最优控制第四章习题答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上1求最优控制。解：哈密顿函数：由极小值原理知,要使极小，就要使达到极小。由控制约束条件可得，最优控制为协态方程：从而容易判断，不能同时为零，否则有与定理矛盾。根据的不同选择可以得到和的可能曲线如图所示。因而可候选的最优控制顺序为：。状态方程：，边界条件：，当时，最优曲线方程，当时，最优曲线方程， 同理画在同一图中2. 且有，求最优控制。解：哈密顿函数：不难判断最优控制为：协态方程：从而状态方程：，,边界条件：代入得：，当,当,当图像经过原点时：所以时，最优曲线方程为： 时，最优曲线方程为：3. 且有，求最优控制。解：哈密顿函数：由极小值原理知,要使极小，就要使达到极小

2、。由控制约束条件可得，最优控制为协态方程：即解可写为即4.存在恢复力时，无阻尼运动的最小时间控制。如果忽略阻尼，考虑恢复力，则无阻尼运动方程为，若令，则无阻尼运动的状态方程为，无阻尼运动的最小时间控制问题提法如下： ，。解：哈密顿函数：边界条件由极小值原理知,要使极小，就要使达到极小。由控制约束条件可得，最优控制为沿最优轨线协态方程：由于协态方程与和无关，若令其初态则向量形式协态方程解可写为：于是协态分量式中因此最优控制规律为与随时间变化的图像如图所示，为了进一步研究最优控制规律并推导切换线方程，将与曲线平移距离。令由状态方程可解得轨迹方程为且相轨迹是顺时针方向运动的。当，相轨迹方程为相轨迹是

3、顺时针方向运动的。在众多的相轨迹曲线中，只有两条轨迹可以到达坐标原点，满足的末态要求。如若再考虑到最优控制最后一段的时间间隔，则最后一段必位于下列两条半圆形开关线：之上，两半圆相切于原点，如图所示。5.系统的状态方程为寻求时间最优控制函数，使系统由任意初始状态到达下列终端状态：求出开关曲线的方程，并绘出开关曲线的图形。解：哈密顿函数：正则方程： 边界条件：极小值条件：沿最优轨线：根据极小值条件知，最优控制率，为求，可由协态方程和横截条件解出，最优控制只能是由状态方程得：即当，开关线如图所示6.设已知系统的状态方程为约束条件，寻求最优控制，使系统由任意初始状态到达原点并使性能指标最小。其中加权系

4、数末端时间是自由的。解： 令哈密顿函数（1）由极小值条件可得（2）根据协态方程假定初始状态为，解得（3）因为不显含，且自由，故沿最优轨线应满足（4）式中，由上式知，必有不同时为零，否则，必定不同时为零。若令，则且必有，否则由式（2）知再将代入（1）得与（4）矛盾。若令，则为直线方程，与轴只有孤立交点，不存在奇异时间间隔。若令，则为直线方程，也不存在奇异时间间隔。其时间燃料最优控制必定是三位控制。当满足关系式（3）时，如下六种控制序列为候选最优控制序列：式中后两种控制序列具有代表性，前四种情况均为这两种情况的特例。（1）的开关曲线由（3）知，当取时，应有因此，的关系及相应的状态轨线如图所示。由图

5、可确定对应的开关曲线。由段，从状态方程可得过相平面原点的相轨迹方程为，上式表明，段为抛物线。因而，从切换到的开关曲线为由段, 从状态方程解得,由图可见，时的转换时刻，故令解得再根据条件（4）。当时，应有求出，（5）由于点，必满足,代入（5），有，（6）若以表示点所在的开关曲线，则（6）表明，这是一条通过原点的抛物线。于是，从-1切换到0的开关曲线为上述表明，从相平面上A点开始的时间-燃料最优控制为。状态由A出发，沿抛物线AB运动，至开关曲线时，发生由得转换，然后状态沿平行于轴的直线BC运动，至开关曲线发生由得第二次转换，然后沿抛物线CO运动，直至坐标原点。（1）的开关曲线通过类似的分析，可得相应的两条开关曲线为若令则开关曲线将相平面分成四个区域，如