微积分课件：5-习题课

1、第五章第五章 习题课习题课一一.主要内容主要内容二二.典型例题典型例题一、主要内容一、主要内容（一）向量代数（一）向量代数（二）空间解析几何（二）空间解析几何向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念（一）向量代数（一）向量代数直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何二、典型例题二、典型例题例例1

2、 1解解共面共面且且，使使，求一单位向量求一单位向量，已知已知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 例例2 2解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.1 , 5 ,1 n其其法法向向量量.8, 4, 1 n又又已已知知平平面面的的法法向向量量由题设知由

3、题设知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为. 012720 zyx例例3 3解解.1243:,12:)1 , 1 , 1(210LxzxyLxzxyLM都相交的直线都相交的直线且与两直线且与两直线求过点求过点 将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为 1t2z4t3ytx:L,1tzt2ytx:L22221111的交点分别为的交点分别为与与设所求直线设所求直线21, LLL).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttBtttA和

4、和,)1 , 1 , 1(0三三点点共共线线与与BAM).(00为为实实数数故故 BMAM 即有即有,00对对应应坐坐标标成成比比例例于于是是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt, 0, 021 tt解之得解之得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(BA ,2 , 1 , 12 ABs的的方方程程为为故故 L.211111 zyx例例4 4解解.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL的的平平面面束束方方程程为为过过直直线线 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2(

5、 zyx即即 L, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程将将 . 013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( 例例5 5解解.,1101:求旋转曲面的方程求旋转曲面的方程轴旋转一周轴旋转一周绕绕直线直线zzyxL ), 1(111zyM设直线上一点设直线上一点,11zy 有有位置位置到达到达旋转后旋转后),(), 1(111zyxMzyM由于高度不变由于高度不变,1zz 有有,1不不因因旋旋转转而而改改变变轴轴的的距距离离到到和和又又rzMM2121yr 故故,22yx ,11y

6、zz 由于由于故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为. 1222 zyx 例例 6 6：判断下列两直线：判断下列两直线 21111:1 zyxL, , 42311:2 zyxL, ,是否在同一平面上，在同是否在同一平面上，在同 一一 平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距 离离及及公公垂线垂线方程方程 . . 异面异面与与不平行不平行与与解：解：2121212122112121LL,02431211111s)sMM(1 , 1, 1MM,L)2 , 1, 0(M,L)1 , 0 , 1(MLL,4 , 3 , 1s,2 , 1 , 1s 1, 1

7、 , 1s,2 , 2, 2ss21 公垂线的方向向量公垂线的方向向量3321 MMprjds)6 , 2 , 1(423110)1(, 0)1(0 , 3 , 3211pzyxyxpLyxssnL 在公垂线上在公垂线上的交点的交点平面与平面与平面方程：平面方程：与公垂线的平面法向量与公垂线的平面法向量过过16z12y11x 公垂线方程为：公垂线方程为：一一、 选选择择题题： 1 1、 若若a，b为为共共线线的的单单位位向向量量， 则则它它们们的的数数量量积积 ba （ ）. . （A A） 1 1； （B B）- -1 1； （C C） 0 0； （D D）),cos(ba. .2 2、 向

8、向量量 ba与与二二向向量量a及及b的的位位置置关关系系是是（ ）. .（A A） 共共面面； （B B）共共线线；（C C） 垂垂直直； （D D）斜斜交交 . .测测 验验 题题 3 3、设设向向量量Q与与三三轴轴正正向向夹夹角角依依次次为为 ,，当当 0cos 时时，有有（ ）4 4、设设向向量量Q 与与三三轴轴正正向向夹夹角角依依次次为为 ,当当 1cos 时时有有（ ）面面面面面面面；面；xozQDxozQCyozQBxoyQA )(;)(;)()(面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()( 5 5、 2)( （ ）（A A）22 ； （B B）

9、222 ；（C C）22 ； （D D）222 . .6 6、 设平面方程为、 设平面方程为0 DCzBx， 且， 且0, DCB， 则则 平面平面（ ）. .（A A） 轴轴平行于平行于 x；（B B） 轴轴平行于平行于 y；（C C） 轴轴经过经过 y；（D D） 轴轴垂直于垂直于 y. .7 7、设直线方程为、设直线方程为 00221111DyBDzCyBxA且且 0,221111 DBDCBA, ,则直线则直线（ ）. .（A A） 过原点；过原点； （B B）轴轴平行于平行于 z； （C C）轴轴垂直于垂直于 y； （D D）轴轴平行于平行于 x. .8 8、曲曲面面052 xyzx

10、yz与与直直线线351 yx 710 z的的交交点点是是（ ）. .（A A）)4,1,2(,)3,2,1( ；（B B）)3,2,1(；（C C）)4,3,2(；（D D）.)4,1,2( 9 9、已知球面经过、已知球面经过)1,3,0( 且与且与xoy面交成圆周面交成圆周 01622zyx，则此球面的方程是，则此球面的方程是（ ）. . （A A）0166222 zzyx； （B B）016222 zzyx； （C C）0166222 zzyx； （D D）0166222 zzyx. .1010、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 （ ）. .

11、（A A）1222 zyx； （B B）zyx422 ； （C C）14222 zyx； （D D）1169222 zyx. .二、二、 已知向量已知向量ba,的夹角等于的夹角等于3 ，且，且5,2 ba，求，求)3()2( baba . .三、三、 求向量求向量4 , 3, 4 a在向量在向量1,2,2 b上的投上的投影影 . .四、四、 设平行四边形二边为向量设平行四边形二边为向量;1 , 3, 1 a 3 , 1, 2 b，求其面积，求其面积 . .五、五、 已 知已 知,ba为 两 非 零 不 共 线 向 量 ， 求 证 ：为 两 非 零 不 共 线 向 量 ， 求 证 ：)()( b

12、aba)(2 ba. .六、六、 一动点与点一动点与点)0,0,1(M的距离是它到平面的距离是它到平面4 x的的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz面的交线面的交线方程方程 . .七、七、 求直线求直线L：,85213 tztytx在三个坐标面上及平面在三个坐标面上及平面: 083 zyx上的投影方程上的投影方程 . .八、八、 求通过直线求通过直线223221 zyx且垂直于平面且垂直于平面0523 zyx的平面方程的平面方程 . .九、九、 求点求点)3,4,1( 并与下面两直线并与下面两直线1L： 53142yxzyx，:2L tztytx23142都垂

13、直的直都垂直的直线方程线方程 . .十、求通过三平面：十、求通过三平面：022 zyx，013 zyx和和03 zyx的交点，且平的交点，且平行于平面行于平面02 zyx的平面方程的平面方程 . .十一、十一、 在平面在平面01 zyx内，求作一直线，使它通内，求作一直线，使它通过直线过直线 0201zxzy与平面的交点，且与已知直与平面的交点，且与已知直线垂直线垂直 . .十二、十二、 判断下列两直线判断下列两直线 21111:1 zyxL, ,42311:2 zyxL, ,是否在同一平面上，在同是否在同一平面上，在同 一一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离离 . .测验题答案测验题答案一、一、1 1、D D； 2 2、C C； 3 3、C C； 4 4、A A； 5 5、B B； 6 6、B B； 7 7、C C； 8 8、A A； 9 9、D D； 10 10、D.D.二、二、-103. -103