材料力学第章 扭转

1、.1材料力学材料力学.2材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转 概述及示例概述及示例 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 扭转静不定问题扭转静不定问题 非圆截面轴扭转非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转薄壁杆扭转内容提纲：内容提纲：.3材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转概述及示例概述及示例.4材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转概述及示例概述及示例纯扭转变形纯扭转变形.5MM杆件的杆件的扭转变形扭转变形是指杆件在是指杆件在两端外力偶矩作用下发生的两端外力偶矩

2、作用下发生的变形变形受力特点受力特点：两个等值反向的：两个等值反向的外力偶分别作用在杆件两端外力偶分别作用在杆件两端垂直于轴线的平面内垂直于轴线的平面内变形特点变形特点：杆件各横截面绕：杆件各横截面绕杆的轴线发生相对转动杆的轴线发生相对转动材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转概述及示例概述及示例.6受力及变形特点：受力及变形特点：材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转概述及示例概述及示例.7基本概念：基本概念：材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转概述及示例概述及示例扭转：扭转： 横截面绕轴线作相对旋转的变形形式横截面绕轴线作相对旋转的变形形式扭转角：扭转角： 横截面间绕轴线的相对角位移横截面间绕

3、轴线的相对角位移作用面垂直于杆轴的外力偶，称为作用面垂直于杆轴的外力偶，称为扭力偶扭力偶，其矩称为其矩称为扭力偶矩扭力偶矩。轴：轴： 以扭转变形为主要变形的直杆以扭转变形为主要变形的直杆.8材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩.9材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率功率和和转转速速，而不直接给出外力偶矩的数值，而不直接给出外力偶矩的数值 设外力偶矩为设外力偶矩为Me，传动轴的功率为，传动轴的功率为P，角速度为，角

4、速度为w w，则，则有（理论力学）有（理论力学）ePMw.10材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩 在工程中，功率常用在工程中，功率常用千瓦千瓦 Pkw (kW) 或或马力马力 P 给出，角给出，角速度用速度用转速转速 n(r/min (转转/分钟分钟) 给出，则外力偶矩的计算给出，则外力偶矩的计算公式为公式为/min/min95497024kWererPMnPMn马力/smN5 .735)(1/smN1000)(1kw马力千瓦PP.11材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩假想截面假想截面m-m将杆件分为将杆件分为两部分，

5、根据平衡关系，有两部分，根据平衡关系，有 T = M 杆件在外力偶矩的作用下发生扭转变形，同时在轴内杆件在外力偶矩的作用下发生扭转变形，同时在轴内产生抵抗扭转变形的内力偶矩产生抵抗扭转变形的内力偶矩T，称为，称为扭矩扭矩 扭矩扭矩T的计算仍采用截面法的计算仍采用截面法 扭转时的内力扭转时的内力扭矩、扭矩图扭矩、扭矩图.12材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩 扭矩符号的规定扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向，采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向，拇指的指向与截面的外法线拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为的方向相同时

6、，该扭矩为正；反之，规定扭矩为负正；反之，规定扭矩为负 .13meMm材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩meMeM2eMm讨论：讨论：如图受扭圆轴，如图受扭圆轴，m- -m截面上扭矩为多少？截面上扭矩为多少？meM2eMmeTMeTM 截面法：截面法：1.1.在所研究平面处假想截开在所研究平面处假想截开2.2.根据平衡关系确定截面（弯）根据平衡关系确定截面（弯）扭扭矩矩3.3.根据定义，确定（弯）根据定义，确定（弯）扭扭矩正矩正负负.14材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转扭力偶矩计算与扭矩扭力偶矩计算与扭矩讨论：讨论：如图受扭圆轴，画出其扭矩图如图受扭圆

7、轴，画出其扭矩图2eTM 1eTMxTeMeM.15材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力.16材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 等直圆轴扭转时横截面上的应力等直圆轴扭转时横截面上的应力 此问题仅仅利用静力平衡是不能解决的，而必须从此问题仅仅利用静力平衡是不能解决的，而必须从几何几何、物理物理和和平衡平衡三个方面进行综合分析。三个方面进行综合分析。.17材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力变变 形形应变特征应变特征应力分布应力分布应力公式应力公式.18材料力学第

8、材料力学第4章章 扭转扭转几何变形特征几何变形特征 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不改变，半径仍为直线改变，半径仍为直线 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面绕圆轴轴线转动一定的角度绕圆轴轴线转动一定的角度圆轴扭转的平截面假定圆轴扭转的平截面假定即：即：圆轴横截面如同刚性平面绕圆轴线转动圆轴横截面如同刚性平面绕圆轴线转动圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力几何变形：几何变形：横截面绕圆轴的轴线转动横截面绕圆轴的轴线转动圆轴中段的横截面缩小圆轴中段的横截面缩小圆轴的长度略有增长圆轴

9、的长度略有增长 有轴向应变有轴向应变z有剪切应变有剪切应变rz？次要次要次要次要主要主要.19材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力变变 形形应变特征应变特征应力分布应力分布应力公式应力公式D D B B dA AB BC CD DD D B B BBRdGGGABdx( )dGGdx RdxO OO OA AB BC CD D.20材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力RdxO OO OA AB BC CD D扭转圆轴不同平面上的应力分布扭转圆轴不同平面上的应力分布max.21材料力学第材料力学第4章章 扭转

10、扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力dxdGGmax.22max材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 剪力方向垂直于半径（由于剪切变剪力方向垂直于半径（由于剪切变形发生在垂直于半径的平面内）形发生在垂直于半径的平面内） 圆轴截面上的剪应力圆轴截面上的剪应力 与与 成正比成正比 剪应力在圆轴边缘达到最大剪应力在圆轴边缘达到最大 在离圆心等远的各点处，剪应力则在离圆心等远的各点处，剪应力则均相同均相同dxdG.23材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力静力平衡关系静力平衡关系 横截面上分布的剪应力的合

11、横截面上分布的剪应力的合力（主矢）等于零力（主矢）等于零 剪应力关于原心剪应力关于原心O的合力矩应的合力矩应该等于该截面上的扭矩该等于该截面上的扭矩T T，即，即TdAAdATdAO.24材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力TdAAdATdA代入：代入：dxdGG得到：得到：2AddxAGTd记：记： 称为圆截面的称为圆截面的极惯性矩极惯性矩2PAIdA 则：圆轴扭转角的变化率则：圆轴扭转角的变化率PdTdxGI圆截面切应力圆截面切应力PTIO.25材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力22322dAdd 该

12、圆环对圆心的微惯性矩为：该圆环对圆心的微惯性矩为：考虑一半径为考虑一半径为，厚度为，厚度为 的圆环。的圆环。d4/230232dPdId积分可得整个圆截面的极惯性矩：积分可得整个圆截面的极惯性矩： 圆截面的圆截面的极惯性矩极惯性矩2PAIdA2dAO.26材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转变形公式圆轴扭转变形公式PdTdxGI圆轴扭转切应力圆轴扭转切应力PTI总结总结 实心圆轴实心圆轴其中其中432PdImaxPPPTRTTIIWR最大切应力：最大切应力：316PdW其中：其中：称为称为抗扭截面系数抗扭截面系数.27材料力学第材料力学第4章

13、章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力空心圆轴的扭转计算空心圆轴的扭转计算 空心圆轴与实心圆轴的扭转，变形本质并无不空心圆轴与实心圆轴的扭转，变形本质并无不同，因此应力和变形计算公式均相同。唯一不同在同，因此应力和变形计算公式均相同。唯一不同在于极惯性矩的计算。于极惯性矩的计算。.28材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力空心圆轴的扭转计算空心圆轴的扭转计算圆轴扭转变形公式圆轴扭转变形公式PdTdxGI圆轴扭转切应力圆轴扭转切应力PTI44/222/223232DPAdDdIdAd截面最大切应力截面最大切应力max2PPTDTIW其中

14、：其中：?PI令：令：daD得：得：44(1)32PDIa43442(1)(1)/ 23216PPIDDWaaDDdD.29材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力自学自学作业作业4-7证明证明: 式式4-8在线弹性情况下，在线弹性情况下，且且 时，最大计算误时，最大计算误差不超过差不超过4.53%。0/10R本节作业：本节作业： 4-1(c),(d) 4-7薄壁圆轴的扭转切应力，薄壁圆轴的扭转切应力，Page 100本节作业下周五本节作业下周五(12月月31日交日交).30材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件

15、.31材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件破坏类型破坏类型 试验发现：试验发现：.32材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件破坏机理破坏机理塑性材料：塑性材料：受剪破坏受剪破坏 低炭钢：抗压低炭钢：抗压抗拉抗拉抗剪强度抗剪强度 铸铁：抗压铸铁：抗压抗剪抗剪抗拉强度抗拉强度45o s sy s sx .33材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件从破坏类型可见，对于从破坏类型可见，对于脆性材料脆性材料（如铸（如铸铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力铁），其破坏机理是斜截

16、面上的最大拉应力因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯上仍按上仍按最大剪应力进行强度计算最大剪应力进行强度计算.34材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件.35材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转的强度条件圆轴扭转的强度条件扭转许用切应力：扭转许用切应力： un扭转强度条件：扭转强度条件：maxPTWm

17、ax .36材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件例题例题1 1： 某传动轴，轴内最大扭矩某传动轴，轴内最大扭矩T = 1.5kNm ，若许用应，若许用应力力 =50MPa，试按下列两方案确定轴的横截面尺寸，试按下列两方案确定轴的横截面尺寸，并比较重量。并比较重量。 （1 1）实心圆截面轴）实心圆截面轴 ； （2 2）空心圆截面轴，内外径比值）空心圆截面轴，内外径比值d/D = 0.9。TT.37材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件扭转强度条件：扭转强度条件：maxPTWmax 解：解： PTW316PDW

18、3160.0535TDm T对于实心圆轴：对于实心圆轴：对于空心圆轴：对于空心圆轴：34(1)16PDWa T 34160.07631TDma外径：外径：内径：内径：0.90.0687dDm.38材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件哪种截面节省材料？哪种截面节省材料？对于实心圆轴：对于实心圆轴：对于空心圆轴：对于空心圆轴：2220.5350.22544DAm 222220.7630.6870.087444DdAm 面积比：面积比：0.08738.7%0.225AA空心圆轴可大大的节材料！空心圆轴可大大的节材料！.39材料力学第材料力学第4章章 扭转扭

19、转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件例题例题2： 图示圆柱形密圈螺旋弹簧，图示圆柱形密圈螺旋弹簧，沿弹簧轴线承受拉力沿弹簧轴线承受拉力F（密圈螺线（密圈螺线弹簧是指螺旋升角弹簧是指螺旋升角a a 5）。设。设弹簧圈平均半径弹簧圈平均半径R，弹簧丝平均直，弹簧丝平均直径径d。分析弹簧的应力，建立相应。分析弹簧的应力，建立相应强度条件。强度条件。RRaF.40材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件可见，弹簧丝的横截面上作用有可见，弹簧丝的横截面上作用有剪力剪力F Fs s和扭矩和扭矩T T，其分别值为，其分别值为dFsTFR解：解：利用截面法，以

20、通过弹簧轴线的利用截面法，以通过弹簧轴线的某一平面将弹簧丝切断，选择上部为研某一平面将弹簧丝切断，选择上部为研究对象。由于螺旋升角究对象。由于螺旋升角a a 很小，此切面很小，此切面可视为弹簧丝的横截面。可视为弹簧丝的横截面。.41材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件假设与剪力假设与剪力Fs相应的剪应力相应的剪应力 沿截面分布均匀，则沿截面分布均匀，则22s44dFdF3pmax16dFRWT dFsTFRFsT.42材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件由叠加原理可得截面上的最由叠加原理可得截面上的最大剪应

21、力大剪应力 max)41 (163maxmaxRddRF 3max16dRFFsT max.43材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件.44材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件PTddxGIlPTdxGIPTddxGI.45材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件i iPiTlGIPTlGIl.46材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件pddTxGI PdTdxGI.47材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转变形与刚度条件

22、圆轴扭转变形与刚度条件 PdTdxGI.48材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件例题例题3 3： 图示圆轴图示圆轴AC，承受，承受大小大小为为MA，MB，MC的扭力偶的扭力偶作用。已知圆轴作用。已知圆轴GIP，长度，长度2l，求轴的总扭转角求轴的总扭转角 （即（即截面截面A与与C之之间的相对转角）。间的相对转角）。ACAMCMBMllCAB.49材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件AMCMBMllAMATMCMC CA AB BBCCBCPPTlM lGIGI BC段：段：CTM ABAABPPTlM lG

23、IGIAB段：段：ACACABBCPMMlGIAC段：段：正负扭矩引起的圆轴扭正负扭矩引起的圆轴扭转方向相反！转方向相反！解一：解一：.50材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件AMCMBMllC CA AB B1BPMlGI22cPM lGI 总扭转角：总扭转角：122ACBCPMMlGI假想地固定假想地固定A A端，并用叠加法端，并用叠加法解二：解二：BMCMCMACPMMlGI.51材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件例题例题4 4： 图示圆锥形轴，两端承受扭力偶矩图示圆锥形轴，两端承受扭力偶矩M作用。

24、设轴长作用。设轴长l，左、右端直径分别为，左、右端直径分别为d和和D，计算轴的总扭转角。，计算轴的总扭转角。MMldD.52材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件解：解：MMldDxdxdx Ddd xdxlPMdxdGI微段两截面的扭转角为：微段两截面的扭转角为： 4( )32PIxdx其中：其中：00( )llPMddxGIx总扭转角：总扭转角：.53材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转扭转静不定问题扭转静不定问题.54材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转扭转静不定问题扭转静不定问题abABMC例题例题5 5： 图示圆轴图示圆轴ACAC，中间某处承受扭力偶矩，中间某处承受扭力偶矩M M作用。求支作用。求支反力偶矩。反力偶矩。.55材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转扭转静不定问题扭转静不定问题abABMC解一：解一：ABMCBMAM未知数两个：未知数两个：, ABMMABMMM（力的）平衡方程：（力的）平衡方程：0ABACBC变形协调条件：变形协调条件：0ABPPM aM bGIGI, ABbaMMMMabab静不定次数：一次静不定次数：一次.56材料力学第材料力学第4章章 扭转扭转扭转静不定问题扭转静不定问题abABMC解二：解二：ABMCBMAMABMMM（力的）平衡方程：（力的）平衡方程：A