正弦定理与余弦定理

1、2-5正弦定理典绘弦定理重黠整理：面稹公式1 .若AA8C之三遢房卷a,，c,厂卷其内切1半彳型，$=<+£,即sinC=besinA=casinB（已知两遢及其夹角畤）2222 .二Js（s-a）（s-b）（s-c）（Heron公式）（已知三角形三遏）3 .=rs。（可用於已知三角形三遴求内切1半彳的重要例题：1. JJAA8C中，ZA=30p,Z;=4,c=6,求其面稹。2.在AA8C中，乙44c=120。，力:NA3C的分角且交衣於。黠，111:一+=0彳发设A8=3，AC=5，AD=BABCBDS1.AA3C中，假设A8=6,AC=8,ZA=120P，即J其面稹

2、4;2./ABC中，AB=2,BC=5，面稹，HOcosAABC=。3.位匾1之内接正三角形面稹悬。4.假设e卷四遏形A8CO之封角名泉衣典丽的一彳固交角，豺;瞪：四1遏形ABCD面横=耳ACBD-sin0<>®5.凸四遏形A8CO中，而=2，BC=6，而=4，BD=6，ZABD=60°，用J四遏形的面横二。Ans:1.1273，2.士之，3.史，4.略，5.班+8应。54重黠整理：正绘弦定理4.正弦定理：A8C中，AB=c,8C=a,C4=。'R：&其外接II半，b _ csin B sin C=2R5.6.7.8.9.10.11.12. /A

3、BC=bcsinA=2R2sinAsinBsinC。24R13. 绘弦定理：ZA3c中，AB=c,BC=a,CA=b，印J,222a2=b-+c2-2Z;ccosA或嘉成cosA='+'。同理可嘉出2bc14.15.16.17.18.19.20.21. 葩角三角形的判别：三角形A4C中，NA角假设且唯假设b-+c<cr。22. 海熊公式：的三遏是悬涉,c，s=L；，即其面横悬乙Js(s-“)(s-/?)(s-c)023.24.25.26.27.28.29. 投影定理：A3C中，AB=c,BC=a,CA=b，即Ja=Z?cosC+ccosB，b=重要例题:1 .AA8C中，

4、ZC=12(y,ZB=3(r,AC=4，就解AA3C。2 .言殳三角形丽遏是悬10，6，夹角卷60。，用J第三遏是悬，三角形面稹卷。3 .在AA3C中，已知。=、2=2,。=6-1，解此三角形。4 .已知二遏舆一角。=10V5,c=1Q8=12(J，郎a43c之面稹1.已知a=2-73，/?=6，c=1OS，就解AABCoS2.M8c中，已知A=60;8=4S，其最短邃舄2公尺，就求(1)其他二遏的是悬，(2)面精悬。3.已知AA8C三邃艮悬。=苧,=1,。=，求三内角。乙乙Ans:1.c=3+V3,ZA=45o,Z£?=3(T，2.(1)、后,#+1,(2)i，3.2ZA=30&#

5、176;,N3=135NC=15。5. /ABC三遏是悬ja,b,c，且a-2+c=0，3a+b-2c=0，印J(l)sinA:sinB:sinC=；(2)也'+;(3)最sinC大角悬；(4)cosC=；若ABC周晨卷15，刖其面稹悬；(6)AABC之外接g面精卷；(7)AABC内切11面稹悬。1./ABC中，乙4=45。，ZB=30°，c=3，刖"C之外接13半彳至2.必8c中，4：3:。=3:4:5且4?=1，用J(A)A=45°(B)B=608(C)C=75°(D)BC=V3-1(E)8C=、历+13.A3。中，乙4=45。，ZB=30&

6、#176;，三遏之和悬3+&+6，即最4.在aABC中，已知BC=1>sinA<sinB，且sinA舆sin4悬8/_4、&:+1=0的刖根，印A3。的外接IB半彳型等於(A)V3-1(B)2V3-1(C)V3+1(D)V3+2(E)26+1。(84.社)5.半彳空10的直1周上有三黠A,8,C，假设而:成:m=3:4:5，刖ABC面稹=。6. ABC中»已知a:b:c=2:y/b:y3+»HOAA8C。角、直角或金屯角)7.言殳ABC的三遏分别悬而=，CA=b，AB=c，假设S+c):(c+a):(a+)=7:6:5，列J8sA=。28.4?C

7、中，假设(+一c)=sinA+sinB-sinC，即J其外接回之直彳箜卷。9.中，AB=2>AC=+yf3，ZA=30°»gljBC=。(84.自)10.A3。中，假设N8=45O,NC=6(T，白=7%+、历，印Jb=»c=，外接IB半雷。11.1殳H1内接四遏形A8CO中，/04。=30°,/4。8=45。,无=2，求AB=?12.假设（a+0+c）（+。一。）=，印JNC=。Ans:1.“=2），zabcd，3.。+1，4.C，5.24，6.角，7.1，2838.,，9,&，1。b=2国=2瓜R=2，11.2V2，12.60。6 .1

8、3内接四遏形A3CO，ABD=a，ZC=90°，ND=105。，期摩寸角*泉AC=，BD=0SL直的内接四遏形ABC。中，已知而=5,BC=3，CD=2，ZB=60。，用JAD=，ABCD面横=半没周上丽黠。令。=凡, b = PR '2.如右Hl,P.P.半HI的直，PrP靠c=P2Py，d=P0P3d方程式/一(/+cly)x-2abc=Q的一根。（81.自）Ans:1.3,2工，2.略。47 .温殳入43c中，AB=6,AC=4,BC=5'若。就上昇於C之一黠，AD=4，求30=?8 .叙述at瞪明平行四遏形定理，加利用此定理叙述加瞪明三角形的中余泉定理。

9、74;1.在3c中，而=6，BC=5，5=4，假设就遏当中，靠悬人之角平分名泉，即而=，AE=。S2.A4c中乙43。=60°，NA8c的角平分*泉交AC於。已知而=6，丽=，耿1)ABD的面稹悬。段AC的是度悬。"C的面稹。(85社)3.已知A3。三遏是分别悬而=7，BC=5，A衣=3，延房前至。，如右圃所示，使得BcDCD=2>WAD=。(86.社)4.A43C中，A5=5,BC=6,G4=7»。内分布卷前:况=1:2，求而=?Ans:1.,372»2.(1)373,(2)373,(3)，3.币，4.5。229.若AA3c之三jg”，c所封鹰之高分别，乩=20，4=15，儿=12,用J其最小内角的绘弦悬。.假设A8C之三遏。，以c所封鹰之高分别：&，儿=6，4=4，/?,=3，即J其最小内角的绘弦卷。7Ans:1.t0810. A3c满足以下修件，分别判别其形状：(1) sin2A+sin2B<sin2C。(2) «cosA-bcosB+ccosC=0(3) cosBsinC=sinBcosC。®1.在已知