大学物理课件：第6章 机械振动CX-01

1、大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动第 六 章机械振动大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动本章教学要求本章教学要求第六章 机械振动已知振动方程，会确定其周期、角频率、相位(初相位)。已知简谐振子在四个特殊位置(最大正、负位移处、平衡位置处)，会判断其对应的初相位，反之亦然。已知两个同方向运动方程，会判断其合成是否是简谐振动。已知两个同方向同频率的简谐振动方程，求其合成规律。由旋转矢量图，会判断振子的初相位及振子的运动方向。大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动本章主要内容第一部分第一部分大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动一、物体作简谐振动必须满足

2、下面三个条件运动学特征：xa2加速度与位移成正比而方向相反运动方程：)cos(0tAx位移按余弦规律变化动力学特征：kxF胡克定律大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系：加速度位 移时 间速 度tvtatx0024加速度加速度速速 度度位位 移移)cos(0tAx)(sin0tAdtdxv)(cos0222tAdtxda讨论讨论大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动xcosA) ( t0相 位振 幅角频率初 相T22频率周期归纳归纳简谐振动方程大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在：

3、)cos(0tAx)2cos()sin(0m0mtvtvv)cos()cos(mm00tataa速度的相位比位移的相位超前 2加速度的相位比位移的相位超前 。三、两个简谐振动进行比较：同相+反相+超前+落后大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动 0000sin,cosAvAx2020)(vxA000arctgxv在 到 之间，通常 存在两个值，可根据 进行取舍。000sinAv简谐振动方程 中常量 A 和 的确定0)cos(0tAx根据初始条件：00 , 0vvxxt大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动AxFOAP)0txOx简谐振动简谐振动与与旋转矢量旋转矢量的对应关系

4、的对应关系矢量端点在 x 轴上投影（P点）的运动规律： )cos(0tAx三、简谐振动的矢量图示法（旋转矢量的定义） 振动相位 与x 轴的夹角 逆时针方向 旋转的方向 振动圆频率 旋转的角速度 振幅A 的长度AAAAA矢量 绕O点沿逆时针方向旋转，其旋转的角速度与为 。A大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动xOABCDxFOx 0 x 0 x 0 x 0v 0v 0v 0v 0简谐振动的运动特征分析(旋转矢量)：avx , ,(1) t = 0时刻 A、B、C、D四 个点的avx , ,(2) 四个象限内的 的特征avx , ,讨论讨论回复力的方向始终指向O点，故 始终也指向O点。

5、a 大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动两个同方向同频率的简谐运动相位之差为.)()(1212tt采用旋转矢量直观表示为：)cos(111tAx)cos(222tAx）O211A2A）x大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量)cos(0tAx)sin(0tAv动能)(sin212102222tAmmvEK势能)(cos21210222tkAkxEP系统总的机械能：)(cos21)(sin210220222tkAtAmEEEPK五、简谐振动的能量mk2221kA系统的总能量大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动特 点：弹簧振

6、子在做简谐振动时，动能、势能随时间呈周期性变化在振动过程中,动能与势能相互转化，总的机械能守恒简谐振动的机械能守恒振子位于最大位置时，势能最大，动能最小为零。振子位于平衡位置时，动能最大，势能最小振子的机械能守恒，等于221kA大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动合位移：)cos(021tAxxx一、同方向同频率的两个简谐振动的合成)cos(21020212221AAAAA202101202101coscossinsintgAAAA其中：)cos(1011tAx)cos(2022tAx1.简谐振动2.方向和频率相同大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动用旋转矢量法来求合振

7、动 21AAA2A201001A1x2xxOx)cos(1011tAx)cos(2022tAx)cos(0tAx)cos(21020212221AAAAA)coscos()sinsin(tg202101202101AAAA合振动的振幅和初相大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动)cos(21020212221AAAAA1）相位差), 2 1 0( ，k21AAA同相迭加，合振幅最大k210202）相位差), 2 1 0( ，k) 12(1020k21AAA反相迭加，合振幅最小当A1=A2 时，A=0。3) 一般情况下21AA 21AA A 讨论讨论大学物理(CX)北京信息科技大学第六

8、章 机械振动若A、B、C、D四质点的运动方程分别为：(A) xA= at + bcoswt； (B) xB= asinwt + bcoswt；(C) xC= asinwt + bcos2wt； (D) xD= asinwt coswt。 a、b、w 均为大于零的常量，作谐振动的质点是： )cos(0tAx例题例题具有谐振动的运动方程特征大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动mglmglMsin2mlJ lg2令sin, 5时角振幅 和初相 由初始条件求得m0mgltJM22dd由转动定律：TlmOA)mg判断：单摆的摆动是谐振动吗( )？ 5讨论讨论lgt22dd222ddt)cos

9、(mt具有谐振动的运动特征大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动劲度系数为 K 的轻弹簧下端系一质量为 m 的物体，上端系在天花板上。现用手托起物体，使弹簧保持原长，然后突然放手。问物体是否作简谐振动? 讨论讨论0laox设原长为 ，自由悬挂物体时的平衡位置为原点（如图），则：0lkamg 物体运动到 x 处时所受的合力为：xmgTTmgFkamg kxF具有简谐振动的动力学特征物体运动到 x 处时弹簧伸长)(ax)(axkT由胡克定理，得：大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动)SI( )34cos(5 . 0txst 8一质点沿 x 轴作简谐运动，其振动方程为求：在时刻

10、 时，质点的位置、速度、加速度解：（1）质点的位置)34cos(5 . 0tx)384cos(5 . 0)(43m（2）质点的速度)34cos(5 . 0tx)34sin(2tv8t)/( 1smv（3）质点的加速度)34sin(2tv)34cos(8ta8t)/(342sma 例题例题大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动)SI( )34cos(5 . 0tx一质点沿 x 轴作简谐运动，其振动方程为求：该简谐运动的振幅、周期、频率、初相位以及 时的相位。st 8解：照猫画虎找对应关系（1）振幅 A=0.5 m)cos(0tAx（2）周期 2T 4(s) 2T（3）频率 1Tf 2f

11、（4）初相位0t30（5） 时的相位st 8 65例题例题大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动0cos0A2 00sin00Av2 0sin00取已知： 时， 。求初相位00 0 0 0v,xtxvo)cos(0tAx)sin(0tAv解：例题例题大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2 cm，则该简谐振动的初相为_。振动方程为_ )4cos(1022/tx (SI) tt4cos()xAt)xO4t)t = tt = 0例题例题大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动)SI( )312cos(1042tx一质点沿 x 轴

12、作简谐振动，振动方程为 从t = 0时刻起，到质点位置在 x = -2 cm处，且向 x 轴正方向运动的最短时间间隔为 s81s61s41s31s21 (B) (C) (D) (E) (A) toxt = 0例题例题2014 10cos23xcm2大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动Ax2/AO(A)Ax2/Ao(C)x2/A(B)AxA21o(D)例题例题一质点做谐振动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为-A/2 且向 x 轴的正方向运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动一质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为A/2，且向x轴

13、的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为Ax2/AO(A)Ax2/Ao(C)x2/A(B)AxA21o(D)例题例题大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动xo2.55.0-2.5一质点作简谐振动的振动曲线如图，写出振动方程，指出a、b、c、d、e 各点对应状态的相位。例题例题)cos(0tAxsTt2 . 12mA05. 0652T-2.5O2.5x (cm)1.02.2) s ( t-5.0abcde5.0oo(6(6de6(c350)3565cos(05. 0tx2c0a3b32d34eb(6a大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动一质点沿x轴作简谐振动,振幅A=0.

14、12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x轴正向运动。解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：)cos(0tAx其中A=0.12m, T=2s, )(s21T初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得06. 0cos12. 0030据初始条件 得, 0sin00Av30(m)3cos(12. 0tx(1)初位相；(2) t =0.5s时物体的位置、速度和加速度；(3)物体从x =0.06m向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。例题例题大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动(2) 由(1)求得的简谐振动表达式得:)s(m)3sin(12

15、. 0dd1ttxv)s(m)3cos(12. 0dd22ttva在t =T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得m104. 0m) 35 . 0cos(12. 0 x11sm18. 0sm)35 . 0sin(12. 0v222sm03. 1sm)35 . 0cos(12. 0a大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动(3) 当x = 0.06m时，该时刻设为t1，得21)3cos(1t设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是23因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间：。s83. 012ttt另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为：65322331ts11t233

16、2ts83. 12ts83. 0t3432(此时v为负,舍去)3231tx2/A2/A0t1t2t大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写出振动表式有一个和轻弹簧相连的小球，沿x轴作振幅为A的简谐振动，若t0时，小球的运动状态为：（2）过平衡位置向x轴正方向运动（4）过 向x轴正方向运动2Ax （1）Axo（3）过 向x轴负方向运动2Ax AxOAxOOAxAxO)cos(1tAx)2cos(2tAx) 3cos(3tAx)4cos(4tAx例题例题大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动第二部分实例分析和讨论大学物理(CX)北京信息科技大

17、学第六章 机械振动一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的劲度系数k=0.72N/m，物体的质量m=20g。(2) 求物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度(1) 把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m处停下后再释放，求简谐振动方程(3) 如果物体在x=0.05m处时速度不等于零，而是具有向右的初速度vo=0.3m/s，求其运动方程。解：mk(rad/s) 602. 072. 0)cos(0tAx（1）)sin(0tAv)6sin(3 . 0tvA=0.05 m00)cos(0tAx)6cos(05. 0t（2）)6cos(2tAA36t)(18 st)/(2033sm（3）)sin(0tAv

18、)cos(0tAx0cos05. 0A0sin63 . 0A) 46cos(205. 0tx例题例题大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.24m，周期为2s。当t = 0时，x0 = 0.12m，且向x轴正向运动。求（1）振动方程。（2）从x=0.12m且向ox 轴负方向运动这一状态，回到平衡位置所需的最短时间。解 ：（1 1）)(21sradT)(24. 0Am)cos(tAx当t = 0时， ，且向x轴正方向运动m.x1200Ax2/AO)3 cos(24. 0txAx2/AOtt2365st833. 0/65（2）例题例题大学物理(CX)北京信息科技大学第六章 机械振动质量为0.10kg的物体，以振幅1.0cm作简谐运动，其最大加速度为4.0m.s-2。求：(1) 振动的周期；(2) 通过平衡位置的动能； (3) 总能量； (4) 物体在何处其动能和势能相等？解：（1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23221maxmax,kmEv2)(21Am)sin(tAv)cos(02tAa（