正弦定理、余弦定理及解三角形

1、精选优质文档-倾情为你奉上 正弦定理、余弦定理及解三角形1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a2b2c22bccos A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；(其中R是ABC的外接圆半径)abcsin Asin Bsin C；cos A；cos B；cos C.解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2三角形常用面积公式(1)Sa·ha(ha表示

2、边a上的高)(2)Sabsin Cbcsin Acasin B.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(2)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素(×)(3)在ABC中，有sin Asin(BC)()(4)在ABC中，.()(5)在ABC中，若a2b2c2，则ABC为钝角三角形()(6)公式Sabsin C适合求任意三角形的面积()(7)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()(8)在ABC中，若A60°，a4，b4，则B45°或B

3、135°.(×)(9)在ABC中，若sin 2Asin 2B，则AB.(×)(10)在ABC中，tan Atan Btan Ctan A·tan B·tan C(A、B、C)()考点一利用正、余弦定理求边和角命题点1.用正弦定理解三角形2.用余弦定理解三角形3.用正、余弦定理进行边角互化解三角形例1(1)(2016·高考全国丙卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A()A. B. C. D.解析：设BC边上的高为AD，则BC3AD，DC2AD，所以ACAD.由正弦定理，知，即，解得sin A，故选D.答案：D(2)(20

4、16·高考全国乙卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b()A. B. C2 D3解析：由余弦定理，得4b22×2bcos A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)，故选D.答案：D(3)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30° B60° C120° D150°解析：由正弦定理可知c2b，则cos A，所以A30°.答案：A方法引航(1)解三角形时，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若式子中含

5、有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，a1，b，则B_.解析：依题意得，由正弦定理知：，sin B，又0B，可得B或. 答案：或2在ABC中，a1，b2，cos C，则c_；sin A_.解析：c2a2b22abcos C1414，c2；cos C，则sin C，由正弦定理，得，得sin A.答案：2；3设AB

6、C的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C_.解析：由已知条件和正弦定理得：3a5b，且bc2a，则a，c2abcos C，又0C，因此角C.答案：考点二三角形形状的判定命题点1.利用角的关系判定三角形形状2.利用边的关系判定三角形形状例2(1)已知ABC的内角A，B，C成等差数列，且A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则ABC为()A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形解析：内角A、B、C成等差数列，AC2B.又ABC.B，由余弦定理得b2a2c22ac·cos Ba2c2ac.又b2ac，a

7、2c2acac，即(ac)20，ac，又B，ABC为等边三角形答案：B(2)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.求角A的大小；若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解：由正弦定理，及2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，a2b2c22bccos A，bc2bccos A，cos A.又0A，A.由知sin2Asin2Bsin2Csin BsinC，sin2A(sin Bsin C)2sin Bsin C.又sin Bsin C1，且s

8、in A，sin Bsin C，因此sin Bsin C.又B，C，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形方法引航1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的影响1若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：选C.在ABC中，sin Asin

9、 Bsin C51113，abc51113，故令a5k，b11k，c13k(k0)，由余弦定理可得cos C0，又C(0，)，C，ABC为钝角三角形2若本例(1)中，a、b、c成等比数列改为a2c，其它条件不变，判断三角形的形状解：b2a2c22accos B4c2c22c23c2，bc，此时满足a2b2c2，说明ABC是直角三角形考点三三角形的面积问题命题点1.求三角形的面积2.利用面积求边和角 例3(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B. C. D3解析：c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abc

10、osa2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C×6×.答案：C(2)(2016·高考浙江卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小解：(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以，B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S得absin C，故有sin

11、 Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因为sin B0，所以sin Ccos B.又B，C(0，)，所以C±B.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.方法引航在解决三角形问题中，面积公式Sabsin Cbc·sin Aacsin B最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.1已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A，b2acos B，c1，则ABC的面积等于()A. B. C. D.解析：选B.由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin.又B(0，)，所以B.又AB，则ABC是正三角

12、形，所以SABCbcsin A×1×1×.2设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，ABC的面积为，求cos A与a的值解：由三角形面积公式，得×3×1·sin A，故sin A.因为sin2Acos2A1，所以cos A±± ±.当cos A时，由余弦定理得a2b2c22bccos A32122×1×3×8，所以a2.当cos A时，由余弦定理得a2b2c22bccos A32122×1×3×12，所以a2.综上，co

13、s A，a2或cos A，a2.规范答题解三角形的规范答题典例(本小题满分12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，tan.(1)求角C；(2)若bc，求ABC的面积解(1)B，0A，A.tan，A，A.C.(2)sin B，sin C，bc.bc，b，c.sin Asin(BC).SABCbcsin A×××.规范建议(1)先利用切函数求出角A；(2)求出sin B及sin C的值；(3)再求b及c的值；(4)求sin A，直接利用sin；(5)求SABC时，要有代入过程高考真题体验1(2016·高考全国丙卷)在ABC中，B，BC边上的

14、高等于BC，则cos A()A. B. C D解析：选C.设ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得acsinc，则ac.在ABC中，由余弦定理可得b2a2c2acc2c23c2c2，则bc.由余弦定理，可得cos A，故选C.2(2014·高考课标卷)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5 B. C2 D1解析：选B.SABCAB·BCsin B×1×sin B，sin B，B45°或135°.若B45°，则由余弦定理得AC1，ABC为直角三角形，不符合题意，因此B135°，由余弦定

15、理得AC2AB2BC22AB·BCcos B122×1××5，AC.故选B.3(2014·高考课标卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_解析：因为a2，所以(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理可得(ab)·(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，又0A，故A.因为cos A，所以bc4，当且仅当bc时取等号由三角形面积公式知SA

16、BCbcsin Abc·bc，故ABC面积的最大值为.答案：4(2016·高考全国甲卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.解析：法一：因为cos A，cos C，所以sin A，sin C，从而sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.由正弦定理，得b.法二：因为cos A，cos C，所以sin A，sin C，从而cos Bcos(AC)cos Acos Csin Asin C××.由正弦定理，得c.由余弦定理b2a2c22accos B，得b.答案：

17、5(2016·高考全国乙卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解：(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C.故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知，得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7.故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.课时规范训练A组基础演练1在锐角ABC中，角A，B所对的边长分

18、别为a，b，若2asin Bb，则角A等于()A. B. C. D.解析：选D.在ABC中，利用正弦定理得2sin Asin Bsin B，sin A.又A为锐角，A.2(2016·高考天津卷)在ABC中，若AB，BC3C120°，则AC()A1 B2C3 D4解析：选A.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a3，c，C120°，由余弦定理得139b23b，解得b1，即AC1.3在ABC，已知A45°，AB，BC2，则C等于()A30° B60° C120° D30°或150°解析：选A.在

19、ABC中，sin C，又ABBC，CA，故C30°.4(2016·高考山东卷)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，则A()A. B. C. D.解析：选C.由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1，又0A，所以A.5在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2asin B，则A()A30° B45° C60° D75°解析：选A.因为在锐角ABC中，b2asin

20、 B，由正弦定理得，sin B2sin Asin B，所以sin A，又0A，所以A30°，故选A.6(2016·高考北京卷)在ABC中，A，ac，则_.解析：ac，sin Asin C，A，sin A，sin C，又C必为锐角，C，ABC，B，BC，bc，1.答案：17设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_.解析：3sin A2sin B，3a2b.又a2，b3.由余弦定理可知c2a2b22abcos C，c222322×2×3×16，c4.答案：48在ABC中，A60°

21、，AC2，BC，则AB等于_解析：由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos 60°，即()2AB2222AB×2×cos 60°，解得AB1.答案：19已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90°，且a，求ABC的面积解：(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90°，由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca.所以ABC的面积为

22、1.10ABC中，D是BC边上的点，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60°，求B.解：(1)由正弦定理得，.因为AD平分BAC，BD2DC，所以.(2)因为C180°(BACB)，BAC60°，所以sinCsin(BACB)cosBsinB.由(1)知2sinBsinC，所以tanB，即B30°.B组能力突破1ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形解析：选A.依题意得cos A，sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0.又sin A0，于是有cos B0，B为钝角，ABC是钝角三角形2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a2b，则的值为()A