(10皆与数学手册8中给出的降幂公式完全一致.2导出三角函数多倍角公式根据欧拉公式(1,一方面有(e i 2k =(c o s +i s i n 2k =2kj =0Cj2k(c o s 2k -j

10、(i s i n j =kj =0C 2j 2k(c o s 2(k -j (i s i n 2j +k -1j =0C 2j +12k (c o s 2(k -j -1(i s i n 2j +1=kj =0(-1jC 2j2k (c o s 2(k -j (s i n 2j +i k -1j =0(-1j C 2j +12k (c o s 2(k -j -1(s i n 2j +1,(12另一方面有(e i 2k =e i (2k =c o s (2k +i s i n (2k ,(13比较式(12和式(13的实部和虚部可得c o s (2k =kj =0(-1jC 2j2k(c o s

11、2(k -j (s i n 2j ,(14s i n (2k =k -1j =0(-1jC 2j+12k (c o s 2(k -j -1(s i n 2j +1,(15特别地,当k =1时,即得二倍角公式c o s (2=c o s 2-s i n 2,(16s i n (2=2s i n c o s .(17同理可得(e i 2k +1=kj =0(-1jC 2j2k +1(c o s 2(k -j +1(s i n 2j +i kj =0(-1j C 2j +12k +1(c o s 2(k -j (s i n 2j +1,(18另因(e i 2k +1=e i (2k +1=c o s

12、 (2k +1+i s i n (2k +1,(19比较式(18和式(19的实部和虚部可得c o s (2k +1=kj =0(-1j C 2j 2k +1(c o s 2(k -j +1(s i n 2j ,(20s i n (2k +1=kj =0(-1jC 2j+12k +1(c o s 2(k -j (s i n 2j +1,(21特别地,当k =1时,即得三倍角公式c o s (3=4c o s 3-3c o s ,(22s i n (3=3s i n -4s i n 3.(23以上所得到的多倍角公式(14(15和(20(21也与数学手册8中完全一致.3导出和差化积公式文3利用欧拉公

13、式导出了两角和(差的正、余弦公式c o s (±=c o s c o s s i n s i n ,(2411第17卷第2期林清,蔡萍:利用欧拉公式推导三角函数公式s i n (±=s i n c o s ±s i n c o s .(25我们将利用欧拉公式得出c o s +c o s =Re e i +e i =R e e i (+e i (-+ei (-=R e 2e i (+2c o s -2=2c o s -2c o s +2,(26s i n +s i n =Im e i +e i =I m ei (+2e i (+2+ei (-2=I m 2e i (

14、+2c o s -2=2c o s -2s i n +2,(27同理可得c o s -c o s =-2s i n +2s i n -2,(28s i n -s i n =2c o s +2s i n -2.(294导出积化和差公式利用欧拉公式易得c o s c o s =e i +e -i 2e i +e-i 2=(12e i (+e -i (+2+e i (-+e -i (-2=12c o s (+co s (-,(30同理可得s i n s i n =-12c o s (+-co s (-,(31s i n c o s =12s i n (+si n (-.(325结束语在数学历史上有很

15、多公式都是欧拉发现的,它们都叫做欧拉公式,且分散在各个数学分支之中,复变函数论里的欧拉公式是最著名的欧拉公式之一.三角函数公式众多,类型纷繁、灵活,这给解决三角变换问题带来了诸多不便,本文通过欧拉公式来推导得出的结论,不仅可以使计算方便,也有很多理论上的意义.参考文献1陈秀武.E u l e r 公式的巧用J .甘肃联合大学学报:自然科学版,2006,20(2:87-88.2林金火.关于欧拉公式的推广J .江苏教育学院学报:自然科学版,2007,24(3:71-74.3王玉华.欧拉公式的推论与应用J .科技创新导报,2009(13:236.4辛华.欧拉公式在三角恒等变换中的推广应用J .雁北师范学院学报,2000,16(2:94-96.5周人民.运用欧拉公式求定积分J .科技信息,2008(18:167-168.6李劲.欧拉公式的几种证明及其在高等数学中的应用J .河西学院学报,2008,24(5:1-6.7E d w a r d s H D.E u l e r s D e f i n i t i o n o f t h e D e r i v a t i v e J .B u l l e t i n