关于浮体的平衡与稳定性

1、关于浮体的平衡与稳定性谢建华(西南交通大学牵引动力国家重点实验室)摘要：本文讨论了浮体的平衡与稳定问题，介绍了定倾中心的定义，并结合一个具体的例子，给出了定倾高度的三种不同的计算方法，最后，根据能量方法说明了用定倾高度判定浮体稳定性的理论依据。关键词：浮体；平衡；稳定性浮体的平衡与稳定问题研究是一个非常有实际意义的课题，是船舶与海洋平台设计的理论基础，在其它工程中也有广泛的应用。在浮体稳定性研究中，定倾中心是一个重要的概念，但是，笔者认为有一些教科书或文献对此概念的定义是不够明确的，例如，有的认为，当船体发生微小摇晃时浮力的作用线交对称轴线（浮轴）于一定点，此点即为定倾中心，也有的认为实验表明

2、前述两直线交于一点。另外，在用力系简化方法推导定倾高度的过程中也有含糊不清之处，或在稳定性判定上发生错误。笔者带着这些疑问查阅了若干参考书，特别是5、6和7。根据这些材料，本文介绍了定倾中心的明确定义，并结合一个具体的例子，给出了定倾高度三种不同的计算方法，最后，根据能量方法说明了用定倾高度判定浮体稳定性的理论依据。如果物体的比重比水小，物体在水中漂浮平衡时，有一部分将露出水面，这样的物体称为浮体。浮体要满足以下两个条件才能平衡：(i) 受水的浮力等于浮体的重量；(ii)浮心(浮力的作用点)与浮体重心的连线和水平面垂直，如图1(a)所示。浮体平衡位置还要满足稳定性条件才能具体实现。图1(b)表

3、示一个长方形物块平躺和竖立平衡位置发生了微小的扰动，其中，左边的物块上作用的重力和浮力阻碍了物块进一步偏离其平衡位置，因此平衡是稳定，而右边的物块则相反，其上作用的重力和浮力加剧了偏离其平衡位置，平衡是不稳定。以下来分析浮体平衡和稳定的条件。 图1 浮体的平衡假设浮体有一个对称面，平衡位置发生扰动时，浮体上各点的位移均平行于对称面，浮体作平面运动。容易说明浮体对铅直和水平扰动是稳定的，仅需考虑浮体对转动方向扰动的稳定性问题。平衡时，浮体与水平面的交面称浮面，记为。先建立一个与浮体固连的坐标 国家自然科学基金资助项目(10772151)系：取浮面的形心为坐标系原点，浮面与对称面的交线称为浮线，取

4、其为轴，浮轴铅直向上， 轴在浮面内并于和轴正交，如图2所示。浮体绕点(轴)转动微小角度时，与浮体固连的坐标系变成了。设平衡时，浮体重心和浮心在与轴平行的直线上，此直线交轴于点，设，。考虑积分 (1) 因为轴是通过形心的主轴，故(1)成立。即当绕轴作微小转动时，浮体排开水的体积不发生变化，随之其受到的浮力大小不变。 图2 浮心与定倾中心 平衡位置发生微小转角之后，浮体浸入水中部分的形状发生了变化，浮力的作用点位置随之改变，浮心相对浮体由点移至点，其相对浮体的轨迹是平面过和点的平面曲线，称其为浮心曲线(curve of buoyancy)。杜宾(Dupin)第一定理表明，过点的水平线是浮心曲线在该

5、点切线，因此浮力作用线是浮心曲线在该点的法线，于是当点无限趋近点时，浮力作用线与浮轴交点趋近位于轴的一个定点，该点称为定倾中心(metacentre)。定倾中心即为浮心曲线在点处的曲率中心。当发生微小转角时，浮力作用线与浮轴的交点在定倾中心的充分小邻域内，有时又称为定倾中心。如图1(b)，若定倾中心位于浮体重心之上，重力和浮力形成了一个“恢复”力偶，浮体的平衡是稳定的；反之，若定倾中心位于浮体重心之下，重力和浮力形成了一个“排斥”力偶，浮体的平衡是不稳定的。对某个平衡位置而言(图2)，定倾中心与浮体重心的高度差称为定倾高度(metacentre hight)。当时，浮体的平衡是稳定的；当时，浮

6、体的平衡是不稳定的。如图2所示，以为坐标原点，建立直角坐标系，其中轴和轴分别与轴和轴平行且指向分别相同，计算点的坐标如下： (2) (3)其中是平衡时的浮面对轴的惯性矩，是浮体排开水的体积。由(2)和(3)式， (4)其中是浮心曲线上由到的弧长。于是 (5) (6)其中是浮心曲线在点处的曲率半径。例1 如图3(a)所示，一根横截面为正方形的长木块漂浮于水面上，试确定其平衡位置稳定性。已知木块和水的比重分别为和，木块的相对密度为。 图3水中漂浮的木块解法一：设木块平衡时吃水深度为，由平衡条件 (7)由(7)，得： (8)有关量计算如下： (9) (10)由(6) (11)令，由(11)解出：。因

7、此，当或时，平衡是稳定的；当时，平衡是不稳定的。 容易证明，如将换成，并将木块的某一个平衡位置沿浮面反射，木块仍保持平衡，而且稳定性不变，因此可设。 解法二：先求出浮心曲线的表达式，然后确定此曲线在平衡时浮心处的曲率半径。为此，建立与浮体固连的直角坐标系，如图3(b)所示。可计算出浮心的坐标： (12) (13)浮体平衡条件(ii)为： (14)将(12)、(13)代入(14)中，得： (15)由(15) 知浮体有平凡的平衡位置： (16)及可能有非平凡的平衡位置： (17)由(12)和(13)消去，得： (18)可见浮心曲线是顶点在点处、开口向上的抛物线。在处的曲率半径为 (19)于是 (2

8、0)显然(20)与(11)相同。由(17)和(20)可知，当平凡解不稳定时，有非平凡解存在。解法三：在(12)和(13)中，记及，则 (21) (22) (23)令，得到与(15)等价的方程。将平凡平衡位置代入(23)，令可解出；将非平凡的平衡位置(17)代入(23)，有。因此，对平凡平衡位置，当时，浮体重心到浮心的距离是极小值，平衡是稳定的；当时，浮体重心到浮心的距离是极大值，平衡是不稳定的。 图4尖点奇异性 浮心曲线(18)是对应正方形有两个顶点浸入水中情况的，由图3(b)，此时要满足条件 (24)将(24)代入(17)，可得，正方形有两个顶点浸入水中的平衡位置存在范围为。当正方形有两个顶

9、点浸入水时，浮心曲线是一抛物线，如图4所示，渐屈线(曲率中心的轨道)有一个尖点。浮体的重心到浮心曲线任一条法线对应一个平衡位置，如图4(a)中的法线与4 (b)中的 和。浮体摇晃运动类似于与刚体固连的浮心曲线在某一水平线上作纯滚动(的高度是变化的)。对某一平衡位置而言，如果浮体的重心在浮心之定倾中心之间，如图4(a)中的平衡位置，那么到的距离是极小值，浮体的势能(含排开水的势能)为极小值，于是平衡是稳定的；如果浮体的重心在浮心和定倾中心之外，如图4(b)中的平衡位置，那么到的距离是极大值，浮体的势能为极大值，于是平衡是不稳定的。当平衡位置不稳定时，木块就转换到新的稳定平衡位置上，在水中倾斜了。

10、如果记浮体浮心和重心距水表面深度分别为、， 是浮体的重量。浮体将其排开的水挤压到水的自由表面上，故其势能为 (25) 如果记为浮体的重心到浮心的距离，可证明与等价，以及与同号，即浮体势能的每个极值点对应浮体的一个平衡位置，浮体势能的极小值对浮体稳定的平衡位置，而极大值对应不稳定的平衡位置。浮心曲线是一条封闭曲线，例如，长方形木块的浮心曲线是四段抛物线和四段双曲线相间连接而成，浮体重心到浮心曲线的每个法线确定一个平衡位置，此时浮体重心到浮心距离为极值，因此任何浮体总存在一个稳定和一个不稳定的平衡位置，稳定平衡位置与不稳定总是相互隔离的。可以证明一般边形最多可能有个平衡位置，例如，正三角形最多可能

11、有个平衡位置。 以上讨论的仅是平面浮体的平衡问题，如果是像海洋平台之类的三维浮体的平衡问题的话，那么就更复杂了。但是，近期发展起来的奇异性和突变理论为研究此类问题提供了强有力工具。由此看来，由阿基米德两千多年前开始的、后经惠更斯和欧拉之手的关于浮体平衡问题研究至今尚未划上句号，有很多问题值得进一步研究。 参考文献1. 董曾南，章梓雄。非粘性流体力学。清华大学出版社，20032.中国大百科全书-力学卷。中国大百科全书出版社，19853.陈清梅。浮体稳定性的研究。大学物理，2003,22(7):33-344. 赵凯华，罗蔚茵。新概念物理教程-力学。高等教育出版社，19955. Statics. 1

12、9126.H.E.茹科夫斯基。理论力学（下）。高等教育出版社，19557.T. Poston, I.Stewart. Catastrophe Theory and its Applications. Pitman,London,1978On the equilibrium and stability of floating body Xie Jianhua(Traction Power State Key Laboratory of Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031) Abstract This paper discusses the equilibrium and stability of floating body, and introduced the definition of metacentre, then gives three different methods of calculating the height of meta